1、专题24.7 弧、弦、圆心角（知识讲解）【学习目标】1. 了解圆心角的概念；2. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用【要点梳理】1. 圆心角定义如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等；在同圆或等圆中，圆心角的度数等于它所对弧的度数。特别说明：(1)一个角要是圆心角
2、，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.4.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。【典型例题】类型一、圆心角概念1已知点、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：圆上是优弧；圆上是优弧；线段是弦；和都是圆周角；是圆心角，其中正确的说法是_【答案】【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可解：，
3、都是大于半圆的弧，故正确，在圆上，则线段是弦；故正确；都在圆上，是圆周角而点不在圆上，则不是圆周角故不正确；是圆心，在圆上是圆心角故正确故正确的有：故答案为：【点拨】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角举一反三：【变式1】 如图，是的弦，则_【答案】【分析】根据同圆中半径相等，可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得结果解：，又，故答案为：【点拨】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，根据等边对等角得出是解题
4、的关键【变式2】在O中，AB是直径，AB2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是_【答案】1CM【分析】如图，连接OD、OC、OE，先计算出DOC+COE90，则可判断ODE为等腰直角三角形，所以DEOD，则OMDE；由C点在弧DE上，则0COM45，根据三角形的性质，COM越大，CM越长，当O、M、C共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长，即OC-OMCMME；解：如图，连接OD、OC，AB为直径，AOC+BOC180，D、E分别是、的中点，AODCOD，COEBOE，DOC+COE（AOC+BOC）90，ODE为等腰直角三角形，DEOD，M是弦DE的中点
5、，OMDE，C点在弧DE上，0COM45，OMC中，OM，OC的长度确定，COM越大，CM越长，O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；CM1，当C点在A点或B点时，CM，CM的取值范围是1CM【点拨】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键类型二、圆心角与它所对弧的度数2如图，在扇形OAB中，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为_【答案】#50度【分析】连接，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得解：如图，连接，则，由折叠的性质得：，是等边三
6、角形，则弧的度数为，故答案为：【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键举一反三：【变式1】 如图，已知点是圆上一点，以点为圆心，为半径作弧，交圆于点，则的度数为_度【答案】60【分析】先判定POQ是等边三角形，然后根据圆心角的度数与它所对的弧的度数相等求解即可解：PQ=PO，PO=OQ，PQ=PO=OQ，POQ是等边三角形，POQ=60，的度数为60度故答案为：60【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角的度数与它所对的弧的度数相等是解答本题的关键【变式2】如图，O是ABC的外接圆，AOBC于F，D为的中点，E是BA延长线上
7、一点，若DAE，则CAD_【答案】【分析】根据垂径定理由得 ，根据圆周角定理得，而由得，所以 ， ，再根据圆内接四边形的性质得到，于是，从而得到CAD的度数解：，D为的中点，又，故答案为：36【点拨】本题主要考察了圆周角定理、圆心角和弧的关系、圆内接四边形的性质及垂径定理，能够找到与之间的关系是解题的关键类型三、用弧、弦、圆心角关系求解3如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，且的度数为40，求的度数【答案】【分析】分别求出ACD，ACB即可解决问题解：AB是半圆的直径，的度数为40，四边形ABCD是的内接四边形，【点拨】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系，等腰三角形的性质，圆
8、内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识举一反三：【变式1】已知O中，弦AB的长等于O的半径，求弦所对的圆心角和圆周角的度数【答案】弦AB所对的圆心角是60，圆周角是30或150试题分析：画出图形，连接OA、OB，因为AB=OA=OB，所以AOB=60分两种情况，在优弧上任取一点C，连接CA，CB，则C=AOB=30；在劣弧上任取一点D，连接AD、BD，由圆的内接四边形性质可得C+ADB=180，所以ADB=180C=150解：画出图形：连接OA、OB，AB=OA=OB，AOB=60分两种情况：在优弧上任取一点C，连接CA，CB，则C=AOB=30；在劣弧上任取一点D，连接AD、BD，四
9、边形ADBC是O的内接四边形，C+ADB=180，ADB=180C=150综上所述，弦AB所对的圆心角是60，圆周角是30或150【点拨】本题关键在于需考虑到两种情况，然后结合圆的性质求解.【变式2】如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是的中点，CEAB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC（1）求证：GPGD；（2）求证：P是线段AQ的中点；（3）连接CD，若CD2，BC4，求O的半径和CE的长【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）半径为；CE=【分析】（1）结合切线的性质以及已知得出GPD=GDP，进而得出答案；（
10、2）利用圆周角定理得出PA，PC，PQ的数量关系进而得出答案；（3）直接利用勾股定理结合三角形面积得出答案解：（1）证明：连接OD，则ODGD，OAD=ODA，ODA+GDP=90，EAP+GPD=EPA+EAP=90，GPD=GDP；GP=GD；（2）证明：AB为直径，ACB=90，CEAB于E，CEB=90，ACE+ECB=ABC+ECB=90，ACE=ABC=CAP， PC=PA，ACB=90，CQA+CAP=ACE+PCQ=90，PCQ=CQA，PC=PQ，PA=PQ，即P为RtACQ斜边AQ的中点；（3）连接CD，弧AC=弧CD，CD=AC，CD=2，AC=2，ACB=90，AB=，
11、故O的半径为，CEAB=ACBC，CE=24，CE=【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键类型四、用弧、弦、圆心角关系证明4如图，在O中，弦AB与CD相交于点M(1)求证：(2)连接AC，AD，若AD是O的直径求证：【答案】(1)证明见分析(2)证明见分析【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题即可；（2）利用圆周角定理可得，再利用三角形外角性质可得，根据直径所对的圆周角为90可得，进而根据三角形内角和定理和等量代换可证结论(1)证明：，(2)证明：，AD是O的直径，【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系、三角形内角和
12、定理、三角形外角性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为90，解题的关键是熟练掌握并灵活运用所学相关知识举一反三：【变式1】如图，在中，B，C是的三等分点，弦AC，BD相交于点E(1) 求证：；(2) 连接CD，若，求的度数【答案】(1)见分析(2)130【分析】（1）根据B，C是的三等分点，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可；（2）根据圆周角定理得出CAD=BDA=BDC=25，根据三角形内角和定理求出AED，再求出答案即可解：(1)证明：B，C是的三等分点，AC=BD；(2)连接AD，BDC=25，CAD=BDA=BDC=25，AED+CAD+BDA=180，AED=
13、180-CAD-BDA=180-25-25=130，BEC=AED=130，故答案为：130【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键【变式2】如图，在O中，CDOA于点D，CEOB于点E(1)求证：CDCE；(2)若AOB120，OA2，求四边形DOEC的面积【答案】(1)见分析(2)【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOCBOC，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案(1)解：连接OC，AOCBOC，又CDOA，CEOB，CDCE；(2)解：AOB120，AOCBOC60，CDO90，OCD30，ODOC1，CD，OCD的面积ODCD，同理可得，OCE的面积OECE，四边形DOEC的面积【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
