2020届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学（文）试题（解析版）.rar

第 1 页 共 18 页2020 届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学（文）试题届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学（文）试题一、单选题一、单选题1 若复数 若复数1z与与23zi （i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z（）A3iB3i C3iD3i【答案】【答案】B【解析】【解析】直接利用复平面的对称得到答案.【详解】数1z与23zi （i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则13iz 故选：B【点睛】本题考查了复平面的对称问题，属于简单题.2 已知集合 已知集合1,0,Am，1,2B，若，若1,0,1,2AB，则实数，则实数m的值为的值为()A1或或0B0或或1C1或或2D1或或2【答案】【答案】D【解析】【解析】根据集合并集的定义即可得到答案.【详解】集合1,0,Am，1,2B，且1,0,1,2AB，所以1m 或2m.故选：D【点睛】本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题3若若sin5cos，则，则tan2（）A53B53C52D52【答案】【答案】C【解析】【解析】根据sin5cos得到tan5，再利用二倍角公式得到答案.【详解】第 2 页 共 18 页sin5costan5，22tan2 55tan21tan42 故选：C【点睛】本题考查了二倍角公式，意在考查学生的计算能力.4已知命题已知命题p：xR，221xx，则，则p为（为（）AxR，221xxB0 xR，02021xxCxR，221xxD0 xR，02021xx【答案】【答案】D【解析】【解析】直接利用全称命题的否定定义得到答案.【详解】命题p：xR，221xx，则p为：0 xR，02021xx故选：D【点睛】本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.5某校随机抽取某校随机抽取 100 名同学进行名同学进行“垃圾分类垃圾分类的问卷测试，测试结果发现这的问卷测试，测试结果发现这 100 名同学的得分都在名同学的得分都在50，100内，按得分分成内，按得分分成 5 组：组：50，60），），60，70），），70，80），），80，90），），90，100，得到如图所示的频率分布直方图，则这，得到如图所示的频率分布直方图，则这 100 名同学的得分的中位数为名同学的得分的中位数为()A72.5B75C77.5D80【答案】【答案】A【解析】【解析】根据频率分布直方图求得中位数即可.【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，中位数为：0.50.01 100.03 10701072.50.04 10.故选：A第 3 页 共 18 页【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为 1，也考查了中位数，属于基础题6设等差数列设等差数列 na的前的前n项和为项和为nS，且，且533aa，则，则95SS()A95B59C53D275【答案】【答案】D【解析】【解析】将 S9，S5转化为用 a5，a3表达的算式即可得到结论.【详解】由等差数列 na的前n项和为nS，95SS19159252aaaa5395aa，且533aa，95SS953275.故选：D【点睛】本题考查了等差数列的前 n 项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题7已知已知,是空间中两个不同的平面，是空间中两个不同的平面，,m n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是()A若若/m，/n，且，且/，则，则/mnB若若/m，/n，且，且，则，则/mnC若若m，/n，且，且/，则，则mnD若若m，/n，且，且，则，则mn【答案】【答案】C【解析】【解析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案【详解】由 m，n，且，得 mn 或 m 与 n 异面，故 A 错误；由 m，n，且，得 mn 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 B 错误；由 m，得 m，又 n，则 mn，故 C 正确；第 4 页 共 18 页由 m，n 且，得 mn 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 D 错误故选：C【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题8将函数将函数sin(4)6yx图象上所有点的横坐标伸长到原来的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6个单位长度，得到函数个单位长度，得到函数()f x的图象，则函数的图象，则函数()f x的解析式为的解析式为()A()sin(2)6f xxB()sin(2)3f xxC()sin(8)6f xxD()sin(8)3f xx【答案】【答案】A【解析】【解析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可.