1、二次函数ya(xh)2k的图象和性质第1课时二次函数yax2k的图象和性质见B本P141抛物线y2x21的对称轴是(C)A直线xB直线xCy轴 D直线x22下列函数中，图象形状、开口方向相同的是(B)yx2；y2x2；yx21；yx22；y2x23.A BC D【解析】 a决定抛物线的开口方向与形状大小，中a相同，选B.3如果将抛物线yx22向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是(C)Ay(x1)22 By(x1)22Cyx21 Dyx2342013德州下列函数中，当x0时，y随x的增大而增大的是(B)Ayx1 Byx21Cy Dyx215抛物线y2x25的开口向_下_，对称轴是_y轴_
2、，顶点坐标是_(0，5)_【解析】 根据抛物线yax2c的特征解答即可6抛物线yx24可由抛物线yx2沿_y_轴向_下_平移_4_个单位而得到，它的开口向_上_，顶点坐标是_(0，4)_，对称轴是_y轴_，当_x0_时，y有最_小_值为_4_，当_x0_时，y随x的增大而增大，当_x4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道图2211515某水渠的横截面呈抛物线状，水面的宽度为AB(单位：米)，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图22115所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB8米，设抛物线解析式为yax24.(1)求a的值；(2)点C(1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O
3、的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求BCD的面积解：(1)AB8，由抛物线的性质可知OB4，B(4，0)，把B点坐标代入解析式得：16a40，解得：a；(2)过点C作CEAB于E，过点D作DFAB于F，a，yx24，令x1，m(1)24，C(1，)，C关于原点对称点为D，D的坐标为(1，)，则CEDFSBCDSBODSBOCOBDFOBCE4415，BCD的面积为15平方米第2课时二次函数ya(xh)2的图象和性质见A本P161与函数y2(x2)2形状相同的抛物线解析式是(D)Ay1By(2x1)2Cy(x2)2 Dy2x22关于二次函数y(x2)2的图象，下列说法正确的是(D)A是中心对
4、称图形B开口向上C对称轴是x2D最高点是(2，0)3抛物线y(x1)2的顶点坐标是(A)A(1，0) B(1，0)C(2，1) D(2，1)4下列关于抛物线y4(x1)22的说法中，正确的是(B)A开口向下B对称轴为x1C与x轴有两个交点D顶点坐标为(1，0)5二次函数y2(x)2图象的对称轴是直线_x_.6函数：yx3，y(x1)，其中y随x的增大而增大的有_(填序号)解：yx3中，k0，y随x的增大而增大；函数y中k2，当x1)中，开口向上，对称轴为x1，当x1时，y随x的增大而增大，故答案为.7二次函数y(x2)2，当_x2_时，y随x的增大而减小8抛物线y(x2)2开口_向下_，对称轴
5、为_直线x2_，顶点坐标为_(2，0)_，当x_2_时，函数有最_大_值为_0_9抛物线y2(x2)2与x轴交点A的坐标为_(2，0)_，与y轴交点B的坐标为_(0，8)_，SAOB_8_【解析】 画草图帮助理解题意当x2时，y0；当x0时，y8，SAOBOAOB288.10已知：抛物线y(x1)2.(1)写出抛物线的对称轴；(2)完成下表；x7313y91(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象图22116解：(1)抛物线的对称轴为x1.(2)填表如下：x7531135y9410149(3)描点作图如下：11确定下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标(1)y2(x1)2(2)y4(x5)
6、2.解：(1)由y2(x1)2可知，二次项系数为20，抛物线开口向上，对称轴为x1，顶点坐标为(1，0)(2)由y4(x5)2可知，二次项系数为40，抛物线开口向下，对称轴为x5，顶点坐标为(5，0)12已知二次函数y3(x5)2，写出抛物线的顶点坐标、对称轴、x在什么范围内y随x的增大而减小、x取何值时函数有最值，并写出最值解：根据二次函数的解析式y3(x5)2，知函数图象的顶点为(5，0)，对称轴为x5；函数y3(x5)2的图象开口向下，对称轴x5，故当x5时，函数值y随x的增大而减小；30，二次函数的开口向下，当x5时，二次函数图象在最高点，函数的最大值为0.13已知抛物线ya(xh)2
7、的对称轴为x2，与y轴交于点(0，2)(1)求a和h的值；(2)求其关于y轴对称的抛物线的解析式解：(1)对称轴为x2，h2，与y轴交于点(0，2)，a222，a；(2)抛物线关于y轴的对称抛物线的顶点坐标为(2，0)，所以，关于y轴对称的抛物线的解析式为y(x2)2.14(1)求抛物线y2(xh)2关于y轴对称的抛物线的函数解析式(2)若将(1)中的抛物线变为ya(xh)2，请直接写出关于y轴对称的抛物线的函数解析式，你还能写出它关于x轴、关于原点对称的新抛物线的函数解析式吗？请尝试研究，并与同伴交流解：(1)抛物线y2(xh)2的顶点坐标为(h，0)，关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(h，
8、0)，关于y轴对称的抛物线的函数解析式为y2(xh)2；(2)抛物线ya(xh)2的顶点坐标为(h，0)，关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(h，0)，抛物线开口方向不变，关于y轴对称的抛物线解析式为ya(xh)2；关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为(h，0)，抛物线开口方向改变，关于x轴对称的抛物线解析式为ya(xh)2；关于原点对称的抛物线的顶点坐标为(h，0)，抛物线开口方向改变，关于原点对称的抛物线解析式为ya(xh)2.15在直角坐标平面内，已知抛物线ya(x1)2(a0)顶点为A，与y轴交于点C，点B是抛物线上另一点，且横坐标为3，若ABC为直角三角形时，求a的值图22117解：ya(
9、x1)2(a0)的顶点为A，所以点A的坐标为(1，0)由x0，得ya，所以点C的坐标为(0，a)，由x3，得y4a，所以点B的坐标为(3，4a)，所以有(1)若BC2AC2AB2得99a21a2416a2即a2，a，因为a0，a；(2)若AB2AC2BC2得416a21a299a2即a21，a1.a0，a1；(3)若AC2AB2BC2得1a2416a299a2即a2，无解综上所述，当ABC为直角三角形时，a的值为1或.第3课时二次函数ya(xh)2k的图象和性质见B本P161抛物线y2(x3)21的顶点坐标是(A)A(3，1)B(3，1)C(3，1) D(3，1)2对于抛物线y(x1)23，下
