2020届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（五） 数学（文）试题（解析版）.rar

第 1 页 共 18 页2020 届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（五）届云南省昆明市云南师范大学附属中学高三适应性月考卷（五）数学（文）试题数学（文）试题一、单选题一、单选题1已知集合已知集合2|10Ax x，2|230Bx xx.则则AB（）A 1,1B1C 1,1D 1,3【答案】【答案】B【解析】【解析】先计算得到1 1|13ABxx ，再计算AB得到答案.【详解】1 1|131ABxxAB ，故选：B【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.23sin15sin75（）A22B1C2D62【答案】【答案】C【解析】【解析】直接利用诱导公式和辅助角公式化简得到答案.【详解】3sin15sin753sin15cos152sin 15302 故选：C【点睛】本题考查了诱导公式和辅助角公式，意在考查学生的计算能力.3 设复数 设复数11izi，21zz i，12,z z在复平面内所对应的向量分别为在复平面内所对应的向量分别为OP，OQ（O为原点），则为原点），则OP OQ （）第 2 页 共 18 页A12B0C12D22【答案】【答案】B【解析】【解析】化简得到1 11 12 22 2OPOQ ，再计算OP OQ 得到答案.【详解】121i1 i1 i1 11 1i01 i222 22 2zzzOPOQOP OQ ，故选：B【点睛】本题考查了复平面对应向量的运算，掌握复数和向量的对应关系是解题的关键.4已知数列已知数列na为等差数列，为等差数列，nS为前为前n项和，若项和，若244aa，58a，则，则10S（）A125B115C105D95【答案】【答案】D【解析】【解析】根据等差数列公式得到方程组2415124448aaadaad，计算得到答案.【详解】24111051244410 91043954832aaadaSaadd ，故选：D【点睛】本题考查了等差数列求和，理解掌握数列公式是解题的关键.5如图，在圆如图，在圆O的圆心的圆心O处有一个通信基站，处有一个通信基站，2，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域（该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域（该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（）第 3 页 共 18 页A1 sin2B2C1sin22D2sin22【答案】【答案】D【解析】【解析】设该圆的半径为 R，计算圆面积和阴影部分面积，利用几何概型相除得到答案.【详解】设该圆的半径为 R，则圆的面积是2R，22112sin222AOBOABSSSRRV阴影扇形211sin22R，故2sin22P故选：D【点睛】本题考查了几何概型计算概率，计算区域面积是解题的关键.6函数函数()sin()xxf xee的图象大致为（的图象大致为（）ABCD【答案】【答案】D【解析】【解析】判断函数为偶函数，取特殊点 00sin21f，判断得到答案.【详解】第 4 页 共 18 页 00sin21f，且 fxf x，函数为偶函数故选：D【点睛】本题考查了函数图像的判断，根据奇偶性和特殊点可以快速得到答案是解题的关键.7在四边形在四边形ABCD中，已知中，已知3AB，4BC，5CD，6AD，60B，则四边形，则四边形ABCD的面积为（的面积为（）A62 3B93 3C9D8 3【答案】【答案】B【解析】【解析】由余弦定理可求得13AC，进一步求得43cossin55DD，再利用面积公式计算得到答案.【详解】ABC中，由余弦定理可得2222cosACBCBABC BAB得到13AC，ADC中，由余弦定理得到2222cosACDCDADC DAD得到43cossin55DD，1315 63 4 sin6093 3252S 故选：B【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.8已知直线已知直线0AxByC与圆与圆1C2240 xyx相交于相交于,A B两点，且三角形两点，且三角形1ABC，为直角三角形，则，为直角三角形，则,A B中点中点M的轨迹方程为（的轨迹方程为（）A22(2)(1)1xyB22(1)(1)2xyC22(1)1xyD22(2)2xy【答案】【答案】D【解析】【解析】根据题意得到12MC，M 的轨迹是以 C1为圆心，半径为2的圆，得到答案.【详解】第 5 页 共 18 页因为1ABCV为直角三角形，且11ACBC，所以12 22ABMC，所以 M 的轨迹是以 C1为圆心，半径为2的圆故选：D【点睛】本题考查了圆的轨迹问题，根据题意得到12MC 是解题的关键.9已知函数已知函数,1(),1xexf xxxe，则，则(ln2)(1)ff（）A22eeB12eeC1eeD2e【答案】【答案】A【解析】【解析】直接代入计算得到答案.