2020届福建省泉州市高三上学期单科质量检查数学（文）试题 PDF版.rar

市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 1 页（共页（共 8 页）页）准考证号准考证号_姓名姓名_（在此卷上答题无效）保密保密启用前启用前泉州市泉州市 2020 届高中毕业班单科质量检查届高中毕业班单科质量检查文文 科科 数数 学学2020.1注意事项注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目要求的要求的1已知集合220Ax xx，则A RA(,0B2,)C(0,2)D(,02,)【试题简析】易得集合(,02,)A ，故(0,2)A R，选 B2若复数(2i)(1 i)a为纯虚数，则实数a的值是A2B1C1D.2【试题简析】复数(2i)(1 i)a(2)(2)iaa为纯虚数，所以20a，解得2a ，故选A3若2sin()cos()445，则cos2A45B25C25D45【试题简析】由2sin()cos()445，得4sin(2)25，即542cos，故选 A4新中国成立 70 周年，社会各界以多种形式的庆祝活动祝福祖国，其中，“快闪”因其独特新颖的传播方式吸引大众眼球.根据腾讯指数大数据，关注“快闪”系列活动的网民群体年龄比例构成，及男女比例构成如图所示，则下面相关结论中不正确的是市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 2 页（共页（共 8 页）页）A35 岁以下网民群体超过 70%B男性网民人数多于女性网民人数C该网民群体年龄的中位数在 1525 之间D2535 岁网民中的女性人数一定比 3545 岁网民中的男性人数多【试题简析】依题意可得，35 岁以下网民群体所占比例为%74，故 A 对；由男女比例构成图可得男性所占比例为%55，故B对；因为 15 岁以下所占比例为%23，35 岁以下所占比例为%54，故该网民群体年龄的中位数在 1525 之间，C 对；D 答案无法判断，所以 D 错，故选 D5设E是中心在坐标原点的双曲线若(2,0)A是E的一个顶点，(4,0)F 是E的一个焦点，则E的一条渐近线方程为A13yxB33yxC3yxD3yx【试题简析】由已知双曲线的焦点在x轴上，2a，4c，所以222 3bca，所以双曲线E的渐近线方程为byxa 即3yx，故选 C6已知等差数列 na中，36+8aa，则475+aa A32B27C24D16【试题简析】设等差数列na公差d，则872163daaa，所以24)72(321651174dadaaa，故选 C7“堑堵”是中国古代数学名著九章算术中记载着的一种多面体如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的体积等于A12B8C6D4市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 3 页（共页（共 8 页）页）【试题简析】由已知可得该“堑堵”是直三棱柱，其体积12 3 262V ，故选 C8函数()sinf xxx的图象大致为ABCD【试题简析】结合各选项，函数xxxfsin)(是偶函数且在0,2上单调递增，故选 B9明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有=大吕黄钟 太簇，23=大吕黄钟夹钟，23=太簇黄钟夹钟据此，可得正项等比数列 na中，ka A11nknknaaB11n kn kna a C111n kknnaaD111kn knnaa【试题简析】因为11nnaa q，所以11=nnaqa，所以1111=knnkaaaa1111=knnaaa1111=n kknnnaa111=n kknnaa.故选 C.10若直线0 xay与函数e()xf xx的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围为A24(,0)(,)eB24(,)eC2e(,)4D21 e(,)e4市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 4 页（共页（共 8 页）页）【试题简析】解法解法 1：由0exxayyx，消去y，得2(0)exxax，则依题意，可知直线ya与曲线2(0)exxyx恰有一个公共点，如图 10-1，作出ya与2(0)exxyx的图象，由图可得2e4a；图 10-1图 10-2解法解法 2：如图 10-2，作出直线xya与函数e()xf xx的图象，设过原点的直线l与曲线xyxe相切于点)e,(000 xxPx，则20000000ee00exxxxkxxxl，故20 x，4e2lk，由图可知，4e102lka，故2e4a，故选 