1、根的判别式的应用(教材P17习题21.2第13题)无论p取何值，方程(x3)(x2)p20总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由解：x25x6p20，(5)241(6p2)25244p24p210，所以方程(x3)(x2)p20总有两个不等的实数根【思想方法】 一元二次方程根的判别式b24ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数一判断一元二次方程根的情况方程x278x的根的情况为(A)A方程有两个不相等的实数根B方程有两个相等的实数根C只有一个实数根D方程没有实数根对于任意实数k，关于x的方程x22(k1)xk22k10的根的情况为(C)A有两个相等的
2、实数根B没有实数根C有两个不相等的实数根D无法确定下列对关于x的一元二次方程x22kxk10的根的情况描述正确的是(A)A方程有两个不相等的实数根B方程有两个相等的实数根C方程没有实数根D无法确定已知关于x的一元二次方程x2(m3)xm10.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根证明：(m3)24(m1)(m1)24.无论m取何值时，(m1)24的值恒大于0，原方程总有两个不相等的实数根已知关于x的方程x2(m2)x(2m1)0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长【解析】 (1)根据关于x的
3、方程x2(m2)x(2m1)0的根的判别式的符号来证明结论；(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根分类讨论：当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为；当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；再根据三角形的周长公式进行计算解：(1)b24ac(m2)241(2m1)m24m8(m2)240，方程恒有两个不相等的实数根；(2)把x1代入方程x2(m2)x(2m1)0中，解得m2，原方程为x24x30，解这个方程得x11，x23，方程的另一个根为x3.当1，3为直角边长时，斜边长为，直角三角形的
4、周长为134.当3为斜边长时，另一条直角边长为2，直角三角形的周长为13242.二确定一元二次方程中字母系数的值关于x的一元二次方程x2(m2)xm10有两个相等的实数根，则m的值是(D)A0B8C4D0或8【解析】 依题意得(m2)24(m1)0，m10，m28.已知关于x的一元二次方程x22xk0有两个相等的实数根，则k的值为_3_【解析】 关于x的一元二次方程x22xk0有两个相等的实数根，0，即(2)24(k)124k0，解得k3.已知关于x的一元二次方程ax2bx10(a0)有两个相等的实数根，求的值【解析】 由于这个方程有两个相等的实数根，因此b24a0，可得出a、b之间的关系式，
5、然后将化简后，将a、b之间的关系式代入即可求出这个分式的值解：ax2bx10(a0)有两个相等的实数根，b24ac0，即b24a0.4.三确定一元二次方程中字母系数的取值范围若关于x的一元二次方程x22xk 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(A)Ak1Ck1Dk0若一元二次方程x22xm0有实数根，则m的取值范围是(B)Am1Bm1Cm4 Dm若关于x的一元二次方程kx24x30有实根，则k的非负整数值是_1_.【解析】 根据题意得：1612k0，且k0，解得k，则k的非负整数值为1.已知关于x的方程x22(k1)xk20有两个实数根，求k的取值范围解：依题意，得0，即2(k1)24k
6、20，整理，得8k40，解得k.四确实一元二次方程中字母系数的取值范围已知关于x的一元二次方程(k2)2x2(2k1)x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(C)Ak且k2Bk且k2Ck且k2 Dk且k2【解析】 方程为一元二次方程，k20，即k2.方程有两个不相等的实数根，0，(2k1)24(k2)20，(2k12k4)(2k12k4)0，5(4k3)0，k，故k且k2.关于x的一元二次方程kx2(2k1)x(k1)0有实数根，则k的取值范围是_k且k0_如果关于x的方程mx22(m2)xm50没有实数根，试判断关于x的方程(m5)x22(m1)xm0的根的情况解：方程mx22(m2)
7、xm50没有实数根，m0，原方程是关于x的一元二次方程，2(m2)24m(m5)4(m24m4m25m)4(4m)0，m4.对于方程(m5)x22(m1)xm0，当m5时，方程有一个实数根；当m5时，2(m1)24m(m5)4(3m1)m4，3m113，4(3m1)0，方程有两个不相等的实数根，当m5时，方程(m5)x22(m1)xm0有一个实数根；当m4且m5时，此方程有两个不相等的实数根关于x的一元二次方程(a6)x28x90有实根(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根；求2x2的值解：(1)关于x的一元二次方程(a6)x28x90有实根，a60，(8)24(a6)90，解得a且a6.a的最大整数值为7.(2)当a7时，原一元二次方程变为x28x90.a1，b8，c9，(8)241928，x，即x4，x14，x24.x是一元二次方程x28x90的根，x28x9.2x22x22x216x2(x28x)2(9).