【详解】1lnln22112ln21ln2ee1 ln21 2e2effffe，故选：A【点睛】本题考查了分段函数的计算，属于简单题.10已知函数已知函数1()2sin()3f xx，将，将()yf x的图象上所有点的横坐标变为原来的的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为个单位，所得图象对应的函数为()g x，若函数的图象在，若函数的图象在P，Q两处的切线都与两处的切线都与 x 轴平行，则轴平行，则|PQ的最小值为（的最小值为（）A17B4C4D2 5【答案】【答案】B【解析】【解析】先计算得到 12sin223g xx，画出函数图像，计算12 5PQ，24PQ 得到答案.【详解】第 6 页 共 18 页根据变换得到：12sin223g xx，图象如图：由图可知，PQ取到的最小可能为12PQPQ，因为12 5PQ，24PQ，所以最小值为 4故选：B【点睛】本题考查了三角函数的平移，放缩，距离的计算，综合性强，意在考查学生综合应用能力.11如图，已知如图，已知BD是圆是圆O的直径，的直径，A，C在圆上且分别在在圆上且分别在BD的两侧，其中的两侧，其中2BD，ABCD.现将其沿现将其沿BD折起使得二面角折起使得二面角ABDC为直二面角，则下列说法不正确的是（为直二面角，则下列说法不正确的是（）AA，B，C，D在同一个球面上在同一个球面上B当当ACBD时，三棱锥时，三棱锥ABCD的体积为的体积为13CAB与与CD是异面直线且不垂直是异面直线且不垂直D存在一个位置，使得平面存在一个位置，使得平面ACD 平面平面ABC【答案】【答案】D【解析】【解析】依次判断每个选项的正误：OAOBOCODR，所以 A 正确；当ACBD，A，C 各在所在圆弧的中点，计算体积得到 B 正确；反证法证明 AB 与 CD不垂直 C 正确；根据 C 选项知 D 错误，得到答案。【详解】因为OAOBOCODR，所以 A 正确；当ACBD，A，C 各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面 BCD 的面积和高均处于第 7 页 共 18 页最大位置，此时体积为1112 1 1233 ，所以 B 正确；AB 与 CD 显然异面，用反证法证明他们不垂直若ABCD，过 A 作 BD 的垂线，垂足为 E，因为为直二面角，所以 AE平面 BCD，所以AECD，所以CDABD 平面，所以CDBD，这与CDBC矛盾，所以 AB 与 CD 不垂直，所以 C正确；假设存在一个位置，使得平面ACD 平面ABC，过B作BMAC于M，则BM 平面ACDBMCD由于BCCDCD平面ABCCDAB，与C选项矛盾.故选：D【点睛】本题考查了直线平面的关系，体积，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.二、填空题二、填空题12能说明命题能说明命题“a，b，c，d是实数，若是实数，若ab，cd，则，则acbd”是假命题的一组数对（是假命题的一组数对（a，b，c，d）是）是_.【答案】【答案】(2 123).，【解析】【解析】举一组反例即得到答案.【详解】答案不唯一，满足条件即可例如：2 123.，故答案为：2 123.，【点睛】本题考查了判断命题为假命题，属于简单题.13抛物线抛物线24yx上的点到其准线的距离的最小值为上的点到其准线的距离的最小值为_.【答案】【答案】116【解析】【解析】抛物线的标准方程为214xy，准线方程为116y ，得到最小距离.【详解】第 8 页 共 18 页抛物线的标准方程为214xy，准线方程为116y ，最小距离为1216p故答案为：116【点睛】本题考查了抛物线上的点到准线的距离，属于基础题型.14若实数若实数,x y满足约束条件满足约束条件20220 xyyxy，则，则22xy的取值范围为的取值范围为_.【答案】【答案】2 20，【解析】【解析】画出可行域，变换得到222222xyxyPO，根据图像得到答案.【详解】可行域如图所示，变换得到222222xyxyPO设P x y，为可行域内任意一点，则222222xyxyPO由图可知4,2C,minmax22202POPOCO，所以22xy的取值范围为2 20，故答案为：2 20，【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像，变换222xyPO是解题的关键.15我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w，厚度为，厚度为x的矩形纸张沿两个方向不的矩形纸张沿两个方向不第 9 页 共 18 页断对折，则经过两次对折，长边变为断对折，则经过两次对折，长边变为12w，厚度变为，厚度变为4x.在理想情况下，对折次数在理想情况下，对折次数n有下列关系：有下列关系：22log3wnx（注：（注：lg20.3），根据以上信息，一张长为），根据以上信息，一张长为21cm，厚度为，厚度为0.05mm的纸最多能对折的纸最多能对折_次次.【答案】【答案】8【解析】【解析】根据题意计算22log 42003n 得到答案.