1、专题22.31 二次函数与一元二次方程（培优篇）（专项练习）一、单选题类型一：抛物线与坐标轴交点坐标1将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线ykx2与新图象恰有三个公共点时，则k的值不可能是（）A1B2C1D22如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线与图形恰有两个公共点时，则b的取值范围是（）ABCD3已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（）ABCD类型二：由函数值求自变量的值4已知函数y，当axb时，y2，则ba的最大值为（）
2、ABCD25将函数在轴下方的图像沿轴向上翻折，在轴上方的图像保持不变，得到一个新图像若使得新图像对应的函数最大值与最小值之差最小，则的值为（）A2.5B3C3.5D46如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（实线部分），则新图象与直线的交点个数有（）A4个B3个C2个D1个类型三：图象法确定一元二次方程的近似根7根据下列表格对应值：x3.233.243.253.263.27ax2+bx+c0.050.020.010.030.45判断关于x的方程ax2+bx+c0（a0）的一个解x的范围是（）A3.23x3.24B3.24x3.25C3.25x3.2
3、6D3.26x3.278二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）8a+7b+2c0；（3）若点A（3，y1）、点B（，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1y3y2；（4）若方程a（x+1）（x5）=3的两根为x1和x2，且x1x2，则x115x2其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个9关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（）Ax1=-6，x2=-1Bx1=0，x2=5Cx1=-3，x2=5Dx1=-
4、6，x2=2类型四：图象法解一元二次不等式10抛物线的对称轴为直线，图象过点，部分图象如图所示，下列各式中：其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个11已知函数y|ax22xa|，当1x1时，y2，则a的取值范围是（）A1a0B0a1C1a1D2a212已知抛物线y=ax2+bx+c（02ab）与x轴最多有一个交点以下四个结论：abc0；该抛物线的对称轴在x=1的右侧；关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；2其中，正确结论的个数为（）A1个B2个C3个D4个类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围13已知二次函数，经过点当时，x的取值范围为或则如下四个值中有可能为m的是（）A1B2C3
5、D414抛物线y-x2+ax+3的对称轴为直线x2若关于x的方程-x2+ax+3t0（t为实数）在1x3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A6t7Bt7C-2t6D-2t715对于二次函数yx24x3，当自变量x满足ax3时，函数值y的取值范围为1y0，则a的取值范围为（）A1a2B1a3C1a2D1a2类型六：根据交点确定不等式的解集16已知关于x的一元三次方程的解为，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于x的不等式的解集是（）A或B或C或或D或17如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间(包含端点)下列结论中正确的是（）不等式的解集为或； ；一元二次方程的
6、两个根分别为，；ABCD18二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是（）ABC或D类型七：抛物线与x轴交点问题19若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”例如：、都是“整点”，抛物线与轴交于、两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则的取值范围是（）ABCD20在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点，已知二次函数的图象上有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为，最大值为，则m的取值范围是（）ABCD21已知抛物线的对称轴是直线， x与y的部分对应值如下表：x0tymn当m3时，有下列5个结论：
7、；若，则；抛物线与x轴的交点横坐标分别为0和；关于x的方程的正实数根在2与3之间其中一定正确的结论有（）A2个B3个C4个D5个类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况22在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，将向右平移4个单位，得到抛物线，过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N，q为M与N的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形T若直线yxn与图形T恰好有4个公共点，则n的取值范围是（）ABCD23如图，已知二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x1下列结论
8、：abc0；4a2bc0；4acb28a； bc其中含所有正确结论的选项是（）ABCD24如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：；y的最大值为3；方程有实数根；其中，正确结论的个数是（）A1B2C3D4类型九：求抛物线与x轴截线长25已知二次函数过点和点，交轴于，两点，交轴于点，则：；无论取何值，此二次函数图象截轴所得的线段长度必大于2；若，则以上说法正确的是（）ABCD26对于每个非零自然数，抛物线与轴交于两点，以表示这两点间的距离，则的值是（ ）ABCD27如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：；，其中正确的结
9、论有（）A个B个C个D个二、填空题类型一：抛物线与坐标轴交点坐标28关于抛物线，给出下列结论：当时，抛物线与直线没有交点；若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则其中正确结论的序号是_29已知抛物线（其中a0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若ABC为等腰三角形，则a的值是_30如图，已知二次函数的图象与正比例函数交于点A(，)，与x轴交于点B，当时，自变量x的取值范围是_类型二：由函数值求自变量的值31对于一个函数，当自变量x取n时，函数值y等于2n，我们称n为
