1、专题01 有理数及其运算 重难点题型题型1 正负数意义及应用【解题技巧】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.1（2021南靖县城关中学七年级月考）向东运动记作“+”，向西运动记作“”，下列说法正确的是（ ）A2表示向东运动了2米 B2表示向西运动了2米C向西运动3米表示向东运动了3米 D向西运动5米也可以记作向西运动5米2（2021云南昆明市九年级二模）2020年一季度，受新冠肺炎疫情影响，云南省外贸进出口总值466.5亿元，较上年同期下降6.3%2021年一季度，云南省外贸进出口总值达742.1亿元，同比增长59.7%若下降6.3%，记作，则增长59.7%应记作（
2、）ABCD3（2020北京初三一模）举出一个数字“”表示正负之间分界点的实际例子，如_3（2021湖北宜昌市中考真题）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，攀登后，气温下降_4（2021四川成都七年级期末）大米包装袋上有的标识，则下面几袋大米重量合格的是（ ）ABCD5（2022辽宁沈阳市七年级期中）以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（ ）城市纽约悉尼伦敦罗马时差/h13+287A纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京B罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约C伦敦、纽约
3、、北京、罗马、悉尼D北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约6（2022渠县七年级月考）一次体育课，老师对七年级男生进行了100米赛跑的测试，以跑13秒为标准，超过标准时间用正数表示，不足标准时间用负数表示，第一小组8人的成绩如下：+0.2，0.3，-0.4，0，0.1，0.1，0.5，1（1）这8名同学实际各跑了多长时间？ （2）这个小组的达标率是多少？题型2 有理数的相关概念【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如整数和分数统称为有理数；正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；只有符号不同的两个数叫做互为相反数；在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；数轴上
4、表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.1（2021射洪县射洪中学外国语实验学校七年级月考）下列说法正确的是（ ）A正数和负数统称为有理数B正整数包括自然数和零C零是最小的整数D非负数包括零和正数2（2021河南省初一期中）下列说法中：0是最小的整数；有理数不是正数就是负数；非负数就是正数；不仅是有理数，而且是分数；是无限不循环小数，所以不是有理数；无限小数不都是有理数；正数中没有最小的数，负数中没有最大的数其中错误的说法的个数为（ ）A7个B6个C5个D4个3.（2021赵县期中）下列说法中，不正确的是（）符号不同的两
5、个数互为相反数；所有有理数都能用数轴上的点表示绝对值等于它本身的数是正数；两数相加和一定大于任何一个加数有理数可分为正数和负数ABCD4.（2021嵊州市期中）下列说法正确的个数为（）（1）0是绝对值最小的有理数；（2）1乘以任何数仍得这个数；（3）0除以任何数都等于0；（4）数轴上原点两侧的数互为相反数；（5）一个数的平方是正数，则这个数的立方也是正数；（6）一对相反数的平方也互为相反数A0个B1个C2个D3个5.（2021日照期中）下列说法正确的是（）任何一个有理数的平方都是正数 任何一个有理数的绝对值都是非负数如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1如果一个有理数的相反数等于它本身
6、，那么这个数是0ABCD6（2021山西省初一月考）数学活动课上，王老师把分别写有，5，-2，0，的五张卡片分别发给五位同学，王老师要求同学们按照卡片上数字的特征挑选2人或者3人表演节目（1）王老师先给同学们做了范例，他说手拿卡片上数字为整数的同学表演节目，请你选出表演节目的同学；（2）如果让你来挑选，你会按什么数字特征来选择表演节目的同学？题型3 数集问题性质：有理数的分类。 注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。
7、1（2021宁夏银川市七年级期末）在0，3，2，3.6这四个数中，是负整数的为_2（2021江苏镇江市七年级期末）下列各数：1，1.01001（每两个1之间依次多一个0），0，3.14，其中有理数有_个3.（2021重庆市璧山区正则中学七年级月考）把下列各数填在相应的集合里： 1，0.5，0，2014，20%，正数集合： 负数集合：整数集合： 正分数集合：有理数集合：4.（2021郫都区校级月考）把下列各数的序号填到相应的括号中：0.3；3.1415；10；0.28；27；18；0；2.3；213（1）整数集合： ； （2）负数集合： ；（3）非正数集合： ；（4）分数集合： ；（5）非负整数
8、集合： 5.（2021合川区月考）将下列各数填在相应的集合内5，14，3，312，0，2010，35，6.2，1正数集合 ；负数集合 ；自然数集合 ；整数集合 ；分数集合 ；负分数集合 ；非负数集合 ；非正整数集合 ；6.（2021官渡区校级月考）将有理数1，0，20，1.25，134，12，5分类题型4 利用数轴求两点间距离注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离
9、。1（2021四川广元市九年级一模）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移3个单位长度得到点若，则的值为（ ）ABC或D2（2021江苏南通市九年级一模）如图，如果数轴上，两点之间的距离是，且点在原点左侧，那么点表示的数是（ ）ABCD3（2020浙江台州市七年级期中）已知，点A，B，C三点都在数轴上，点A在数轴上对应的数为2，且，点C在点B的左侧，则点C在数轴对应的数为_4（2021湖南怀化市中考真题）数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ）ABCD5（2021浙江杭州市七年级期末）数轴上有两点M、N，点M到点E的距离为2，点N到点E距离为6，则M、N之间的距离为_6（202