B.11若椭圆E的顶点和焦点中，存在不共线的三点恰为菱形的中心和顶点，则E的离心率等于A22B512C12或22D22或512【试题解析】依题意，由菱形对角线互相垂直可转化为，在椭圆的顶点和焦点中找到不共线的三点能构成一个直角三角形，结合椭圆的对称性，只需考虑以下三种情况：（1）如图 11-1，若以顶点D焦点B为菱形顶点，C为中心，则DCBC，由勾股定理得，2222()()abaac，由222bac化简得220caca，两边同除以2a，得210ee ，又因为01e，可得512e；市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 5 页（共页（共 8 页）页）图 11-1图 11-2图 11-3（2）如图 11-2，若以焦点A,B为菱形顶点，C为中心，则ACBC，故45OCB，易得22cea；（3）如图 11-3，若以焦点B为菱形的中心，C,E为顶点，则CBEB，易得22cea，故选 D.12已知函数()sin()(0,02f xx）若()8f x为奇函数，()8f x为偶函数，且2()2f x 在(0,)6至多有2个实根，则的最大值为A10B14C15D18【试题简析】由题意，可得(0)8，为()f x的图象的对称中心，直线8x 为()f x的图象的一条对称轴，所以11228,+82kk kk（），两式相加得1242kk，又因为02，所以4，代入2+82k，得82()kk，因为(0,)6x时，(,)44 64tx，即由已知可得2sin2t，(,)4 64t至多有 2 个实根，即11644，由此可得015，又因为82()kk，所以1k 时的最大值为 10，故选 A市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 6 页（共页（共 8 页）页）二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13已知向量,a b，且=3,2a，+=5 2，a b，则b_.【试题简析】=(+)(2,4)ba ba，所以22242 5b.【答案】2 514若,x y满足约束条件0,1 0,220,xxyxy则32zxy的最大值为_.【试题简析】不等式组表示的可行域如图所示：由32zxy得322zyx 在y轴上的截距越大，z越大，所以当直线322zyx 过点0,2A时，z取得最大值，所以z的最大值为4.【答案】4.15 已知直线:(1)10()l mxm ym R与圆22:8O xy交于,A B两点，,C D分别为,OA AB的中点，则AB CD的最小值为_.【试题简析】直线l的方程可化为()10m xyy，由0,10,xyy 解得1,1,xy，直线l恒过点(1,1)P，因为,C D分别为,OA AB的中点，所以1=22CDOB.当OPAB时，AB最小，此时22=22 222 6AB()，所以=22 2 6=4 3ABCDAB市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 7 页（共页（共 8 页）页）【答案】4 316 已知正方体1111DCBAABCD 的棱长为 1，动点P在棱1AA上，四棱锥11BBDDP 的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积取值范围是_【试题简析】如图，设球O的球心为G，1AA的中点1O，1CC的中点2O，21OO的中点O，且221OO，23 OBOA.因为11,BDDB在球面上，所以球心在线段2OO上，点P也在球面上，RGBGP.设yGOxPO11,.则22 yOG.在1RtO PG中，222yxR在RtBOG中，2222223yR,联立，得yx2452，因为102x，所以25 228y.所以3225,4343)22(45222222yyyyxR，市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 8 页（共页（共 8 页）页）所以球O的表面积取值范围为253,8.【答案】253,8.市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 1 页（共页（共 11 页）页）准考证号准考证号_姓名姓名_（在此卷上答题无效）保密保密启用前启用前泉州市泉州市 2020 届高中毕业班单科质量检查届高中毕业班单科质量检查文文 科科 数数 学学2020.1三、解答题：共三、解答题：共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考生都必须作答生都必须作答第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17（12 分）记数列 na的前n项和为nS若233nnSa.