【详解】函数sin(4)6yx图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到sin(2)6yx的图象，再把所得图象向左平移6个单位长度，得到函数 f（x）sin 2()sin(2)666yxx的图象.故选：A【点睛】本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题9已知抛物线已知抛物线24yx的焦点为的焦点为F，,M N是抛物线上两个不同的点若是抛物线上两个不同的点若5MFNF，则线段，则线段MN的中点到的中点到y轴的距离为轴的距离为()A3B32C5D52【答案】【答案】B第 5 页 共 18 页【解析】【解析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可.【详解】由抛物线方程24yx，得其准线方程为：1x ，设11(,)M x y，22(,)N xy，由抛物线的性质得，1211=5MFNFxx，MN中点的横坐标为32，线段MN的中点到y轴的距离为：32.故选：B【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题10已知已知122a，133b ，3ln2c，则，则()AabcBacbCbacDbca【答案】【答案】C【解析】【解析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得 a，b 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出 c1【详解】122a 268，且133b =3369，1ab，3lnln12ebac故选：C【点睛】本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题11 已知直线 已知直线ykx与双曲线与双曲线C：222210,0 xyabab相交于不同的两点相交于不同的两点A，B，F为双曲线为双曲线C的左焦点，且满足的左焦点，且满足3AFBF，OAb（O为坐标原点），则双曲线为坐标原点），则双曲线C的离心率为（的离心率为（）A2B3C2D5【答案】【答案】B【解析】【解析】如图所示：1F为双曲线右焦点，连接1AF，计算得到13,AFa AFa，再利用余弦定理得到2221022acb，化简得到答案.第 6 页 共 18 页【详解】如图所示：1F为双曲线右焦点，连接1AF，根据对称性知1BFAF133AFBFAF，12AFAFa，13,AFa AFa 在AOF和1AOF中，分别利用余弦定理得到：22292cosacbbcAOF，22212cosacbbcAOF两式相加得到22222102233acbcae 故选：B【点睛】本题考查了双曲线的离心率，根据条件计算出13,AFa AFa是解题的关键.12已知定义在已知定义在R上的函数上的函数 f x满足满足22fxfx，当，当2x 时，时，xf xxe若关于若关于x的方程的方程 22f xk x有三个不相等的实数根，则实数有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（的取值范围是（）A1,00,1UB1,01,C,00,eeD,0,ee【答案】【答案】A【解析】【解析】根据函数的单调性和对称性画出函数图像，22yk x过定点2,2，计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案.【详解】当2x 时，1xxf xxefxxe第 7 页 共 18 页函数在,1 上单调递减，在1,2上单调递增，且11fe 22fxfx，函数关于2x 对称，22yk x过定点2,2 如图所示，画出函数图像：当22yk x与 xf xxe相切时，设切点为00,xy 则000000022122xxyx exekxx根据对称性考虑2x 左边图像，根据图像验证知00 x 是方程唯一解，此时1k 故答案为()()1,00,1k-故选：A【点睛】本题考查了零点问题，对称问题，函数的单调性，画出函数图像是解题的关键.二、填空题二、填空题13已知实数已知实数,x y满足约束条件满足约束条件402200 xyxyy，则，则2zxy的最大值为的最大值为_.【答案】【答案】6【解析】【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【详解】第 8 页 共 18 页作出实数 x，y 满足约束条件402200 xyxyy对应的平面区域如图：（阴影部分）由2zxy得 y12x+12z，平移直线 y12x+12z，由图象可知当直线 y12x+12z 经过点 A 时，直线 y12x+12z 的截距最大，此时 z最大由40220 xyxy，解得 A（2，2），代入目标函数 zx+2y 得 z22+26.