10、这个函数的“二合点”，如果二次函数yax2+x1有两个相异的二合点x1，x2，且x1x21，则a的取值范围是_32二次函数（，、为常数）中的与的部分对应值如下表：10333其中时，则下列结论一定正确的是_（填序号即可）；是方程的一个根；不等式的解集为33对于实数a和b，定义一种新的运算“*”，计算=_若恰有三个不相等的实数根，记，则k的取值范围是 _类型三：图象法确定一元二次方程的近似根34二次函数y=ax2+bx+c（a0）自变量x与函数y的对应值如下表：x2101234ym4 m2mmmm2m4若1m1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的取值范围是_35如图，二次函数ya
11、x2+bx+c的图象过点A(3，0)，对称轴为直线x1，给出以下结论：abc0；a+b+cax2+bx+c；若为函数图象上的两点，则y1y2；若关于x的一元二次方程ax2+bx+cp（p0）有整数根，则p的值有2个其中正确的有_36已知二次函数yax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，x6.176.186.196.20y0.030.010.020.04则方程ax2+bx+c0的一个解的范围是_类型四：图象法解一元二次不等式37已知：直线经过抛物线的顶点，则该抛物线的函数表达式是_，不等式的解集是_38如图，二次函数的图象与轴交于点,与轴的一个交点为,点在抛物线上，且与点关于抛物线
12、的对称轴对称已知一次函数的图象经过两点,根据图象,则满足不等式的的取值范围是_39若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为_类型五：图象法求自变量或因变量的取值范围40若不等式对恒成立则x的取值范围是_41二次函数，当时，的最小值为1，则的取值范围是_42已知二次函数yx24x+3，当axa+5时，函数y的最小值为1，则a的取值范围是_类型六：根据交点确定不等式的解集43若二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为_44已知关于x的二次函数y1x22x与一次函数y2x+4，若y1y2，则x的取值范围是_45对于一个函数，当自变量取时，函数值等于，我们称为这个函数的“二
13、合点”如果二次函数有两个相异的二合点，且，则的取值范围是_类型七：抛物线与x轴交点问题46下列关于二次函数（a，m为常数，）的结论：当时，其图象与x轴无交点；其图象上有两点，其中，；无论m取何值时，其图象的顶点在一条确定的直线上；若，当时，其图象与y轴交点在和之间其中正确的结论是_（填写序号）47若二次函数（a，m，b均为常数，）的图像与轴两个交点的坐标是和，则方程的解是_48如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x1，有下列结论：abc0；4acb20；ca0；当xn22时，yc；若x1，x2（x1x2）是方程ax2+bx
14、+c0的两根，则方程a（xx1）（xx2）10的两根m，n（mn）满足mx1且nx2；其中，正确结论的个数是 _类型八：根据二次函数的图象确定相应方程根的情况49已知二次函数与x轴有两个交点，把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线有三个不同的公共点，则m的值为_50二次函数yax2+2ax+c（a，c为常数且a0）经过(1，m)，且mc0，下列结论：c0；a；若关于x的方程ax2+2axpc（p0）有整数解，则符合条件的p的值有3个；当axa+2时，二次函数的最大值为c，则a4其中一定正确的有_（填序号即可）5
15、1若抛物线yx22xk与直线yx1在0x2范围内只有一个交点，则k的取值范围是_类型九：求抛物线与x轴截线长52抛物线yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）经过A（0，3），B（4，3）下列四个结论：4a+b0；点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x12|x22|0时，y1y2；若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD6，则a；若3x4，对应的y的整数值有3个，则1a其中正确的结论是_（填写序号）53已知抛物线在x轴上截得的线段长为4个单位，且过（1，3）（2，4）两点，则 =_54公园广场前有一喷水池，喷水头位于水池中央，从喷头喷出水珠的路径可近似看作抛物线如图是根
16、据实际情境抽象出的图象，水珠在空中划出的曲线恰好是抛物线（单位：m）的一部分，则水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离为_m三、解答题55如图，等腰直角三角形的直角顶点在坐标原点，直角边，分别在轴和轴上，点的坐标为，且平行于轴(1)求直线的解析式；(2)求过，两点的抛物线的解析式；(3)抛物线与轴的另一个交点为，试判定与的大小关系；(4)若点是抛物线上的动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标56如图，已知二次函数的图象经过点(1)求a的值和图象的顶点坐标；(2)点在该二次函数图象上；当时，求m的值，当时，该二次函数有最小值2，请直接写出m的取值范围57小明在复习数学知识时，针对“求一元二次
17、方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容补充完整例题：求一元二次方程的两个解（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解解方程：；（2）解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图1所示，把方程的解看成是二次函数y= 的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解把方程的解看成是一个二次函数y= 的图象与一个一次函数y= 的图象交点的横坐标；画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解58已知抛物线yax2+3ax+c(a0)与y轴交于点A(1)若a0当a=1，c=1，求该抛物线与x轴交点坐标；点P(m，n
