1、专题02 全等三角形中的六种模型梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。类型一、倍长中线模型中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。目的：构造出一组全等三角形；构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中去。例1某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入【探究与发现】如图1，延长ABC的边BC到D，使DCBC，过D作DEAB交AC延长线于点E，求证：ABCEDC【理解与应用】如图2，已知在ABC中，点E在边BC上且CAEB，点E是CD的中点，若AD平分BAE（1）求证：
2、ACBD；（2）若BD3，AD5，AEx，求x的取值范围【答案】探究与发现见解析；理解与应用（1）见解析；（2）1x4【详解】解：探究与发现证明：DEAB，B=D，又BC=DC，ACB=ECD，ABCEDC（ASA）；理解与应用（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，点E是CD的中点，ED=EC，在DEF与CEA中，DEFCEA（SAS），AC=FD，AFD=CAE，CAE=B，AFD=B，AD平分BAE，BAD=FAD，在ABD与AFD中，ABDAFD（AAS），BD=FD，AC=BD；（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，ABDAFD，AB=AF=2x，BD=3，A
3、D=5，在ABD中，由三角形的三边关系得：AD-BDABAD+BD，即5-32x5+3，解得：1x4，即x的取值范围是1x4【变式训练1】如图1，在中，是边的中线，交延长线于点， （1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，求的值【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）如图1所示，延长至点，使，在与中，在与中，,，； （2）如图所示，平分，作，在与中，在与中，设， 【变式训练2】（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】证：（1）如图
4、所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，AD是ABC的中线，D为BC的中点，BD=CD，在ABD与PCD中，ABDPCD(SAS)，AB=CP，在APC中，由三边关系可得AC+PCAP，；（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，H为DE中点，D、E为BC三等分点，DH=EH，BD=DE=CE，DH=CH，在ABH和QCH中，ABHQCH(SAS)，同理可得：ADHQEH，AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点，AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CKAK，AC+CQAK+QK，又AK+QK=AE+EK+QK，EK+QKQE，AK
5、+QKAE+QE，AC+CQAK+QKAE+QE，AB=CQ，AD=EQ，；（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，M为DE中点，DM=EM，BD=CE，BM=CM，在ABM和NCM中，ABMNCM(SAS)，同理可证ADMNEM，AB=NC，AD=NE，此时，延长AE，交CN于T点，AC+CN=AC+CT+NT，AC+CTAT，AC+CNAT+NT，又AT+NT=AE+ET+NT，ET+NTNE，AT+NTAE+NE，AC+CNAT+NTAE+NE，AB=NC，AD=NE，【变式训练3】在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点直线于点，连接，（1
6、）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点求证：（2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，求的长度（3）若过点作直线于点试探究线段、和的关系【答案】（1）见解析；（2）；（3）线段、和的位置关系为，数量关系为或或【详解】（1）证明：如图1，直线于点，直线于点，又为边中点，在和中，（2）解：如图2，延长与的延长线相交于点，直线于点，直线于点，又为中点，又，在和中，（3）位置关系：，数量关系：分四种情况讨论直线于点直线于点，直线于点，如图3，当直线与线段交于一点时，由（1）可知，即，当直线与线段交于一点时，如图，延长交的延长线于点直线于点，直线于点，又为边中点，在和中
7、，即，如图4，当直线与线段的延长线交于一点时由（2）得：，即，当直线与线段的延长线交于一点时，如图，延长交的延长线于点直线于点，直线于点，又为中点，又，在和中，即，综上所述，线段、和的位置关系为，数量关系为或或类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为ABC外一点，且MPN60，BPC120，BPCP探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系(1)如图，当点M、N在边AB、AC上，且PMPN时，试说明MNBM+CN(2)如图，当点M、N在边AB、AC上，且PMP
8、N时，MNBM+CN还成立吗？答： （请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）(3)如图，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系【答案】(1)见解析；(2)一定成立；(3)MNNCBM【解析】(1)证明：ABC为等边三角形，ABCACB60，BPC120，BPCP，PBCPCB（180120）30，PBMPCN90，在RtPBM和RtPCN中，RtPBMRtPCN（HL），BPMCPN30，MPN60，PMPN，PMN为等边三角形，PMPNMN，在RtPBM中，BPM30，BMPM，同理可得，CNPN，BM+CNMN(2)解：一定成立
