1、专题24.5 垂直于弦的直径-垂径定理（巩固篇）（专项练习）一、单选题1如图，O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）A BC D2已知的直径，是的弦，垂足为，且，则的长为（）ABC或D或3如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点若，则的长是（）A1BC2D44如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，AC4，则OD的长为（）A1B1.5C2D2.55将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A
2、6BCD6如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则等于（）A120B125C130D1457在Rt ABC中， C=90，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6， 若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）ABCD8如图，已知的直径弦于点则下列结论不一定成立的是（）ABCD9如图所示，如果AB为O的直径，弦，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（）ABCD10如图，在ABC中，点D是AB的中点，将ACD沿CD对折得ACD连接，连接AA交CD于点E，若，则CE的长为（）A4cmB5cmC6cmD7cm11如图，在ABCD中，用直尺
3、和圆规作BAD的平分线AG交BC于点E若AE6，AB5，则BF的长为（）A5B6C8D1212已知O的半径为7，AB是O的弦，点P在弦AB上若PA4，PB6，则OP（）AB4CD5二、填空题13如图，CD是的直径，AB是弦，若，则AC的长为_14如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于，两点若点的坐标是，则点的坐标是_15如图，的直径AB与弦CD相交于点P，且，若，则的半径为_16如图，AB，CD是半径为15的O的两条弦，AB24，CD18，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上任意一点，则PAPC的最小值为_17如图，AB是C的弦，直径MNAB于点O，MN
4、=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是_，C上的整数点有_个18如图，在O中，ADOC于点D，比较大小AB_2AD（填入“”或“”或“”）19如图，O的半径为6，的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有_个 20如图，圆心B在y轴的负半轴上，半径为5的与y轴的正半轴交于点，过点的直线l与OB相交于C、D两点，则弦CD长的所有可能的整数值是_21如图，AB是圆O的直径，CDAB于点E，交圆O于点D，OFAC于点F，BD=5，则OF=_22如图，已知的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，CD是的一条弦，以PC，PD为相邻
5、两边作PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最大值与最小值的积等于_23如图，某圆弧形拱桥的跨度AB=20m，拱高CD=5m，则该拱桥的半径为_m三、解答题24如图，O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求O的半径长25已知：如图，在O中，ABCD，AB与CD相交于点M，(1) 求证：；(2) 求证：AMDM26在折叠圆形纸片综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：(1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长；(2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，求的半径2
6、7如图，在扇形AOB中，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点(1)求证：；(2)若C、D是AB的三等分点，：求；请比较GE和BE的大小28【教材回顾】（1）如图，点、分别是的边、边的中点，连结，则是的一条中位线则和的数量关系是_，位置关系是_【提出问题】如图，是以为直径的的一条弦，连结、，点在的上方，点在的下方，于，于，点、均在弦上已知，求的值为了解决上面的问题，进行了如下的探究：【分析问题】先看两种特殊情况：（2）如图，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，此时，（点看成是长度为0的线段），则_（写出具体的数值）（3）如图，当时，、重合，此
7、时与的数量关系是_，先根据条件易求的长度，则_（写出具体的数值）【解决问题】（4）结合图对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求的值参考答案1B【分析】由垂线段最短可知当OMAB时最短，当OM是半径时最长根据垂径定理求最短长度解：如图，连接OA，作OMAB于M，O的直径为10，半径为5，OM的最大值为5，OMAB于M，AM=BM，AB=6，AM=3，在RtAOM中，；此时OM最短，所以OM长的取值范围是4OM5故选：B【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦
8、长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（$）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个2C【分析】先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；解：连接AC，AO，圆O的直径CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=AB=8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC=cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM
9、=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在RtAMC中，AC=cm故选C【点拨】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键3C【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可解：设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x是的直径，垂直于弦于点，OD是ABC的中位线BC=2OD，解得BC=2OD=2x=2故选：C【点拨】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键4C【分析】由ODBC，根据垂径定理，可得CDBD，即可得OD是ABC的中位线，则可求得OD的长解：ODBC，CDBD，OA