18、)在二次函数抛物线yax2+3ax+c的图象上，且nc0，试求m的取值范围；(2)若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值；(3)若点A的坐标是(0，1)，当2cxc时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围.59已知二次函数（为常数，且）(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)若点，在函数图像上，比较与的大小；(3)当时，直接写出的取值范围60如图，抛物线与直线yxn交于点和点B(1)求m和n的值；(2)求点B的坐标；(3)结合图象请直接写出不等式的解集；(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个
19、公共点，直接写出点P的横坐标的取值范围61已知二次函数的图象经过，两点(1)求分别以，两点为顶点的二次函数表达式；(2)求b的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；(3)设是该函数图象与x轴的一个公共点当时，结合函数图象，写出a的取值范围62二次函数的对称轴为直线(1)求二次函数的解析式；(2)若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围63抛物线与x轴的交点分别为，（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）若，求此抛物线的解析式参考答案1B【分析】先分别求出A、B、C的坐标，然后证明直线经过点C，再分当k0时，直线与新图象恰好有三个公共点时，则此时直
20、线经过B、C，当k0时，直线与新图象恰好有三个公共点时，则此时直线经过A、C，当直线与抛物线只有一个交点C时，三种情况讨论求解即可解：设原抛物线与x轴交于A、B，交y轴于C ，对于，令，则，令，则，解得，或，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，-2），对于ykx2，令时，直线经过点C，当k0时，直线与新图象恰好有三个公共点时，则此时直线经过B、C，解得；当k0时，直线与新图象恰好有三个公共点时，则此时直线经过A、C，解得；当直线与抛物线只有一个交点C时，联立，解得，综上所述，k=1或k=2，故选B【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，解题的关键在于能够利
21、用分类讨论的思想求解2A【分析】通过解方程x22x3=0得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象y=(x1)24(1x3)沿x轴翻折所得图象的解析式为y=x2+2x+3(1x3)，然后求出直线y=x+b与y=x2+2x+3(1x3)相切b的值，直线y=x+b过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线y=x+b与此图象有且只有两个公共点时b的取值范围解：当y=0时，x22x3=0，解得x1=1，x2=3，则A(1,0)，B(3,0)，y=x22x3=(x1)24，则顶点坐标为(1,4)，把图象y=(x1)24(1x3)沿x轴翻折所得图象的解析式为y=(x1)2+4=x
22、2+2x+3(1x3)，如图，当直线y=x+b与y=x2+2x+3(1x3)相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时x+b=x2+2x+3有相等的实数解，方程整理得x2x+b3=0，解得，舍去；当直线y=x+b过A(1,0)时，1+b=0，解得b=1，当直线y=x+b过B(3,0)时，3+b=0，解得b=3，所以，当3b1时，直线y=x+b与此图象有且只有两个公共点故选：A【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用3A【分
23、析】先求出抛物线的解析式，再列出不等式，求出其解集或，从而可得当x=1时，有成立，最后求出a的取值范围解：抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180得到抛物线，抛物线P与抛物线关于原点对称，设点（x，y）在抛物线P上，则点（-x，-y）一定在抛物线P上，抛物线的解析式为，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，即令，解得：或，设，开口向下，且与x轴的两个交点为（0，0），（4a，0），即当时，要恒成立，此时，当x=1时，即可，得：，解得：，又故选A【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次
24、方程也考查了二次函数的性质4B【分析】函数的图象如下图所示，当x0时，当y时，x，当y2时，x2或1，故：顶点A的坐标为（，），点B（2，2），同理当时可求出C点坐标，可确定a,b的值，即可求解解：函数的图象如下图所示，当x0时，当y时，x，当y2时，x2或1，故：顶点A的坐标为（，），点B（2，2），同理点C（，）则ba的最大值为2.故选：B【点拨】本题考查的是二次函数的性质和图象，解答本题的关键是理解题意、正确画出函数图象、灵活应用二次函数的性质求解.5C【分析】令y=0，则，设抛物线于x轴右侧的交点A（，0），翻折后的函数表达式为：y=x2+2x+m，当x=4时，y=8m，当0x4时，函
25、数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可，即可求解解：如下图，函数y=-x2+2x+m的对称轴为x=1，故顶点P的坐标为（1，m+1），令y=0，则，设抛物线于x轴右侧的交点A（，0），根据点的对称性，图象翻折后图象关于x轴对称，故翻折后的函数表达式为：-y=-x2+2x+m，当x=4时，y=8-m，当0x4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可；当点A在直线x=4的左侧时（直线n所处的位置），即4，解得：m8；当函数在点P处取得最大值时，即m+18-m，解得：m3.5，当m=3.5时，此时最大值最小为3.5；当函数在x=
26、4处取得最大值时，即m+18-m，解得：m3.5，m最大为3.5时，此时最大值为m+1=4.5，故m=3.5；当点A在直线x=4的右侧时（直线m所处的位置），即4，解得：m8；函数的最大为：m+193.5；综上，m=3.5，故选：C【点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征6B【分析】根据已知条件得到抛物线(x-1)2+7，故顶点为(1，7)，根据轴对称的性质得到新图象的顶点坐标为(1，-7)，于是得到结论解：如图，抛物线=(x-1)2+7，故顶点为(1，7)将抛物线y=-x2+x+6图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，新图象的顶点坐标为(1，-7)，直线y=-7经过新图象的顶点并另有两个交点，故新图象与直线y=-7的交点个数是3个，故选B【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键7B【分析】由于x3.24时，ax2+bx+c0.02；x3.25时，ax2+bx+c0.01，则在3.24和3.25之间有一个值能使ax2+bx+c的值为0，据此即可判断
