1、专题03 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1. 最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。题型1. 两个绝对值的和的最值【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：分类情况（的取值范围）图示取值情况当时无法确定当时的值为定值，即为当无法确定结论：式子在时，取得最小值为。例1.（2021珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系在数轴上，若点，分别表示数，则，两点之间的距离为反之，可以理解
2、式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离则当有最小值时，的取值范围是（ ）A或B或CD【答案】D【分析】根据题意将可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）当x5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3；有最小值，最小值为7，此时，故选：D.方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，通过数轴分析反现当时，有最小值，最小值为7。【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到表示的意义
3、，再利用分类思想解答问题.变式1（2022江苏苏州七年级阶段练习）同学们都知道，|5（2）|表示5与2之差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离试探索：（1）求|5（2）| _（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x5|x2|7这样的负整数是_（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x3|x6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由【答案】（1）7；（2）5、4、3、2、1、0、1、2；（3）最小值是3【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；（2）分别讨论当x2时，当5x2时，当x5时去绝对值进行求解即可；（3）同（2）利用分类讨论的思想进行求解
4、即可【详解】解：（1）|5（2）|5+2|7故答案为：7；（2）当x2时，|x+5|+|x2|x+5+x27，解得：x2与x2矛盾，故此种情况不存在；当5x2时，|x+5|+|x2|x+5+2x7，故5x2时，使得|x+5|+|x2|7，故使得|x+5|+|x2|7的整数是5、4、3、2、1、0、1、2；当x5时，|x+5|+|x2|x5+2x2x+37，得x5与x5矛盾，故此种情况不存在故答案为：5、4、3、2、1、0、1、2；（3）|x3|+|x6|有最小值，最小值是3理由如下：当x6时，|x3|+|x6|x3+x62x93；当3x6时，|x3|+|x6|x3+6x3；当x3时，|x3|+
5、|x6|3x+6x92x3故|x3|+|x6|有最小值，最小值是3【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答例2.（2022河南郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的距离；可以理解为数轴上表示 3 与1 的两点之间的距离从“数”的角度看：数轴上表示 4 和3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） 根据以上阅读材料探索下列问题：(1)数轴上表示 3 和
6、9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和5 的两点之间的距离是 ；（直接写出最终结果）(2)若数轴上表示的数 x 和2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ；若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为 【答案】(1)6，7；(2)6或2；4【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；（2）根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可；由于所给式子表示x到1和3的距离之和，当x在1和3之间时和最小，故只需求出1和3的距离即可(1)解：数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是93=6，数轴上表示 2 和5 的两点之间的距离是2（5）=7，故答案为：6，7；(2)
7、解：根据题意，得：x(2)=4，x+2=4，x+2=4或x+2=4，解得：x=6或x=2，故答案为：6或2；表示x到1和3的距离之和，当x在1和3之间时距离和最小，最小值为13=4，故答案为：4【点睛】本题考查数轴上两点之间距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键变式2.（2022思明区校级期末）同学们都知道|5（2）|表示5与（2）之差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5（2）| （2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x2|7成立的整数是 （3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x3|+|x6|是否有最小值？如果有，写
8、出最小值；如果没有，说明理由【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+50或x20时，分为3段进行计算，最后确定x的值（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值【解答】解：（1）原式|5+2|7故答案为：7；（2）令x+50或x20时，则x5或x2当x5时，（x+5）（x2）7，x5x+27，x5（范围内不成立）当5x2时，（x+5）（x2）7，x+5x+27，77，x4，3，2，1，0，1当x2时，（x+5）+（x2）7，x+5+x27，2x4，x2，x2（范围内不成立）综上所
9、述，符合条件的整数x有：5，4，3，2，1，0，1，2；故答案为：5，4，3，2，1，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x3|+|x6|有最小值为3【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性题型2. 两个绝对值的差的最值【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：分类情况（的取值范围）图示取值情况当时的值为定值，即为当时当的值为定值，即为结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。例1.（2022浙江温州七年级开学考试）代数式|x1