【详解】2222222221221log 4200log 4log 1000log23log 10log3320320n，因为221121log 100log1lg20.320，所以22218log320nn的最大值为8故答案为：8【点睛】本题考查了对数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题三、解答题16已知已知F是双曲线是双曲线G：22221(0,0)xyabab的一个焦点，的一个焦点，1l，2l是双曲线的两条渐近线，过是双曲线的两条渐近线，过F且垂直且垂直1l的直线与的直线与1l，2l分别交于分别交于A，B两点，若三角形两点，若三角形AOB的面积的面积2AOBSab（O为原点），则双曲线的离心率为（为原点），则双曲线的离心率为（）A153或或213B62或或2C62或或102D6或或102【答案】【答案】C【解析】【解析】分为0ba和0ab两种情况，画出图像分别计算离心率得到答案.【详解】有如下两种情况：（1）0ba；（2）0ab第 10 页 共 18 页 （1）如图甲，可求出 A，B 的坐标分别为222222aaba cabcABccabba，所以2211102222AOBBOFAOFabcabSSSccabebacVVV；同理可得当0ab时，满足条件的离心率62e 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的离心率，分类讨论是解题的关键，漏解是容易发生的错误.17在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元；方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报元，以后每天比前一天多回报10元；元；方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番元，以后每天的回报比前一天翻一番.记三种方案第记三种方案第n天的回报分别为天的回报分别为na，nb，nc.（1）根据数列的定义判断数列）根据数列的定义判断数列na，nb，nc的类型，并据此写出三个数列的通项公式；的类型，并据此写出三个数列的通项公式；（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由.【答案】【答案】（1）na为常数列；nb为等差数列；nc是等比数列；40na，1100.42nnnbnc，（2）应该选择方案二，详见解析【解析】【解析】（1）根据题意得到 na为常数列，nb是等差数列，nc是等比数列，分别计算通项公式得到答案.（2）设投资 10 天三种投资方案的总收益为101010ABC，分别计算比较大小得到答案.【详解】（1）40nnaa，为常数列；第 11 页 共 18 页 1110nnnnbbb，是首项为 10，公差为 10 的等差数列；11120.4nnnccc，所以 nc是首项为 0.4，公比为 2 的等比数列所以1100.4 2nnnbnc，（2）设投资 10 天三种投资方案的总收益为101010ABC，由（1）知：101010100.4 1 210 940010 1010550409.221 2ABC；，因为101010BCA，所以应该选择方案二【点睛】本题考查了数列的应用，意在考查学生对于数列公式的灵活应用.18 至 至2018年底，我国发明专利申请量已经连续年底，我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位，下表是我国年位居世界首位，下表是我国2012年至年至2018年发明专利申请量以及相关数据年发明专利申请量以及相关数据.注：年份代码注：年份代码17分别表示分别表示20122018.（1）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？（2）建立）建立y关于关于t的回归直线方程（精确到的回归直线方程（精确到0.01），并预测我国发明专利申请量突破），并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份万件的年份.参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为112211()()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynxybxxxx，.aybx【答案】【答案】（1）2013 年的增长率最高，达到了 26%（2）y关于t的回归直线方程为1550.57yt，预测我国发明专利申请量将在 2021 年突破 200 万件【解析】【解析】（1）分别计算每一年的增长率，比较大小得到答案.第 12 页 共 18 页（2）根据公式直接计算得到回归直线方程为150.575yt，再解不等式1550.57200t 得到答案.【详解】（1）由表格可知 2013，2014，2015，2016，2017，2018 年的增长率分别如下：8265928211092133 110138 133154 13826%12%20%21%4%12%658292110133138；，所以 2013 年的增长率最高，达到了 26%（2）由表格可计算出：7721177443516287iiiiityt ytt，77435167477471515 450.75728ba，y关于t的回归直线方程为150.575yt令149.431550.572009.9615tt 所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在 2021 年突破 200 万件【点睛】本题考查了回归方程的计算和应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.19如图，已知菱形如图，已知菱形ABCD和矩形和矩形ACFE所在的平面互相垂直，所在的平面互相垂直，2ACAE.