9、，理由如下：延长AC至H，使CHBM，连接PH，如图所示，由（1）可知：PBMPCN90，PCH90，PBMPCH，在PBM和PCH中，PBMPCH（SAS），PMPH，BPMCPH，BPM+CPN60，CPN+CPH60，MPNHPN，在MPN和HPN中，MPNHPN（SAS），MNHNBM+CN，故答案为：一定成立(3)解：在AC上截取CKBM，连接PK，如图所示，在PBM和PCK中，PBMPCK（SAS），PMPK，BPMCPK，BPM+BPN60，CPK+BPN60，KPN60，MPNKPN，在MPN和KPN中，MPNKPN（SAS），MNKN，KNNCCKNCBM，MNNCBM【变式
10、训练1】如图，在四边形中，点E、F分别在直线、上，且(1)当点E、F分别在边、上时（如图1），请说明的理由(2)当点E、F分别在边、延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出、之间的数量关系，并说明理由【答案】(1)见解析；(2)不成立，见解析【解析】(1)EFBE+DF，理由：延长EB至G，使BGDF，连接AG，ABC+ADC180，ABC+ABG180，ADCABG，在ABG和ADF中，ABGADF（SAS），AGAF，BAGDAF，EAFBAD，BAE+DAFBAE+BAGEAF，即EAGEAF，在EAG和EAF中，EAGEAF（SAS），GE
11、EF，EFBE+DF；(2)（1）中结论不成立，EFBEFD，在BE上截取BMDF，连接AM，ABC+ADC180，ADC+ADF180，ABCADF，在ABM和ADF中，ABMADF（SAS），AMAF，BAMDAF，BAM+MADDAF+MAD，BADMAF，EAFBAD，EAFMAF，EAFEAM，在AME和AFE中，AMEAFE（SAS），MEEF，MEBEBMBEDF，EFBEFD【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，求证：思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：
12、延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、之间的数量关系【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图平分，在和中，方法2：延长到点，使得，连接，如图平分，在和中，（2）、之间的数量关系为：（或者：，）延长到点，使，连接，如图2所示由（1）可知，为等边三角形，为等边三角形，即在和中，（3），之间的数量关系为：（或者：
13、，）解：连接，过点作于，如图3所示，在和中，在和中，【变式训练3】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F（1）求证：；（2）已知如图1，若，求CE的长；如图2，若，求的大小【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100【解析】解：（1）、分别是与的角平分线，（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，由（1）得，在与中， ，（SAS），在与中，；，（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，在与中， ，（SAS），又，又，类型三、做平行线证明全等例1如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点求让：【答案】见详解【详解】过点D作DEAC，交BC于点
14、E，是等边三角形，B=ACB=60，DEAC，DEB=ACB=60，MDE=MEC，是等边三角形，BD=DE，DE=CE，又EMD=CME，EMDCME，【变式训练1】 P为等边ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PACQ，连PQ交AC边于D（1）证明：PDDQ（2）如图2，过P作PEAC于E，若AB6，求DE的长【答案】（1）证明见解析；（2）DE3【详解】（1）如图1所示，点P作PFBC交AC于点FABC是等边三角形，APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQPFBC，PFD=DCQ在PDF和QDC中，PDFQDC（AAS），PD=DQ；（2）如图2所示，过P作PFBC交AC于
15、FPFBC，ABC是等边三角形，PFD=QCD，APF是等边三角形，AP=PF=AFPEAC，AE=EFAP=PF，AP=CQ，PF=CQ在PFD和QCD中，PFDQCD（AAS），FD=CDAE=EF，EF+FD=AE+CD，AE+CD=DEACAC=6，DE=3【变式训练2】已知在等腰ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M请探究：(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，
16、若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；【答案】(1)DM=EM理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD=ME【解析】(1)解：DM=EM；证明：过点E作EF/AB交BC于点F，AB=AC，ABC=C；又EF/AB，ABC=EFC，EFC=C，EF=EC又BD=EC，EF=BD又EF/AB，ADM=MEF在DBM和EFM中 ，DBMEFM，DM=EM(2)解：成立；证明：过点E作EF/AB交CB的延长线于点F，AB=AC，ABC=C；又EF/AB，ABC=EFC，EFC=C，EF=EC又BD=EC，EF=BD又EF/AB，ADM=MEF在DBM和E
17、FM中DBMEFM；DM=EM；类型四、旋转模型例如图1，、相交于点，连接（1）求证：，并用含的式子表示的度数；（2）当时，取，的中点分别为点、，连接，如图2，判断的形状，并加以证明【答案】（1）证明见解析；（2）为等腰直角三角形；证明见解析【详解】证明：（1）如图1，在和中，；，中，,，中，；即；（2）为等腰直角三角形证明：如图2，由（1）可得，的中点分别为点、，在和中，且，又，为等腰直角三角形【变式训练1】四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；（2）当点在边的延长线上时（如图2