故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题14设正项等比数列设正项等比数列 na满足满足481a，2336aa，则，则na _.【答案】【答案】3n【解析】【解析】将已知条件转化为基本量 a1，q 的方程组，解方程组得到 a1，q，进而可以得到 an【详解】在正项等比数列 na中，481a，2336aa，得312118136a qa qa q，解得133aq，an11na q33n13n.故答案为：3n【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题第 9 页 共 18 页15已知平面向量已知平面向量a，b满足满足2a，3b，且，且bab，则向量，则向量a与与b的夹角的大小为的夹角的大小为_.【答案】【答案】6【解析】【解析】根据bab得到0bab，计算得到答案.【详解】设向量a与b的夹角为，22 3cos30babbaba bb rrrrrrr rr3cos26故答案为：6【点睛】本题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力.16如图，在边长为如图，在边长为 2 的正方形的正方形123APP P中，边中，边12PP，23P P 的中点分别为的中点分别为B，C，现将，现将1APB，2BPC，3CP A分别沿分别沿AB，BC，CA折起使点折起使点1P，2P，3P重合，重合后记为点重合，重合后记为点P，得到三棱锥，得到三棱锥PABC 则三棱锥 则三棱锥PABC的外接球体积为的外接球体积为_【答案】【答案】6【解析】【解析】根据,PA PB PC两两垂直得到2222112R，代入体积公式计算得到答案.【详解】易知,PA PB PC两两垂直，2,1PAPBPC将三棱锥PABC放入对应的长方体内得到222621122RR 3463VR 故答案为：6第 10 页 共 18 页【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.三、解答题三、解答题17在在ABC中，角中，角,A B C的对边分别为的对边分别为,a b c，且，且2224 23bcabc.（1）求）求sin A的值；的值；（2）若）若ABC的面积为的面积为2，且，且2sin3sinBC，求，求ABC的周长的周长.【答案】【答案】（1）13；（2）263 2【解析】【解析】（1）由已知条件结合余弦定理可求 cosA 的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求 sinA 的值（2）利用三角形的面积公式可求 bc 的值，由正弦定理化简已知等式可得2b3c，解得 b，c 的值，根据余弦定理可求 a 的值，即可求解三角形的周长【详解】（1）2224 23bcabc，由余弦定理可得 2bccosA4 23bc，cosA2 23，在ABC 中，sinA21 cos A13（2）ABC 的面积为2，即12bcsinA16bc2，bc62，又2sinB3sinC，由正弦定理可得2b3c，b32，c2，则 a2b2+c22bccosA6，6a，所以周长为263 2abc.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18某公司有某公司有 l000 名员工，其中男性员工名员工，其中男性员工 400 名，采用分层抽样的方法随机抽取名，采用分层抽样的方法随机抽取 100名员工进行名员工进行 5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买手机购买意向的调查，将计划在今年购买 5G 手机的员工称为手机的员工称为“追光族追光族”，计划在明年及明年以后才购买，计划在明年及明年以后才购买 5G 手机的员工称为手机的员工称为“观望者观望者”调查结果发现抽取的这调查结果发现抽取的这 100 名员工中属于名员工中属于“追光族追光族”的女性员工和男性员工各有的女性员工和男性员工各有 20 人人.（）完成下列）完成下列22列联表，并判断是否有列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于的把握认为该公司员工属于“追光族追光族”与与“性别性别”有关；有关；第 11 页 共 18 页属于属于“追光族追光族”属于属于“观望者观望者”合计合计女性员工女性员工男性员工男性员工合计合计100（）已知被抽取的这）已知被抽取的这 l00 名员工中有名员工中有 6 名是人事部的员工，这名是人事部的员工，这 6 名中有名中有 3 名属于名属于“追光族追光族”现从这现从这 6 名中随机抽取名中随机抽取 3 名，求抽取到的名，求抽取到的 3 名中恰有名中恰有 1 名属于名属于“追光族追光族”的概率的概率附：附：22n adbcKabcdacbd，其中，其中nabcd.20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】【答案】（）表见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.