1、与垂径定理有关的辅助线一连半径构造直角三角形(教材P83练习第1题)如图1，在O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，求O的半径图1变形1答图解：作OEAB于E，连接OA，则AEAB84(cm)，OE3 cm，OA5(cm)【思想方法】 求圆中的弦长时，通常连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解如图2，AB为O的直径，弦CDAB于E，已知CD12，BE2，则O的直径为(D)A8B10C16D20【解析】 如图，连接OC，根据题意，得CECD6，BE2.在RtOEC中，设OCx，则OEx2，故(x2)262x2，解得x10，即直径AB20.图2图3“圆
2、材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图3所示，CD为O的直径，CDAB，垂足为E，CE1寸，AB1尺，求直径CD长是多少寸”(注：1尺10寸)解：ABCD，AEBE.AB10，AE5.在RtAOE中，OA2OE2AE2，OA2(OA1)252，OA13，CD2OA26(寸)二作弦心距巧解题(教材P90习题24.1第10题)O的半径为13 cm，AB，CD是O的两条弦，ABCD，AB24 cm，CD10 cm，求AB和CD的距离解：第一种情况：如图(1)，两弦在圆心的同一侧时，已知CD
3、10 cm，DE5 cm.OD13 cm，利用勾股定理可得OE12 cm.同理可求OF5 cm，EF7 cm.第二种情况：EFOEOF17 cm.【思想方法】 已知弦长和圆的半径，常作弦心距，构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理求解是常用方法如图4，O的半径为17 cm，弦ABCD，AB30 cm，CD16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离图4变形1答图解：如图，过点O作OEAB，交CD于F，连接OA，ABCD，OFCD.在RtOAE中，OA17，AEBEAB15，OE8，同理可求OF15.圆心O位于AB，CD的上方，EFOFOE1587(cm)，即AB和CD的距离是7
4、cm.如图5所示，若O的半径为13 cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为_24_cm.【解析】 点P到圆心的最短距离即点O到弦AB的垂线段的长度，当点P是AB中点时，连接OA，则AB2AP2221224(cm)图5图6如图6，在半径为5的O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且ABCD8，则OP的长为(C)A3 B4 C3 D4【解析】 如图，作OMAB于M，ONCD于N，连接OB，OD.由垂径定理、勾股定理，得OMON3.弦AB，CD互相垂直，DPB90.OMAB于M，ONCD于N，OMPONP90，四边形MONP是正方形，OP3，故选C.把球放在
5、长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图7所示，已知EFCD16 cm，则球的半径为_10_cm.图7变形4答图【解析】 取EF的中点M，作MNAD于点M，取弧EF所在圆的圆心为O，连接OF.设OFx，则OM16x，MF8，在直角三角形OMF中，OM2MF2OF2，即(16x)282x2，解得x10.当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图8所示(单位：cm)，那么该圆的半径为_cm.图8【解析】 连接OA，过点O作ODAB于点D，ODAB，ADAB(91)4.设OAr，则ODr3，在RtOAD中，OA2OD2AD2，即r2(r3)242，解得r cm.如图
6、9所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB3 m，弓形的高EF1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径图9解：由垂径定理得BFAB1.5，OEAB，设圆O半径为x，则OFx1，在RtOBF中，根据勾股定理得x21.52(x1)2，解得x1.625，即圆O的半径是1.625 m.某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2 m，过O作OCAB于D，交圆弧于C，CD2.4 m(如图10所示)现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面AB 2 m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？图10解：如图，连接ON，OB，且设DE为船舱的高OCAB，D为AB中点AB
7、7.2 m，BDAB3.6 m又CD2.4 m，设OBOCONr，则OD(r2.4)m.在RtBOD中，根据勾股定理得r2(r2.4)23.62，解得r3.9 m.CD2.4 m，船舱顶部为方形并高出水面AB 2 m，CE2.420.4 (m)，OErCE3.90.43.5 (m)在RtOEN中，EN2ON2OE23.923.522.96，EN，MN2EN23.44(m)3(m)，此货船能顺利通过这座拱桥有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图11所示，正常水位下水面宽AB60 m，水面到拱顶距离CD18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由图11解：不需要采取紧急措施理由如下：设OAR，在RtAOC中，AC30，OCR18，R2302(R18)2解得R34(m)如图，连接OM，设DEx，在RtMOE中，ME16，342162(34x)2，即x268x2560，解得x14，x264(不合题意，舍去)，DE4.4 m3.5 m，不需采取紧急措施