18、），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，请直接写出的长为 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】解：（1）证明：把DBM绕点D逆时针旋转120得到DAQ，则DM=DQ，AQ=BM，ADQ=BDM，QAD=CBD=90，点Q在直线CA上，QDN=ADQ+ADN=BDM+ADN=ABD-MDN=120-60=60，QDN=MDN=60，在MND和QND中，MNDQND（SAS），MN=QN，QN=AQ+AN=BM+AN，BM+AN=MN；（2）：.理由如下：如图，把DAN绕点D顺时针旋转120得到DBP，则DN=DP，AN=BP，DAN=
19、DBP=90，点P在BM上，MDP=ADB-ADM-BDP=120-ADM-ADN=120-MDN=120-60=60，MDP=MDN=60，在MND和MPD中，MNDMPD（SAS），MN=MP，BM=MP+BP，MN+AN=BM；（3）如图，过点M作MHAC交AB于G，交DN于H，ABC是等边三角形，BMG是等边三角形，BM=MG=BG，根据（1）MNDQND可得QND=MND，根据MHAC可得QND=MHN，MND=MHN，MN=MH，GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，在ANE和GHE中，ANEGHE（AAS），AE=EG=2.1，AC=7，AB=AC=7，BG=AB-A
20、E-EG=7-2.1-2.1=2.8，BM=BG=2.8故答案为：2.8【变式训练2】（1）问题发现：如图1，ACB和DCE均为等边三角形，当DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE则：AEB的度数为 ；线段AD、BE之间的数量关系是 （2）拓展研究：如图2，ACB和DCE均为等腰三角形，且ACBDCE90，点 A、D、E在同一直线上，若ADa，AEb，ABc，求a、b、c之间的数量关系（3）探究发现：图1中的ACB和DCE，在DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由【答案】（1）60；ADBE
21、；（2）a2b2c2；（3）60或120【详解】解：（1）如图1，ACB和DCE均为等边三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=60，ACD=BCE，在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）ADC=BECDCE为等边三角形，CDE=CED=60，点A，D，E在同一直线上，ADC=120，BEC=120，AEB=BEC-CED=60，故答案为：60；ACDBCE，AD=BE，故答案为：AD=BE；（2）ACB和DCE均为等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90ACD=BCE，ACDBCE（SAS），BE=AD，ADC=BEC，DCE为等腰直角三角形，CDE=CED=
22、45点A，D，E在同一直线上，ADC=135BEC=135，AEB=BEC-CED=90，AD2+AE2=AB2，AD=a，AE=b，AB=c，a2+b2=c2；（3）如图3，由（1）知ACDBCE，CAD=CBE，CAB=CBA=60，OAB+OBA=120，AOE=180-120=60，如图4，同理求得AOB=60，AOE=120，AOE的度数是60或120【变式训练3】如图1，在中，点，分别在边，上，连接，点，分别为，的中点（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_，位置关系是_（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把绕点在平面
23、内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值【答案】（1）、；（2）等腰直角三角形，证明见解析；（3）【详解】解：（1）点P，N是BC，CD的中点， PNBD，PN=BD， 点P，M是CD，DE的中点， PMCE，PM=CE， AB=AC，AD=AE， BD=CE， PM=PN， PNBD， DPN=ADC， PMCE， DPM=DCA， BAC=90， ADC+ACD=90， MPN=DPM+DPN=DCA+ADC=90， PMPN， 故答案为：PM=PN，PMPN； （2）PMN是等腰直角三角形 理由如下： 由旋转知，BAD=CAE， AB=AC，AD=AE， ABDACE（SAS）， ABD=
24、ACE，BD=CE， 利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE， PM=PN， PMN是等腰三角形， 同（1）的方法得，PMCE， DPM=DCE， 同（1）的方法得，PNBD， PNC=DBC， DPN=DCB+PNC=DCB+DBC， MPN=DPM+DPN=DCE+DCB+DBC =BCE+DBC=ACB+ACE+DBC =ACB+ABD+DBC=ACB+ABC， BAC=90， ACB+ABC=90， MPN=90， PMN是等腰直角三角形； （3）由（2）知，PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD， PM最大时，PMN面积最大， 点D在BA的延长线上， BD=AB+AD=14，
25、 PM=7， SPMN最大= PM2=49=类型五、手拉手模型例在等边中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60得到线段DF，连接CF(1)如图（1），点D是AB的中点，点E与点C重合，连接AF若，求AF的长；(2)如图（2），点G在AC上且，求证：；(3)如图（3），连接AF过点F作AF的垂线交AC于点P，连接BP、DP将沿着BP翻折得到，连接QC当的周长最小时，直接写出的面积【答案】(1)AF=3；(2)见解析；(3)，详见解析【解析】(1)解：ABC为等边三角形，BC=AC，BCA=60，由旋转知，CDF=60，CD=CF，DCF为等边三角形，CD=CF，DCF=60，DCB=ACF，BCDACF，AF=BD，D为AB中点，AB=6，BD=3，AF=3(2)解：将CF绕C顺时针旋转60得CH，连接CH，FH，EF，EH，CD，在AC上截取AP=BE，连接DP，设CD交EH于M，如图所示，由旋转知，DEF、CFH为等边三角形，DF=EF，CF=FH，DFE=CFH=60，DFC=EFH，DCFBHF，EH=CD，DCF=EHF，由三角形内角和知，HMC+EHF=DCF+HFC，HMC=HFC=60，DCE+HEC=60，DCP+DCE=60，CEH=DCP，AC=BC，AP=BE，CP=CE，ECHCPD，