10、|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（）Aa3，b0 Ba0，b3 Ca3，b3 Da3，b 不存在【答案】C【分析】分三种情况：当x1时；当-2x1时；当x-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值【详解】解：当x1时，|x1|x+2|x1x23；当2x1时，|x1|x+2|（x1）（x+2）2x1；当x2时，|x1|x+2|（x1）+（x+2）3代数式|x1|x+2|的最大值为a，最小值为b，a3，b3故选：C【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负
11、有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；当a是零时，a的绝对值是零注意分类思想的运用变式1（2022上海七年级期中）代数式，当时，可化简为_；若代数式的最大值为与最小值为，则的值_【答案】 3 -9【分析】当时，可得x-10，x+20，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x1时，根据当时，求出a，b即可【详解】解：当时，x-10，x+20，当时，当x1时，当时，代数式的最大值为3，最小值为-3，a=3，b=-3，ab=-9，故答案为：3，-9【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式例2.（2022湖北十堰七年级期中）设1x3，则|x3|x|+|x+2
12、|的最大值与最小值之和为_【答案】8.5【分析】先根据-1x3，确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可【详解】1x3，当1x0时，|x3|x|+|x+2|3x+x+x+2+5，最大值为5，最小值为4.5；当0x3时，|x3|x|+|x+2|3xx+x+2+5，最大值为5，最小值为3.5，最大值与最小值之和为8.5；故答案为：8.5【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键变式2（2022湖北武汉七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，
13、请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为_ ，数x与-1所对应的点的距离为_ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为_【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20【分析】（1）根据题意即可列式解答；（2）由x的取值范围分三种情况：当x-1时，当-1x1时，当x1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；（3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为，数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ；（2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离，当x-1时，=1-x，
14、=-1-x，=（-1-x）-（1-x）=-2；当-1x1时，=1-x，=x+1，=（x+1）-（1-x）=2x2；当x1时，=x-1，=x+1，=（x+1）-（x-1）=2，的最大值为2（3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8，的最大值是2+4+6+8=20【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式题型3. 多个绝对值的和的最值【解题技巧】最小值规律：当有两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；当有三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合；当有（奇数）个绝对值相加：，且，则取中间数，即当
15、时，取得最小值为；当有（偶数）个绝对值相加：，且，则取中间段，即当时，取得最小值为。例1.（2022天津初一月考）若是有理数，则的最小值是_【答案】509040【分析】首先判断出|x2|+|x4|+|x6|+|x2018|就是求数轴上某点到2、4、6、2018的距离和的最小值；然后根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2018之间时，到2和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；，所以当x=1010之间时，算式|x2|+|x4|+|x6|+|x2018的值最小，据此求出|x2|+|x4|+|x6|+|x2018|最小值是多少即可【解析
16、】根据绝对值得几何意义分析，知当x=1010时，算式|x2|+|x4|+|x6|+|x2018的值最小，最小值是：（20182）+（20164）+（20146）+（1010-1010）2016+2012+2008+0（2016+0）505220165052509040|x2|+|x4|+|x6|+|x2018|的最小值是509040【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离变式1（2022武侯区校级月考）|x1|+|x2|+|x3|+|x2014|的最小值为 ，此时
17、x的取值为 解：原式可转化为在数轴上找一个点到1，2，3，2014对应的点的距离和最小，故当1007x1008时，距离和最小，可取x1007，则此时距离和为：1006+1005+1004+0+1+2+1006+10072（1+2+3+1006）+10071014049，即原式的最小值为1014049；当x1008时，最小值也为1014049，故1007x1008例2.（2022北京市第四十四中学七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，bA，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离例如：当a2，b5时，523；当a2，b5时，7；当a2
18、，b5时，3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离（也可以表示为）请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a和2的两点间距离是6，则a ；（2）如果数轴上表示数a的点位于4和3之间，则 （3）代数式的最小值是 （4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子的最小值为 （用含有a，b，c，d的式子表示结果）【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）【分析】（1）根据题意可得： ，解出即可求解；（2）根据题意可得： ，从而得到 ，进而得到a4，3a，即可求解；（3）根据题意可得：当a2时，代数式存在最小值，化简即可求解；（4）根据题意可得：原式表示
19、对应点到 对应的点的距离之和，从而得到当 时，有最小值，即可求解【详解】解：（1）根据题意得： ， 或 ，解得： 或-8；（2）表示数a的点位于4和3之间， ， ，a4，3a， a43a7；（3） 当a2时，代数式存在最小值， 1012.所以，最小值是2；（4）根据题意得：，原式表示 对应点到 对应的点的距离之和，如图所示，当 时，有最小值，原式 【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键变式2.（2022龙泉驿区期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为
