1、专题09 分式方程实际应用的三种考法类型一、销售利润问题例1某公司推出一款桔子味饮料和一款荔枝味饮料，桔子味饮料每瓶售价是荔枝味饮料每瓶售价的倍4月份桔子味饮料和荔枝味饮料总销售60000瓶，桔子味饮科销售额为250000元，荔枝味饮料销售额为280000元(1)求每瓶桔子味饮料和每瓶荔枝味饮料的售价？(2)五一期间，该公司提供这两款饮料12000瓶促销活动，考虑荔枝味饮料比较受欢迎，因此要求荔枝味饮料的销量不少于桔子味饮料销量的；不多于枯子味饮料的2倍桔子味饮料每瓶7折销售，荔枝味饮料每瓶降价2元销售，问：该公司销售多少瓶荔枝味饮料使得总销售额最大？最大销售额是多少元？【答案】(1)每瓶桔子
2、味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元；(2)当m7200时，销售额最大，w最大值是76800元【解析】(1)解：设每瓶荔枝味饮料的售价为x元，则每瓶桔子味饮料的售价为元，依题意，得：，解得：x8，经检验，x8是原方程的解，且符合题意，10（元），答：每瓶桔子味饮料的售价为10元，每瓶荔枝味饮料的售价为8元(2)解：设销售荔枝味饮料m瓶，则销售桔子味饮料（12000m）瓶，依题意，得：，解得：7200m8000，设总销售额w元，则w是m的一次函数，且k10，当m7200时，销售额最大，w最大值是76800元【变式训练1】某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯
3、多10元，用600元购买B款保温杯的数量与用480元购买A款保温杯的数量相同(1)A、B两款保温杯销售单价各是多少元？(2)由于需求量大，A，B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的一半，若两款保温杯的销售单价均不变，进价均为30元/个，应如何进货才使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元(2)购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元【解析】(1)解：设A款销售单价为x元，则B款销售单价为（）元，根据题意得：，解得，经检验，是原方程的解
4、且符合题意，答：A款保温杯销售单价为40元，B款保温杯销售单价为50元；(2)解：设购进A款保温杯m个，则购进B款保温杯（120m）个，总利润为W元，根据题意得：，W随m的增大而减小，时，W最大，且，此时，答：购进A款40个，B款80个能使销售利润最大，最大利润2000元【变式训练2】国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同(1)求A，B两种型号汽车的进货单价；(2)销售过程中发现：A型汽车的每周销售量yA（台）与售价
5、xA（万元台）满足函数关系yAxA+18；B型汽车的每周销售量yB（台）与售价xB（万元/台）满足函数关系yBxB+14若A型汽车的售价比B型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w万元当A型汽车的利润不低于B型汽车的利润，求B型汽车的最低售价？求当B型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？【答案】(1)A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元(2)B型汽车的最低售价为万元/台，A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元【解析】(1)解：设B型汽车的进货单价为x
6、万元，根据题意，得：，解得x8，经检验x8是原分式方程的根，8+210（万元），答：A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元；(2)设B型号的汽车售价为t万元/台，则A型汽车的售价为（t+1）万元/台，根据题意，得：（t+110）（t+1）+18（t8）（t+14），解得：t，t的最小值为，即B型汽车的最低售价为万元/台，答：B型汽车的最低售价为万元/台；根据题意，得：w（t+110）（t+1）+18+（t8）（t+14）2t2+48t2652（t12）2+23，20，当t12时，w有最大值为23答：A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车
7、的总利润最大，最大利润是23万元【变式训练3】某家电销售商城电冰箱的销售价为每台元，空调的销售价为每台元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多元，商场用元购进电冰箱的数量与用元购进空调的数量相等（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商场准备一次购进这两种家电共台，设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的倍，且购进电冰箱不多于台，请确定获利最大的方案以及最大利润（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这台家电销售总利润最大的进货方案【答案】（1）每台空调的进价为元，则每台电冰
8、箱的进价为元；（2）当购进电冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元；（3）当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大；当时，各种方案利润相同；当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大【解析】解：设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元设购进电冰箱台，这台家电的销售总利润为元，则，根据题意得：，解得：，为正整数，合理的方案共有种，即电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；电冰箱台，空调台；，随的增大而减小，当时，有最大值，最大
9、值为：元，答：当购进电冰箱台，空调台获利最大，最大利润为元当厂家对电冰箱出厂价下调元，若商店保持这两种家电的售价不变，则利润，当，即时，随的增大而增大，当时，这台家电销售总利润最大，即购进电冰箱台，空调台；当时，各种方案利润相同；当，即时，随的增大而减小，当时，这台家电销售总利润最大，即购进电冰箱台，空调台；答：当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大；当时，各种方案利润相同；当时，购进电冰箱台，空调台销售总利润最大【变式训练4】为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：衬衫价格甲乙进价（元件）售价（元件）260180若用3000元