（）920【解析】【解析】（）完善列联表，计算22.7783.841K 得到结论.（）设人事部的这 6 名中的 3 名“追光族”分别为“a，b，c”，3 名“观望者”分别为“A，B，C，列出所有情况计算得到答案.【详解】（）由题，22列联表如下：属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100第 12 页 共 18 页22100 20 2020 40252.7783.84140 60 40 609K，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.（）设人事部的这 6 名中的 3 名“追光族”分别为“a，b，c”，3 名“观望者”分别为“A，B，C”.则从人事部的这 6 名中随机抽取 3 名的所有可能情况有“,a b c；,a b A；,a b B；,a b C；,a c A；,a c B；,a c C；,b c A；,b c B；,b c C；,a A B；,a A C；,a B C；,b A B；,b A C；,b B C；,c A B；,c A C；,c B C；,A B C”共 20 种.其中，抽取到的 3 名中恰有 1 名属于“追光族”的所有可能情况有“,a A B；,a A C；,a B C；,b A B；,b A C；,b B C；,c A B；,c A C；,c B C”共 9 种.抽取到的 3 名中恰有 1 名属于“追光族”的概率920P.【点睛】本题考查了列联表，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.19如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，AP 平面平面PBC，底面，底面ABCD为菱形，且为菱形，且60ABC，E，F分别为分别为BC，CD的中点的中点（）证明：）证明：BC平面平面PAE；（）点）点Q在棱在棱PB上，且上，且13PQPB，证明：，证明：/PD平面平面QAF【答案】【答案】（）证明见解析（）证明见解析【解析】【解析】（）证明BCAE和BCAP得到BC平面PAE.（）根据相似得到PDQMP证明PDP平面QAF.【详解】（）如图，连接AC.底面ABCD为菱形，且60ABC，三角形ABC为正三角形.第 13 页 共 18 页E为BC的中点，BCAE.又AP 平面PBC，BC 平面PBC，BCAP.APAEA，,AP AE 平面PAE，BC平面PAE.（）连接BD交AF于点M，连接QM.F为CD的中点，在底面ABCD中，12DMDFMBAB，13DMDB.13PQDMPBDB，在三角形BPD中，/PDQM.又QM 平面QAF，PD 平面QAF，/PD平面QAF.【点睛】本题考查了线面垂直和线面平行，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.20已知函数已知函数 1 lnaf xaxxx，aR，fx为函数为函数 f x的导函数的导函数.（）讨论函数）讨论函数 f x的单调性；的单调性；（）当）当2a 时，证明时，证明 2f xfxxx对任意的对任意的1,2x都成立都成立.【答案】【答案】（）见解析（）证明见解析【解析】【解析】（）求导得到 21xxafxx讨论0a，10a，1a 和1a 四种情况得到答案.（）要证明 2f xfxxx即 212ln10 xxh xx，求导得到函数 max0h x得到证明.【详解】（）222111fxaxaaxxaxx 21xxax.第 14 页 共 18 页0 x，aR，当0a 时，0 xa，函数 f x在0,1内单调递减，在1,内单调递增；当10a 时，01a ，函数 f x在0,a内单调递增，在,1a内单调递减，在1,内单调递增；当1a 时，2210 xfxx，函数 f x在0,内单调递增；当1a 时，1a，函数 f x在0,1内单调递增，在1,a内单调递减，在,a内单调递增.（）当2a 时，2ln xxf xx，2112xfxx ，1,2x.2212ln1xxxxf xfxx.令 212ln1xxxh x，则 22331144xhxxxxxx.令 24xxxu，函数 u x在1,2内单调递增，10u，20u，存在唯一的01,2x，使得00hx.当01,xx时，00hx；当0,2xx时，00hx；函数 h x在01,x内单调递减，在02x,内单调递增.又 10h，2ln2 10h，max0h x，即 2f xfxxx对任意的1,2x都成立.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键21已知椭圆已知椭圆C：2212xy的右焦点为的右焦点为F，过点，过点F的直线（不与的直线（不与x轴重合）与椭圆轴重合）与椭圆C相交于相交于A，B两点，直线两点，直线l：2x 与与x轴相交于点轴相交于点H，E为线段为线段FH的中点，直线的中点，直线BF与直线与直线l的交点为的交点为D.