20、|ab|；反过来，|ab|也就表示A，B两点之间的距离下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题例，若|x+5|2，那么x为：|x+5|2，即|x（5）|2文字语言：数轴上什么数到5的距离等于2图形语言：答案：x为7和3请你模仿上题的，完成下列各题：（1）若|x+4|x2|，求x的值；文字语言：图形语言：答案：（2）|x3|x|2时，求x的值：文字语言：图形语言：答案：（3）|x1|+|x3|4求x的取值范围：文字语言：图形语言：答案：（4）求|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|的最小值文字语言：图形语言：答案：【分析】运用数形结合思想：图一 图二图三 图四【解答】
21、解：（1）文字语言：数轴上什么数到4的距离等于到2的距离图形语言： 答案：x1（2）文字语言：数轴上什么数到3的距离比到原点（0）的距离大2图形语言： 答案：x=12（3）文字语言：数轴上什么数到1的距离和它到3的距离大于4图形语言： 答案：x4，x0（4）文字语言：数轴上什么数到1，2，3，4，5距离之和最小值图形语言： 答案：6【点评】本题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求解问题 课后专项训练：1（2022全国七年级）若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，当x取任意有理数时，代数式的最小值为（）A5B4C3D2【答案】B【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离
22、，可知当x处于2和6中间时，|x-6|+|x-2|取得最小值，即为数轴上2和6之间的距离【详解】解：|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，|x-6|+|x-2|表示数轴上数x与6和数x与2对应的点之间的距离之和，当2x6时，代数式|x-6|+|x-2|有最小值，最小值为|6-2|=4，故选：B【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离是解题的关键2（2022湖北宜昌市第九中学七年级期中）最小值为_【答案】5【分析】先分区间确定零点，x+2=0和x-3=0，分三种情况，和分别化去绝对值符号，合并化简，根据x的范围确定每个区间中绝对值
23、式子的值的范围即可确定最小值【详解】令x+2=0，x-3=0，求得x=-2与x=3，当时，当时，当，的最小值为5故答案为：5【点睛】本题考查利用绝对值化简求最小值问题，掌握绝对值化简得技巧，会根据绝对值的个数分区间化去绝对值符号是解题关键3（2022陕西西安交大阳光中学七年级阶段练习）阅读下列材料:我们知道a的几何意义是在数轴上数a对应的点与原点的距离.数轴上数a与数0对应点之间的距离，这 个结论可以推广为: |a- b|均表示在数轴上数a与b对应点之间的距离，例:已知|a-1|=2， 求a的值.解:在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和-1，即a的值为3和-1.仿照阅读材料的解法，解决下列问
24、题(1)已知，求a的值.(2)若数轴上表示a的点在-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值为_(3)当a满足什么条件时，|a-1|+ |a+2|有最小值，最小值是多少?【答案】(1)；(2)，【分析】(1)根据数轴上数a与数-2之间的距离等于4即可求得答案；(2)根据题意，可知当4a2时，|a+4|+|a-2|的值为6；(3)根据线段上的点与线段两端点的距离的和最小，可得到答案.【详解】(1)，得到或a=2；(2)根据题意， |a+4|表示数轴上表示数a的点与表示数-4的点之间的距离，|a-2|表示数a的点与表示数2的点之间的距离，因为4a2，画图可知|a+4|+|a-2|6；(3)时，|a
25、-1|+ |a+2|有最小值，最小值是【点睛】本题考查了数a的绝对值的意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数形结合是解题的关键.4（2021贵州六盘水七年级阶段练习）同学们都知道，根据绝对值的几何意义，|4（2）|表示4与2的差的绝对值，实际上也可理解为4与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离：同理|x3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）|4（2）| ；（2）找出所有符合条件的整数x，使|x4|+|x+2|6成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x3|+|x6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由【答案
26、】（1）6；（2）符合条件的整数x为-2、-1、0、1、2、3、4；（3）3，理由见解析【分析】（1）可先算出4与-2的差，然后再求出差的绝对值即可；（2）设-2、4、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，则有|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6然后分X在点A的左边、X在AB之间、X在点A的右边三种情况讨论，就可解决问题；（3）设3、6、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，则|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3借鉴（2）中的经验可得AX+BXAB，即|x-3|+|x-6|3，当X在A、B之间时取等号【详解】解：（1） ，故答案为：6；（2）设
27、-2、4、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，则|x-4|+|x+2|=BX+AX=6，AB=|4-（-2）|=6X在点A的左边时，BX+AX =AX+AB+AX=2AX+6=6，AX=0与X在点A的左边矛盾，不符合题意当X在点A、B之间时，BX+AX=AB=6与AB=6相符，此时X表示的整数可以为-2、-1、0、1、2、3、4；整数x的值可以为-2、-1、0、1、2、3、4；X在点B的右边时，BX+AX =AB+BX+BX=6+2BX=6，BX=0，与X在点B的右边矛盾，不符合题意综上所述：符合条件的整数x为-2、-1、0、1、2、3、4；（3）对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|有最
28、小值，最小值为3设3、6、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，则|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3由（2）同理可知，当X在点A的左边时，BX+AX =AX+AB+AX=2AX+3，当X在点A、B之间时，BX+AX=AB=6，当X在点B的右边时，BX+AX =AB+BX+BX=6+2BX，AX+BXAB，|x-3|+|x-6|3，当X在A、B之间时取等号|x-3|+|x-6|有最小值3【点睛】本题考查的是绝对值的概念、几何意义、数轴等知识，在解决问题的过程中用到了分类讨论及数形结合的思想，是解决本题的关键5（2021北京市平谷区峪口中学七年级期中）同学们都知道，|5（2）|表示5与2之差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离试探索：（1）求|5（