10、购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件【详解】解：（1）依题意得：，整理
11、，得：，解得：，经检验，是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，根据题意得：，解得：，为整数，答：共有11种进货方案；（3）设总利润为，则，当时，随的增大而增大，当时，最大，此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，随的增大而减小，当时，最大，此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件类型二、方案问题例某商店决定购进A、B两种纪念品已知每件A种纪念品的价格
12、比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，那么该商店共有几种进货方案？（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利m元，出售一件B种纪念品可获利（6m）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）【答案】（1）购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元；（2）共有11种进货方案；（3）当；种70件，种30件时可获利最多；当
13、，种60件，种40件时可获利最多【详解】解：（1）设购进种纪念品每件价格为元，种纪念币每件价格为元，根据题意可知：，解得：，答：购进种纪念品每件需要10元，种纪念品每件需要5元（2）设购进种纪念品件，则购进种纪念品件，根据题意可得：，解得：，只能取正整数，共有11种情况，故该商店共有11种进货方案分别为：种70件，种30件；种69件，种31件；种68件，种32件；种67件，种33件；种66件，种34件；种65件，种35件；种64件，种36件；种63件，种37件；种62件，种38件；种61件，种39件；种60件，种40件（3）销售总利润为，商家出售的纪念品均不低于成本价，根据一次函数的性质，当时
14、，即，随着增大而增大，当时，取到最大值；即方案为：种70件，种30件时可获利最多；当时，即，随着增大而减小，当时，取到最大值；即方案为：种60件，种40件时可获利最多【变式训练1】为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少
15、盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？【答案】（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；（3）w；购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元【解析】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格分别是元，元，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的解，答：每盒
16、口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）设购买水银体温计盒能和口罩刚好配套，根据题意，得，则，答：购买水银体温计盒能和口罩刚好配套；（3）由题意得：，此时，；若，则，综上所述：；若该校九年级有900名学生，需要购买口罩：（支，水银体温计：（支，此时（盒，（盒，则（元答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元【变式训练2】某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍
17、少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润售价进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？【答案】（1）甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；（2）商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件；【详解】（1）设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为：元根据题意，得： ， 当时，且是方程的解， 甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；（2）设该商场购进乙种牛
18、奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为件两种牛奶的总数不超过95件， ， 销售的总利润（利润售价进价）超过371元， ， ， 商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；或商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；或商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件【变式训练3】某公司经销甲种产品，受国际经济形势的影响，价格不断下降预计今年的售价比去年同期每件降价元，如果售出相同数量的产品，去年销售额为万元，今年销售额只有万元（1）今年这种产品每件售价多少元？（2）为了增加收入，公司决定再经销另一种类似产品乙，已知产品甲每件进价为元；产品乙每件进价为元，售价元，公司预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种
19、产品共件，分别列出具体方案，并说明哪种方案获利更高【答案】（1）今年这种产品每件售价为元；（2）有三种方案：方案：甲产品进货件，乙产品进货件；方案：甲产品进货件，乙产品进货件；方案：甲产品进货件，乙产品进货件；方案的利润更高【详解】解：设今年这种产品每件售价为元，依题意得：，解得：经检验：是原分式方程的解答：今年这种产品每件售价为元设甲产品进货件，则乙产品进货件依题意得：，解得：，因此有三种方案：方案：甲产品进货件，乙产品进货件；方案：甲产品进货件，乙产品进货件；方案：甲产品进货件，乙产品进货件.方案利润：，方案利润：，方案利润：，方案的利润更高.类型三、工程问题例为稳步推进网络建设，深化共建