10、OB，AC4ODAC2故选C【点拨】此题考查了垂径定理以及三角形中位线的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用5C【分析】作ODAB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.解：作ODAB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，OA=OD=4，CD=2，OC=2，AC=，AB=2AC=.故答案为C.【点拨】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.6A【分析】连接OC，BC，过O作OEAC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=OE，根据圆周角定理得到A
11、CB=90，根据三角形的中位线的性质得到OD=BC，求得COB=60，得到AOC=120，于是得到结论解：如图，连接OC，BC，过O作OEAC于D交圆O于E，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，OD=OE，AB是半圆O的直径，ACB=90，ODBC，OA=OB，OD=BC，BC=OE=OB=OC，是等边三角形，COB=60，AOC=120，【点拨】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键7A【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN
12、的最大值解：如图，过O作OGAB于G，连接OC、OM，DE6，ACB90，ODOE，OCDE3，OM3，只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，过C作CFAB于F，G和F重合时，MN有最大值，ACB90，BC6，AC8，AB10，ACBCABCF，CF，OGCFOC，MG，MN2MG故选:A【点拨】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键8B【分析】根据垂径定理得出，由此可判断A，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明，进而可判断C、D，而AE与OE不一定相等，由此可判
13、断B解：的直径于点，故A选项结论成立； 在和中，故D选项结论正确；，故C选项结论正确；而AE与OE不一定相等，故B选项结论不成立；故选：B【点拨】本题考查了垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧9D【分析】根据垂径定理逐个判断即可解：AB为O的直径，弦CDAB垂足为E，则AB是垂直于弦CD的直径，就满足垂径定理因而CEDE，BACBAD都是正确的根据条件可以得到AB是CD的垂直平分线，因而ACAD所以D是错误的故选：D【点拨】本题主要考查的是对垂径定理的记忆与理解10B【分析】由折叠性质得AACD，AD= AD，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=B
14、D= AD，可证得A、C、A、B共圆且AB为直径，利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE= AB，进而可求解CE的长解：由折叠性质得AACD，AD= AD，点D是AB的中点，CD=AD=BD= AD=AB，A、C、A、B共圆且AB为直径，又A ACD，AE= AE，又AD=BD，DE是AB A的中位线，DE= AB，CD=7cm，DE=2cm，CE=CD-DE=7-2=5cm，故选B【点拨】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键11C【分析】设交于点，根据题意可得四边形为菱形，勾股定理求得的长度，即可求
15、解解：设交于点，如下图：由题意可得：，平分，垂直平分，又，四边形为平行四边形，又，平行四边形为菱形，由勾股定理得，故选：C【点拨】此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，垂径定理以及勾股定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解12D【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解解：连接，过点作于点，如图所示，则，PA4，PB6，在中，在中，故选：D【点拨】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键13【分析】根据垂径定理求出AE=BE=6，根据勾股定理求出OE，求出CE，再根据勾股定理求出AC即可解：设AB和CD交
16、于E， CDAB，CD过圆心O，AB=12， AE=BE=6，OEB=CEA=90， 由勾股定理得：， CE=OC+OE=10+8=18， 由勾股定理得：， 故答案为：【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键14【分析】首先过点P作PAMN于点A，由垂径定理即可求得AMMN，易证得四边形ABOP是矩形，即可得ABOP，PAOB2，设OPa，在RtPAM中，由PM2AM2+PA2，可得方程a2（a1）2+4，继而可求得答案解：如图，过点作于点，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于，两点，设MN交x轴于点B，四边形是矩形，设，则，
17、点的坐标是，1，在中，即，解得：，点的坐标为：故答案为：【点拨】此题考查了垂径定理、点与坐标的关系以及勾股定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用154【分析】过点作 连接根据垂径定理可得根据得到对式子进行变换，即可求出半径.解：设的半径为R过点作 连接 解得： 故答案为：4【点拨】此题考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子进行变形是解题的关键.16【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PAPCPBPC，即当B、C、P在一条直线上时，PAPC的值最小，即BC的值就是PAPC的最小值解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于HAB24，CD18，MN是直