10、列结论：抛物线的开口向下；对称轴为x1；顶点坐标为(1，3)；x1时，y随x的增大而减小其中正确结论的个数为(C)A1 B2 C3 D4【解析】 a1时，y随x的增大而减小x1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是共3个故选C.3下列二次函数中，图象以x2为对称轴，且经过点(0，1)的是(C)Ay(x2)21 By(x2)21Cy(x2)23 Dy(x2)23【解析】 设二次函数的解析式为ya(x2)2k，把点(0，1)代入检验4如图22118，关于抛物线y(x1)22，下列说法错误的是(D)图22118A顶点坐标是(1，2)B对称轴是直线x1C开口方向向上D当x1时，y随
11、x的增大而减小5将抛物线y3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为(A)Ay3(x2)23 By3(x2)23 Cy3(x2)23 Dy3(x2)2362013雅安将抛物线 y (x1)23向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为(D)Ay(x2)2 By(x2)26Cyx26 Dyx2【解析】 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可将抛物线y(x1)23向左平移1个单位所得抛物线解析式为：y(x11)23，即yx23；再向下平移3个单位为：yx233，即yx2.故选D.7如图22119，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关
12、系正确的是(A)图22119Amn，kh Bmn，kn，kh Dmn，kh8在同一直角坐标系中，画出函数yx2，yx21，y(x1)21的图象，并列表比较这三条抛物线的对称轴、顶点坐标解：列表如下：xyx2yx21y(x1)2145.534.55.532231.510.51.510011.510.51.532235.534.55.5描点、连线如图：抛物线对称轴顶点坐标yx2，即y(x0)20x0(0，0)yx21，即y(x0)2(1)x0(0，1)y(x1)21，即yx(1)2(1)x1(1，1)9已知：抛物线y(x1)23.(1)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)当x_时，y随x
13、的增大而减小，当x_时，y随x的增大而增大解：(1)抛物线y(x1)23，a0，抛物线的开口向上，对称轴为x1，顶点坐标为(1，3)；(2)对称轴是x1当x1时，y随x的增大而增大10已知二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，且过原点(0，0)，求该函数解析式解：二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，可设为ya(x1)21，当x0时，y0，0a(01)21，a1，所求函数解析式为y(x1)21.11二次函数yx2的图象如图22120所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位(1)画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；(2)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足
14、什么条件时，函数值大于0?图22120解：(1)画图略依题意得y(x1)22x22x12x22x1，平移后图象的解析式为yx22x1；(2)当y0时，即x22x10，(x1)22，x1，x11，x21，平移后的图象与x轴交于两点，坐标分别为(1，0)和(1，0)由图可知，当x1或x1时，二次函数yx22x1的函数值大于0.12如图22121，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y2(xh)2k，则下列结论正确的是(A)图22121Ah0，k0 Bh0Ch0，k0，k0【解析】 抛物线y2(xh)2k的顶点坐标为(h，k)，由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，h0，k0.故选A.13
15、已知二次函数ya(x1)2c的图象如图22122所示，则一次函数yaxc的大致图象可能是(A)【解析】根据二次函数开口向上知a0，根据c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c0，故一次函数yaxc的大致图象经过一、二、三象限，故选A.14把二次函数y(x1)22的图象绕原点旋转180后得到的图象的解析式为_y(x1)22_【解析】 二次函数y(x1)22顶点坐标为(1，2)，开口向上，绕原点旋转180后得到的二次函数图象的顶点坐标为(1，2)，开口向下，所以旋转后的新函数图象的解析式为y(x1)22.15二次函数y(x2)2的图象与x轴围成的封闭区域内(包括边界)，横、纵坐标都是整数的点有_7_个
16、(提示：必要时可利用备用图22123画出图象来分析)图22123【解析】 令(x2)20，解得x1，x2，抛物线与x轴的交点坐标为，顶点为，画出图象，图象与x轴围成的封闭区域内横、纵坐标都是整数的点为(1，0)，(2，0)，(3，0)，(1，1)(2，1)，(3，1)，(2，2)共7个16已知抛物线ya(x3)22经过点(1，2)(1)求a的值；(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(mn3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小解：(1)抛物线ya(x3)22经过点(1，2)a(13)222a 1.(2)解法一：由(1)得a10，抛物线的开口向下在对称轴x 3的左侧，y随x的增大而增大mn
17、3y1y2解法二：由(1)得y(x3)22当xm时，y1(m3)22当xn时，y2(n3)22y1y2(n3)2(m3)2(nm)(mn6) mn0，mn6，即mn60(nm)(mn6)0y1y217如图22124，二次函数y(x2)2m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数kxb的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kxb(x2)2m的x的取值范围图22124解：(1)由题意，得(12)2m0.解得m1，二次函数的解析式是y(x2)21.当x0时，y(02)213，C(0，3)，点B与C关于x2对称，B(4，3)，于是有解得一次函数的解析式是yx1.(2)x的取值范围是1x4.