20、共享，现有甲、乙两个工程队参与基站建设工程 （1）已知乙队的工作效率是甲队的倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）当甲队施工天完成基站建设工程的时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前天完成了剩余的工程求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？若乙队参与该项工程施工的时间不超过天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？【答案】（1）乙队单独施工，需要天才能完成该项工程（2）36天，至少40天【详解】解：（1）设乙队单独施工，需要天才能完成该项工程，题意，得，解方程，得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意答：乙队单独施工
21、，需要天才能完成该项工程（2）由题意得，甲队单独施工天完成该项工程的，所以甲队单独施工天完成该项工程.甲队单独施工完成剩余的工程的时间为（天），于是甲、乙两队共同施工的时间为（天）设乙队单独施工需要天才能完成该项工程，则，解方程，得.经检验，是原分式方程的解，且符合题意答：若乙队单独施工，需要天才能完成该项工程设甲队从开始施工到完成该工程需要天，依题意列不等式，得，解得：【变式训练1】某工程公司承包了修筑一段塌方道路的工程，并派旗下第五、六两个施工队前去修筑，要求在规定时间内完成（1）已知第五施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，第六施工队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天
22、，如果第五、六施工队先合作20天，剩下的由第五施工队单独施工，则要误期2天完成那么规定时间是多少天？（2）实际上，在第五、六施工队合作完成这项工程的时，公司又承包了更大的工程，需要调走一个施工队你认为留下哪个施工队继续施工能按时完成剩下的工程？【答案】（1）规定的时间是28天；（2）留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程，见解析【详解】解：（1）设规定的时间是x天，根据题意，得，解得，经检验，是原分式方程的解且符合实际意义答：规定的时间是28天；（2）设第五、六施工队合作完成这项工程的用了y天，根据题意，得，解得，由第五、六施工队单独完成剩下的工程，所需的时间分别为：（天），（天
23、），因为，所以留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程答：留下第六施工队继续施工能在规定的时间内完成剩下的工程【变式训练1】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用天时间完成整个工程当一号施工队工作天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？【答案】（1）若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要天；（2）若
24、由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要天【详解】（1）设二号施工队单独施工需要天，根据题意得：，解得：，经检验，是原分式方程的解若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要天；（2）一号、二号施工队同时进场施工需要的天数为x天根据题意得： 若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要天【变式训练2】2019年，在新泰市美丽乡村建设中，甲、乙两个工程队分别承担某处村级道路硬化和道路拓宽改造工程已知道路硬化和道路拓宽改造工程的总里程数是86千米，其中道路硬化的里程数是道路拓宽里程数的2倍少1千米（1）求道路硬化和道路拓宽里程数分别是多少千米；（2）甲、乙两个工程队同时开始施工，甲工程队比乙
25、工程队平均每天多施工10米由于工期需要，甲工程队在完成所承担的施工任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了设乙工程队平均每天施工米，若甲、乙两队同时完成施工任务，求乙工程队平均每天施工的米数和施工的天数【答案】（1）道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米；（2）乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天【详解】解：（1）设道路拓宽里程数为千米，则道路硬化里程数为千米，依题意，得：，解得：，答：道路硬化里程数为5.4千米，道路拓宽里程数为3.2千米（2）设乙工程队平均每天施工米，则甲工程队技术改进前每天施工米，技术改进后每天施工点米，依题意，得：乙工程队施工天数为天，甲工
26、程队技术改造前施工天数为：天，技术改造后施工天数为：天依题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：乙工程队平均每天施工20米，施工的天数为160天【变式训练3】某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米（2）若甲工程队每天可以改造米道路，乙工程队每天可以改造米道路，（其中）现在有两种施工改造方案：方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造；方案二：完成
27、整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为米，则甲工程队每天道路的长度为米，根据题意，得：，解得：，检验，当时，原分式方程的解为：，答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）设方案一所用时间为：，方案二所用时间为，则，即：，方案二所用的时间少【变式训练4】2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，某市派出两个抢险救灾工程队赶到汶川支援，
28、甲工程队承担了2400米道路抢修任务，乙工程队比甲工程队多承担了600米的道路抢修任务，甲工程队施工速度比乙工程队每小时少修40米，结果两工程队同时完成任务问甲、乙两工程队每小时各抢修道路多少米（1）设乙工程队每小时抢修道路x米，则用含x的式子表示：甲工程队每小时抢修道路 米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为 小时（2）列出方程，完成本题解答【答案】（1）（x40）；（2）甲工程队每小时抢修道路160米，乙工程队每小时抢修道路200米【详解】（1）设乙工程队每小时抢修道路x米，则甲工程队每小时抢修道路（x40）米，甲工程队完成承担的抢修任务所需时间为小时，乙工程队完成承担的抢修任务所需时间为小时故答案为：（x40）；（2）依题意，得：，解得：x200，经检验，x200是原方程的解，且符合题意，x40160答：甲工程队每小时抢修道路160米，乙工程队每小时抢修道路200米