18、径，ABMN于点E，CDMN于点F，BEAB12，CFCD9，CHOEOF91221，BHBEEHBECF12921，在RtBCH中，根据勾股定理得：，即PAPC的最小值为故答案为：【点拨】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键17 3 12【分析】过C作直径ULx轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可解：过C作直径ULx轴，连接CA，则AC=10=5，MN过圆心C，MNAB，AB=8，AO=BO=4，AOC=90，由勾股定理得：CO= =3，ON=5-3=2，OM=5+3=8，即A（-4，0），B（4，0），M（0
19、，8），N（0，-2），同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），即共12个点，故答案为：3；12【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键18=【分析】过点作于点，交于点，根据解：如图，过点作于点，交于点，ADOC，即故答案为：【点拨】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握垂径定理是解题的关键194【分析】过点P最长的弦是12，根据已知条件，OAB的面积为18
20、，可以求出AB12，根据三角形面积可得OC=3，从而可知OP的长有两个整数：5，6，且OP=6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个解：过O作OCAB于C，则ACBC，设OCx，ACy，AB是O的一条弦，O的半径为6，AB12，OAB的面积为18，则y，解得x3或3（舍），OC34，4OP6，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP5或6，则P点有4个故答案为：4【点拨】此题考查了圆的有关概念，三角形的面积，解决本题的关键是确定OP的最小值和最大值208，9，10【分析】当CD为直径时，此时CD最长，为10；当CD过P点且垂直y轴时，CD为P点的最短弦，由点A（0，1），B
21、A5，得到B点坐标为（0，4），再由P点坐标为（0，7），得到BP3，由BPCD，根据垂径定理得PCPD，然后在RtPBC中，根据勾股定理得到PC4，所以CD8，即过P点的最短弦长为8，最长的弦长为10，故可求解解：当CD过圆心B时，此时CD为直径，CD10；当CD过P点且垂直y轴时，CD为P点的最短弦，如图，点A（0，1），BA5，B点坐标为（0，4），P点坐标为（0，7），BP4（7）3，BPCD，PCPD，在RtPBC中，BC5，BP3，PC4，CD2PC8，过P点的最短弦长为8，最长的弦长为10，过P点的弦长为整数还有9，弦CD长的所有可能的整数值有8，9，10故答案为：8，9，10【
22、点拨】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和勾股定理；同时掌握图形与坐标的关系21【分析】利用垂径定理可得，推出BD=BC，再根据三角形的中位线定理可得BC=2OF，即可解决问题解：直径AB弦CD，BD=BC=5，OFAC，AF=FC，OA=OB，OF是三角形ABC的中位线 ,2OF=，故答案为：【点拨】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键2280.【分析】连接OC设CD交PE于点K，连接OK根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理求出OK，然后得出OP的值，利用三角形的三边关系即可解决问题解：连接设CD交PE于点K，连接
23、OK四边形PCED是平行四边形，在中，的最小值为2，最大值为10，的最小值为4，最大值为20，线段PE长的最大值与最小值的积等于80故答案为80【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型2312.5【分析】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，设圆心是，半径为，连接根据垂径定理得，再由勾股定理求解即可解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，设圆心是，半径是，连接根据垂径定理，得：，在中，根据勾股定理，得，解得：，即该拱桥的半径为，故答案为：12.5【点拨】此题考查了垂径定理的
24、应用和勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程进行求解24【分析】过点分别作、的垂线、，则四边形是正方形，利用垂径定理即可求得，的长度，然后在直角中利用勾股定理即可求得的长度解：过点分别作、的垂线、，则四边形是矩形，连接，矩形是正方形，同理：在直角中，的半径长为【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算25(1)见分析(2)见分析【分析】（1）由在O中，AB=CD，根据弦与弧的关系，可证得，继而可证得；（2）首先连接AC，BD，易证得ACMDBM，继而证得AM=DM解：(1)在O中，ABCD，；
25、(2)连接AC，BD，ACBD，在ACM和DBM中，ACMDBM（ASA），AMDM【点拨】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用26(1)cm(2)cm【分析】（1）如图1，作交于，交于，连接，由题意知，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求的值；（2）如图2，延长交于，连接，设半径为，由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的解即可(1)解：如图1，作交于，交于，连接由题意知，在中，由勾股定理得的长为(2)解：如图2，延长交于，连接，设半径为由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得
26、，即解得：，（不合题意，舍去）半径的长为【点拨】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用27(1)证明见分析(2)OGC=90；BEGE【分析】（1）先由平行线得出COD=ODE，再用SAS证OCFDOE即可；（2）先由C、D是的三等分点，AOB=90，求得AOC=COD=BOD=30，由（1）知OCFDOE，所以OCF=DOE=30，即可由三角形内角和求解；由OGC=90，OCF=DOE=30，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得，OF=2，又OCF=COF=30，所以CF=OF，又由OCFDOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得，再比较即可得出结论；(1)解：DEOC，COD=ODE，OC=OD，OF=DE，OCFDOE(SAS)；(2)解：C、D是的三等分点，AOB=90，