（1）证明：na为等比数列；（2）设9lognnba，求数列11nnb b的前n项和nT【命题意图】本题主要考察等比数列的定义及通项公式、数列求和的裂项相消法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，体现基础性，导向对发展数学抽象、数学运算及数学建模等核心素养的关注【试题简析】解解：（1）由已知，得233nnSa，当2n时，11233nnSa，2 分，得-1-122(33)(33)nnnnSSaa，即-1233nnnaaa，整理，得132nnana，5 分又由11233Sa，得1=30a，所以 na是以 3 为首项，3 为公比的等比数列.6 分（2）由（1）得=3nna，所以9log 32nnnb，8 分所以11411=4()11nnb bn nnn，10 分市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 2 页（共页（共 11 页）页）故nT=111111144()+4()+4()4(1)1223111nnnnn.12 分18（12 分）ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c.已知(3cos)cosaCcA（1）求ba；（2）求cos A的最小值【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理等解三角形的基础知识，结合考察了基本不等式的基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注【试题简析】解法解法 1:（1）在ABC中，由正弦定理，得sinsinsinabcABC，1 分从而由(3cos)cosaCcA，可得sin(3cos)sincosACCA，2 分整理，得3sinsincoscossinAACAC，即3sinsin()AAC，4 分又因为ABC，所以sin3sinBA，5 分所以3ba6 分（2）由（1）不妨设33ba，则3131c，7 分在ABC中，由余弦定理，得222cos2bcaAbc，8 分所以2222(3)12126cos()3232 32 3ccAcccc，11 分当2cc即2c 时，等号成立，故cos A取到最小值为6312 分解法解法 2：（1）同解法 1；6 分（2）因为3sinsinAB，所以3aba，则A为锐角，7 分因为sin1B，所以33sinsin33AB，8 分市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 3 页（共页（共 11 页）页）当且仅当sin1B 即2B 时，sin A的最大值为339 分因为sin A在(0,)2单调递增，所以此时A最大，10 分又因为cos A在(0,)2单调递减，11 分所以A最大时，cos A取到最小值为261 sin3A 12 分19（12 分）如图，MA平面ABCD，CN平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，60BAD，1CN，3AM.（1）证明：/BN平面ADM；（2）求三棱锥NADM的体积.【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行的判定，线面垂直的性质，三棱锥体积的求解等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的关注【试题简析】解法解法 1：（1）因为MA平面ABCD，CN平面ABCD，所以NCMA/，1 分又MA平面ADM，NC平面ADM，所以/NC平面ADM.2 分因为四边形ABCD是菱形，所以ADBC/，3 分又AD平面ADM，BC平面ADM，所以/BC平面ADM，4 分又BCNCC，BC 平面BCN，CN 平面BCN，所以平面/BCN平面ADM，5 分又BN平面BCN，所以/BN平面ADM.6 分市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 4 页（共页（共 11 页）页）（2）由（1）知，/BN平面ADM，所以点N到平面ADM的距离等于点B到平面ADM的距离 8 分取AD的中点E，连接BE，BD因为四边形ABCD是边长为2的菱形，60BAD，所以ABD是边长为2的等边三角形，所以ADBE，且3BE，10 分又因为MA平面ABCD，BE 平面ABCD，所以BEMA，又MAADA，MA平面ADM，AD平面ADM，所以BE平面ADM，故所以点N到平面ADM的距离为BE11 分所以三棱锥NADM的体积1112 333332NADMADMVSBE 12 分解法解法 2：（1）同解法 1；6 分（2）由（1）知，/BN平面ADM，所以点N到平面ADM的距离等于点B到平面ADM的距离，8 分所以NADMB ADMVV，9 分因为MA平面ABCD，所以MA是三棱锥MABD的高，10 分又ABD是边长为 2 的正三角形，所以1134 33334NADMB ADMMABDABDVVVSMA 12 分20（12 分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点在y轴上，过点(1,0)A且斜率为 