1、二次函数的应用一二次函数的实际应用(教材P51探究3)图1中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m水面下降1 m时，水面宽度增加多少？图1教材母题答图解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)，可设这条抛物线表示的二次函数为yax2.由抛物线经过点(2，2)，可得2a22，a.这条抛物线表示的二次函数为yx2.当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y3.由y3解得x1，x2，所以此时水面宽度为2 m，所以水面宽度增加(24)m.【思想方法】 建模：把问题中各个量用两个变量x，y来表示，并建立两种量的二次函数关系，再求二次函数的最大(小)值，从而解决实际问题应
2、用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润，最节省方案等问题注意：建立平面直角坐标系时，遵从就简避繁的原则，这样求解析式就比较方便某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图2所示(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数解析式；(2)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，集装箱宽3 m，车与集装箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？并说明理由图2解：(1)设抛物线对应的函数解析式为yax2抛物线的顶点为原点，隧道宽6 m，高5 m，矩形的高为2 m，所以抛物线过点A(3，3)，代入得39a，解得a所以函数关系式为y.(2)如果此车能通
3、过隧道，集装箱处于对称位置，将x1.5代入抛物线方程，得y0.75，此时集装箱上部的角离隧道的底为50.754.25米，不及车与集装箱总高4.5米，即4.254.5.所以此车不能通过此隧道如图3，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式ya(x6)2h.已知球网与点O的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距点O的水平距离为18 m.(1)当h2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边
4、界，求h的取值范围图3解：(1)h2.6，球从点O正上方2 m的A处发出，ya(x6)2h过点(0，2)，2a(06)22.6，解得：a，故y与x的关系式为y(x6)22.6，(2)当x9时，y(x6)22.62.452.43，所以球能越过球网；当y0时，(x6)22.60，解得：x16218，x262(舍去)故会出界；(3)当球正好过点(18，0)时，ya(x6)2h还过点(0，2)，代入解析式得：解得：此时二次函数解析式为：y(x6)2，此时球若不出边界则h，当球刚能过网，此时函数图象过(9，2.43)，ya(x6)2h还过点(0，2)，代入解析式得：解得：此时球要过网则h，h，故若球一定
5、能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h.二二次函数的综合应用(教材P47习题22.2第4题)抛物线yax2bxc与x轴的公共点是(1，0)，(3，0)，求这条抛物线的对称轴解：解法一：点(1，0)，(3，0)的纵坐标相等，这两点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，这条抛物线的对称轴是x1.解法二：函数yax2bxc的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2bxc0的两根x1，x2，x1x2(1)32，这条抛物线的对称轴是x1.【思想方法】 (1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用 抛物线的轴对称性是研究二次函数的性质的关键；(2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列
6、方程(组)求解；(3)已知二次函数图象上的一个点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一个点的坐标2012南通改编如图4，经过点A(0，4)的抛物线yx2bxc与x轴相交于B(2，0)，C两点，O为坐标原点图4(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线yx2bxc向上平移个单位长度，再向左平移m(m0)个单位长度得到新抛物线若新抛物线的顶点P在ABC的内部，求m的取值范围解：(1)点A(0，4)，B(2，0)在抛物线yx2bxc上，解得抛物线的解析式为yx2x4.(2)将抛物线yx2x4(x1)2向上平移个单位长度，再向左平移m(m0)个单位长度后，得到的新抛物线的顶点P的坐标为(
7、1m，1)设直线AB的解析式为ykxb，则解得y2x4，当y1时，x；同理求得直线BC的解析式为yx4，当y1时，x3.新抛物线的顶点P在ABC的内部，1m0，解得0m.如图5，已知抛物线yax2bxc(a0)的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为(3，)(1)求该抛物线的函数关系式及点A的坐标；(2)在抛物线上求点P，使SPOA2SAOB；图5解：(1)抛物线的顶点为B(3，)，设抛物线的函数关系式为ya(x3)2.抛物线经过原点(0，0)，0a(03)2，a，y(x3)2，即抛物线的函数关系式为yx2x.令y0，得x2x0，解得x10，x26，点A坐标为(6，0)(2)如图，AOB与POA同底不同高，且SPOA2SAOB，POA中OA边上的高是AOB中OA边上的高的2倍，即P点纵坐标是2.令2x2x，即x26x180，解得x133，x233，所求的点为P1(33，2)，P2(33，2)