10、1江苏初一课时练习）如图，将一刻度尺放在数轴上. 若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 5，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 2； 若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为 1 和 9，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是 3； 若刻度尺上 0cm 和 4cm 对应数轴上的点表示的数分别为-2 和 2，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是-1； 若刻度尺上 0cm 和 4 cm 对应数轴上的点表示的数分别为-1 和 1，则 1cm 对应数轴上的点表示的数是-0.5. 上述结论中，所有正确结论的序号是 （ ）ABCD题型5 有理数的大小比较
11、解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；（2）正数与负数比较，正数0负数；（3）负数与负数比较，绝对值大的反而小；（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。1（2021吉林白城市七年级期末）比较大小： _2（2021山东临沂市九年级二模）在0，1，-1四个数中，最小的数是（ ）A0B1CD-13（2020山东省中考真题）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（ ）AaBbCcD无法确定4（2021江苏常州市七年级月考）已知a、b在数轴上的位置如图所示
12、，将a、b、a、b从小到大排列正确的一组是（）AababBbaabCbabaDabba5.（2021河北沧州市七年级期末）a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示把a，b，a，b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）A B C D6（2022浙江七年级期末）表示，两数中的最小者，表示，两数中的较大者，如，则是（ ）ABCD题型6 相反数的性质与求法性质：a.除0外，一组相反数一定是一正一负。b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）。c.一组相反数的和为0。解题技巧：（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b，直接在这个数前面添加“”号，
13、在利用多重符号化简的方法化简即可。（2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质c，将两个数相加和为0，表示成方程的形式，直接解方程即可。1（2021河北保定市九年级一模）计算110，则“”表示的运算符号是（）A+BCD2（2022贵州毕节七年级期末）下列各对数中，互为相反数的是（）A和B和C和D和3. （2021河南安阳市七年级期中）的相反数（）ABCD4.（2021广西贵港市七年级期末）若a，b，c，m都是不为零的有理数，且，则b与c的关系是（ ）A互为相反数B互为倒数C相等D无法确定5（2021山东七年级月考）若与互为相反数，则的值为_6（2022河北保定七年级期末）若与-3互为相反数，则
14、m的值为_题型7 由数求绝对值与由绝对值求数1)由数求绝对值：一定为非负数，即2)由绝对值求数a.绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负的数不存在。b.绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解）1（2022四川成都市成都七中七年级期中）若|5x|1，则x_3（2022合肥市七年级月考）已知，且，则x=_，y=_4（2022全国初一课时练习）小麦做这样一道题“计算”、其中“”是被墨水污染看不清的一个数，他翻开后面的答案，得知该题计算结果是8，那么”表示的数是( )A5B-5C11D-5或115（2022湖北襄阳七年级期
15、末）已知|a|8，|a|a，则a等于_6.（2022贵州黔东南七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题解方程：解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得所以原方程的解是或(1)利用上述方法解方程：(2)当满足什么条件时，关于的方程，无解；只有一个解；有两个解题型8 绝对值非负性的应用性质：，即非负性，注：a为任意实数解题技巧：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若a+b=0，则a=0且b=01.（2021黑龙江大庆市九年级一模）若与互为相反数，则的值为（ ）A1B-1C5D-52.（2022浙江初一课时练习）若|x1|y2|0，则xy_3
16、.（2022达孜区期末）已知|x4|+|5y|0，则12（x+y）的值为 4.（2021江岸区校级月考）若|2x4|与|y3|互为相反数，求3xy的值5（2021广东茂名市七年级期末）若，则的值为_6（2022河北唐山七年级期末）已知，则的值为（）A2019BCD1题型9 有理数加减法乘除再认识解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算规律逐一判别即可。1（2021四川射洪县七年级月考）如果、是有理数，则下列各式子成立的是（ ）A如果，那么 B如果，那么C如果，那么 D如果，且，那么2（2022长沙市开福区七年级月考）在数轴上有、两个有理数的对
17、应点，则下列结论中，正确的是（ ）A B C D3（2021北京二中七年级期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ）ABCD4（2022吉林白城市七年级期末）已知数在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A B C D5（2022广东省初一期中）已知 , ,且 ,则 的值是（ ）A7B3C3或7D3或76（2021河西区天津实验中学七年级期末）如图，有理数a，b，c，d在数轴上的对应点分别是A，B，C，D，若，则（ ）A大于5B小于5C等于5D不能确定题型10 有理数加、减法运算的实际应用解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超