2 的直线与E相切（1）求E的标准方程；（2）过A的直线l与E交于,P Q两点，与y轴交于点R，证明：2ARAPAQ【命题意图】本小题主要考查抛物线的标准方程和几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 5 页（共页（共 11 页）页）体现基础性、综合性与应用性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算等素养的关注【试题简析】解法解法 1：（1）过点(1,0)A且斜率为 2 的直线方程为2(1)yx，即22yx，1 分设E的方程为2(0)xay a，2 分由222,yxxay消去y，得2220 xaxa，3 分因为直线与E相切，所以2480aa，4 分解得0a（舍去）或2a，所以E的标准方程为22xy.5 分（2）设l的方程为(1)yk x，1122(,),(,)P x yQ xy令0 x，得yk，即(0,)Rk，6 分由2(1),2,yk xxy消去y，得2220 xkxk，7 分因为l与E相交，所以2480kk，解得2k 或0k，设，则12122,2xxk x xk，122xxk，122x xk，8 分2111APkx，2211AQkx，9 分从而222211212(1)11(1)()11APAQkxxkx xxxk，10 分又221ARk，11 分所以2ARAPAQ.12 分解法解法 2：（1）过点(1,0)A且斜率为 2 的直线方程为2(1)yx，即22yx，1 分市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 6 页（共页（共 11 页）页）设E的方程为2(0)xay a即21yxa，2 分则2yxa，3 分直线22yx与E相切于点00(,22)B xx，则020022,122,xaxxa，4 分解得02,2,xa所以E的标准方程为22xy.5 分（2）设l的方程为(1)yk x，1122(,),(,)P x yQ xy，6 分由2(1),2,yk xxy消去y，得2220 xkxk，7 分因为l与E相交，所以2480kk，解得2k 或0k，122xxk，122x xk，8 分分别过,P Q作PPx轴于P，QQx轴于Q，则PPQQ，所以APAPARAO，=ARAOAQAQ，9 分又11APx，21AQx，1AO，10 分所以21212()11APAQx xxxAO，11 分故=APAOAOAQ，从而APARARAQ，即2ARAPAQ12 分21（12 分）已知函数2()(1)ln2af xxaxx（1）讨论()f x的单调性；（2）当1x时，e()2f x，求a的取值范围【命题意图】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、最值等问题，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 7 页（共页（共 11 页）页）结合思想、有限与无限思想，体现综合性、应用性与创新性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算以及数学建模等核心素养的关注【试题简析】解法解法 1：（1）函数()f x的定义域为(0,)，21(1)1(1)(1)()1axaxaxxfxaxaxxx，1 分当0a时，10ax，则()0fx，故)(xf在),0(单调递减；2 分当0a时，令0)(xf，得ax1；令0)(xf，得ax10，故)(xf在)1,0(a上单调递减，在)1(，a单调递增.4 分综上，可得当0a时，)(xf在),0(单调递减；当0a时，)(xf在)1,0(a单调递减，在)1(，a单调递增.5 分（2）当0a时，因为242e(e)e(1)e2222afa ，所以0a不符合题意；6 分当0a时，由（1），知)(xf在)1,0(a单调递减，在)1(，a单调递增（）当11a即1a时，1()(1)()0a xxafxx，所以()f x在),1 单调递增，7 分故31e()(1)1222f xfa，故1a满足题意.8 分（）当11a即10 a时，()f x在)1,1 a单调递减，在),1(a单调递增，9 分故min111()()1ln2f xfaaa，10 分要使“当1x时，e()2f x”，只需满足1e()2fa，令1()1ln(0)2g ttt t，则0121)(ttg，故()g t在(0,)单调递减，11 分又e(e)2g，从而由1e()2fa即1()(e)gga，可得1ea，解得11ea，综上，可得a的取值范围为1,)e12 分解法解法 2：（1）同解法 1；5 分（2）当1x时，e()2f x可化为2lne2(2)xxax x，6 分市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 8 页（共页（共 11 页）页）令22lne()(1)(2)xxg xxx