（）求四边形）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；为坐标原点）面积的取值范围；（）证明直线）证明直线AD与与x轴平行轴平行.【答案】【答案】（）0,2（）证明见解析【解析】【解析】（）令直线AB：1xmymR，联立方程利用韦达定理得到第 15 页 共 18 页12222myym，12212y ym，222 212mSm，换元21mt 带入化简得到答案.（）直线 BE 的方程为223322yyxx，令2x 得，221212Dyymy.代入（）中式子化简得到答案.【详解】（）由题，1,0F，令直线AB：1xmymR，11,A x y，22,B xy.联立22112xmyxy消去x，得222210mymy.224420mm，12222myym，12212y ym，22121212124yyyyyyy y222 212mm.四边形OAHB的面积211212SOHyyyy222 212mm.令21mt，1t，22 22 211tSttt.12tt（当且仅当1t 即0m 时取等号），02S.四边形OAHB面积的取值范围为0,2.（）2,0H，1,0F，3,02E.直线 BE 的斜率2232ykx，直线 BE 的方程为223322yyxx.令2x 得，221212Dyymy.由（），12222myym，12212y ym.第 16 页 共 18 页12122yymy y，1222111222yyymyyy.化简，得22122111221112222Dyyyyymyy.直线AD与x轴平行.【点睛】本题考查了面积的范围，直线的平行问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22 在平面直角坐标系 在平面直角坐标系xOy中，已知中，已知P是曲线是曲线1C：22(2)4xy上的动点，将上的动点，将OP绕点绕点O顺时针旋转顺时针旋转90得到得到OQ，设点，设点Q的轨迹为曲线的轨迹为曲线2C.以坐标原点以坐标原点O为极点，为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线）求曲线1C，2C的极坐标方程；的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点）在极坐标系中，点(3,)2M，射线，射线(0)6与曲线与曲线1C，2C分别相交于异于极点分别相交于异于极点O的的,A B两点，求两点，求MAB的面积的面积.【答案】【答案】（1）曲线1C：4sin，曲线2C：4cos；（2）93 32【解析】【解析】（1）由题意，点 Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆，写出其普通方程，再结合 2x2+y2，xcos，ysin，可得曲线 C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，设 A，B 的极径分别为 1，2，求得|AB|12|，再求出 M（3，2）到射线06的距离 h3 33sin32，即可求得MAB 的面积【详解】（1）由题意，点 Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆，则曲线 C2：22(2)4xy，2x2+y2，xcos，ysin，曲线 C1的极坐标方程为 4sin，曲线 C2的极坐标方程为 4cos；（2）在极坐标系中，设 A，B 的极径分别为 1，2，124 sincos2(31).66AB第 17 页 共 18 页又点(3,)2M到射线(0)6的距离为3 33sin.32hMAB的面积193 3.22SAB h【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档题23已知函数已知函数()3.f xx（1）解不等式）解不等式()421f xx；（2）若）若142(0,0)mnmn，求证：，求证：3().2mnxf x【答案】【答案】（1）2(,0,)3；（2）见解析.【解析】【解析】（1）原不等式可化为：|x3|4|2x+1|，即|2x+1|+|x3|4，分段讨论求出即可；（2）由基本不等式得mn的最小值92，转化为|x+32|f（x）92恒成立即可【详解】（1）原不等式化为3421xx，即2134.xx 12x 时，不等式化为2134xx，解得23x ；132x时，不等式化为2134xx，解得0 x，03x；3x 时，不等式化为2134xx，解得2x，3x.综上可得：原不等式解集为2(,0,)3.（2）()3.f xx3339()3(3)2222xf xxxxx，当且仅当3()(3)02xx且332xx时取等号.又142(0,0)mnmn，11414149()()(5)(52)2222nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当4nmmn时取等号.3().2mnxf x第 18 页 共 18 页【点睛】考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用，属于中档题