18、过标准数的记为正数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。（4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（6）比较结果，得出结论。1（2021北京九年级一模）中国人最先使用负数，数学家刘徽在“正负数”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数根据刘微的这种表示法，图表示算式，则图表示算式_2（2022浙江杭州市七年级期末）记运入仓库的大米吨数为正，则表示（ ）A先运入大米3.5吨，后运入大米2.5吨 B先运出大米3.5吨，后运入大米2.5吨C先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨
19、 D先运出大米3.5吨，后运出大米2.5吨3（2021贵州铜仁市九年级月考）两小朋友在玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台级数为一级、二级、三级、逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5，8，13，21，（这就是著名的斐波拉契数列），请你认真观察这一列数规律，探究一下，上11级台阶共有_种上法4（2021江苏镇江市七年级期末）我市某日的最高温度是7，最低温度是1，则当天的最高温度比最低温度高_5（2022河北省初一期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位
20、：千米）：，（1）请你帮忙确定地位于地的什么方向，距离地多少千米？ （2）若冲锋舟每千米耗油升，邮箱容量为升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？6（2021成都市棕北中学七年级期中）在2020年抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满汽油后沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，8，+9，6，+14，5，+13，10（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千
21、米？题型11. 有理数的乘除法在实际问题中的应用解题技巧：（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。1（2021山西临汾七年级期中）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历天干地支纪年法共有十天干与十二地支，具体情况如下表.其算法是：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数
22、查出地支如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是_年（用天干地支纪年法表示）天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰巳午未申酉戊亥4567891011121232.（2022四川成都七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如
23、果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约_元3（2022四川成都市麓山师大一中七年级月考）在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩算“24点”游戏游戏规则：从一副扑克牌（去掉大，小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或24其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅花6（都是黑色扑克牌），小明凑成的等式为，小亮抽到的四张牌分别是红桃5、黑桃5、方块5、梅花1，请写出小亮凑成的“24点”等式_4.（2021浙江杭州市七年级期中）小王和
24、小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”（1）求小王和小李的速度（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？5（2021吉林长春市第八十七中学七年级期末）大商超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：A如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠；B如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分
25、给予八折优惠（1）李叔叔在该超市购买了一台标价为780元的洗衣机，他应付多少元钱？（2）王阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198元和554元，如果王阿姨一次性购买，只需要付款多少元？能节省多少元？6（2021浙江台州市中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”输液开始时，药液流速为75滴/分钟小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间题型12 新定义运算解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，
26、将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。1（2022北京十二中初一期中）设表示不超过的最大整数，计算_.2（2021湖北省初一期中）把夏禹时代的“洛书”用现代数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，其实际数学意义就是它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中a的值是 （ ）A6B12C18D243（2021沈阳市第一二六中学初一月考）定义新运算：对有理数、，有，如，那么的值是（ ）ABCD4（2022广西百色市七年级期中）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则
27、对它除以2如此循环，最终都能够得到1这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：，如果正整数最少经过6步运算可得到1，则的值为（ ）A10B32C64D10或645（2020四川省内江市第六中学七年级期中）用表示，例1995！=，那么的个位数字是_6（2022浙江金华市七年级开学考试）已知：=3，=10，=15，观察上面的计算过程，寻找规律并计算：=_7（2022北京海淀区七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类