x，则222(1)(2ln2e)()(2)xxxg xxx，7 分因为()2ln2exxx 在1,)单调递减，且(e)0，8 分所以当1ex 时，()0 x，从而()0g x，故()g x在1,e)单调递增；当ex 时，()0 x，从而()0g x，故故()g x在(e,)单调递减，9 分所以min1()(e)eg xg，10 分要使“当1x时，e()2f x即2lne2(2)xxax x”，只需min()ag x即1ea，所以a的取值范围为1,)e12 分解法解法 3：（1）同解法 1；5 分（2）当1x时，e()2f x可化为1lne(1)122xaxxx，6 分令lne()1(1)2xg xxxx，则e(1)12g，2221 lne2ln2e()22xxg xxxx，7 分令()0g x，得2 e2ex，当2 e21ex时，()0g x，所以()g x在2 e2(1,e)单调递增；当2 e2ex时，()0g x，所以()g x在2 e2(e,)单调递减，9 分设过点(2,0)的直线l与函数()g x的图象相切于点00(,()x g x，则000()0()2g xg xx，即0002000eln2ln2e22(2)xxxxx x，整理，得002ln2exx，因为()2lnxxx在(0,)单调递增，且(e)2e，所以0ex，所以切线l的斜率001()2ekg x，10 分如图，作出函数()g x的图象，市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 9 页（共页（共 11 页）页）由图可知，要使“当1x时，e()2f x即1lne(1)122xaxxx”，只需122ea，解得1ea，所以a的取值范围为1,)e 12 分（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分22选修44：坐标系与参数方程（10 分）在同一平面直角坐标系xOy中，经过伸缩变换2,xxyy 后，曲线221:1Cxy变为曲线2C.（1）求2C的参数方程；（2）设2,1A，点P是2C上的动点，求OAP面积的最大值，及此时P的坐标【命题意图】本小题主要考查直角坐标系的伸缩变换，椭圆的参数方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，体现基础性与综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注【试题简析】解法解法 1：（1）由伸缩变换2,xxyy 得到1,2.xxyy 1 分将代入221xy，得到221+=12xy（），整理得222:+=14xCy.3 分所以2C的参数方程为2cos,sinxy（为参数）5 分（2）设2cos,sin02P，直线:20OA xy，6 分则P到直线OA的距离为2 2sin()2cos2sin2 24555d，8 分市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 10 页（共页（共 11 页）页）所以1112 25522225OAPSOA dd.当3=4或7=4时，OAP面积的最大值为2，9 分此时P22,2或22,2.10 分解法解法 2：（1）同解法 1；5 分（2）直线:20OA xy，设直线l：20 xyc.由222014xycxy，消去y得到222240 xcxc，6 分令=0，得224840cc.解得2 2c .7 分此时解得222222xxyy 或，即1222(2,)(2,)22PP或.8 分又12,P P到直线OA的距离均为2 25，9 分1112 25522225OAPSOA dd，故OAP面积的最大值为2.10 分23选修45：不等式选讲（10 分）已知函数1()|f xxaxa（1）证明：()2f x；（2）当12a 时，()f xxb，求b的取值范围【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式的解法、不等式解集的概念、绝对值的意义等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑运算、数学运算、直观想象等核心素养的关注【试题简析】市单科质检数学（文科）试题市单科质检数学（文科）试题第第 11 页（共页（共 11 页）页）解法解法 1：（1）1111()|2|2f xxaxaaaaaaa；5 分（2）312,22151()|2|=,2,22232,2,2xxf xxxxxx 作出()f x的图象，如图将5(2)2A，代入yxb得到12b，由图可得b的取值范围为1(,2.10 分解法解法 2：（1）同解法 1；5 分（2）令()g xf xx，min()bg x.313,22151|2|=,2,2223,2,2xxg xxxxxxxx 可得()g x在(,2)单调递减，在2+，单调递增，所以min1()=(2)2g xg,所以b的取值范围为1(,2.10 分