（1）若）若G为为 BE 的中点，求证：的中点，求证：/AG平面平面BDF；（2）若图中七面体的体积为）若图中七面体的体积为4 33，且，且60ABC，求点，求点B到平面到平面DEF的距离的距离.【答案】【答案】（1）证明见解析（2）3第 13 页 共 18 页【解析】【解析】（1）如图，设 BF 的中点为 H，ACBDO，连接 HG，HO，证明/AGHO得到证明.（2）先计算34 33Va七面体，再计算2 33B DEFE BCDFABDVVVV七面体，利用体积公式计算得到答案.【详解】（1）证明：如图，设 BE 的中点为 H，ACBDO，连接 HG，HO因为 G 是 BE 的中点，所以1/2HGEFAO HGEFAO，所以四边形 AGHO 是平行四边形，所以/AGHO，又因为HO平面 BDF，AG 平面 BDF，所以/AG平面BDF（2）因为 ABCD 为菱形，且60ABC，所以ABCV为正三角形又因为 ACEF 为矩形，且2ACAE设22 3AEaACa BDa，2314 322 333Vaaa七面体1a=4 3332 33333B DEFF BCDE ABDVVVV七面体，2212552DEDFEF，在三角形 DEF 中，EF 边上的高为 2，所以2DEFS设 B 到平面 DEF 的距离为 d，则12 3333B DEFDEFVSddV第 14 页 共 18 页【点睛】本题考查了线面平行，点到平面的距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.20 设椭圆 设椭圆C：22221(0)xyabab，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，分别是椭圆的左、右焦点，00(,)P xy在椭圆在椭圆C上上.求证：求证：（1）直线）直线l：00221x xy yab是椭圆在点是椭圆在点P处的切线；处的切线；（2）从）从2F发出的光线发出的光线2F P经直线经直线l反射后经过反射后经过1F.【答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【解析】（1）联立直线和椭圆方程2222002211xyabx xy yab，计算0 得到证明.（2）设2F关于直线l的对称点为211Fxy，则22FF，的中点在直线 l 上，直线22F F与 l 垂直，计算2 11F FPFkk得到证明.【详解】证明：（1）因为00P xy，在椭圆上，所以2200221xyab，所以 P 也在直线上联立直线和椭圆方程222220222222222244220000000222222221201xya bb x xyaba yb xxa b x xb aa ya yx xy yb xa ya bab，因为 P 在椭圆上，所以222222222222220000200a yb xa ba b xa b x xa b x 所以直线 l 与椭圆相切，又因为lCP，所以直线 l 是椭圆在点 P 处的切线（2）设2F关于直线l的对称点为211Fxy，则22FF，的中点在直线 l 上，直线22F F与 l 垂直，第 15 页 共 18 页即，2 12222200000014224222222221000000F Fb yax cb yax cyax cykxcb xa y cb xa b cb x cacxa cx c120002000PFyax cykxcax cxc所以21FP F，三点共线，所以从2F发出的光线2F P经直线l反射后经过1F【点睛】本题考查了椭圆的切线和反射问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.21设函数设函数()(0,1)xf xaax xa.（1）证明：若）证明：若ae，则，则()0f x 恒成立；恒成立；（2）讨论）讨论()f x的零点个数的零点个数.【答案】【答案】（1）证明见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【解析】（1）求导得到 eexfx，得到函数的单调区间和最小值得到证明.（2）求导得到 lnxfxaaa，令(1)lnxg xxx得到 eeg xg故 f x在0 loglnaaa，上单调递减，在loglnaaa，上单调递增，min1 lnlnlnaaf xaa，讨论得到答案.【详解】（1）证明：若 eexeexxaef xfx，则，所以 f x在0 1，上单调递减，在1，上单调递增，所以 f x的最小值为 10f，即有 0f x（2）解：lnxxf xaax fxaaa，令 0loglnaafxxa第 16 页 共 18 页令 2ln1(1)lnlnxxg xxgxxx，则，所以 g x在1 e，上单调递减，在e，上单调递增，eeg xg，所以e ln1lnlnaaaa，所以 f x在0 loglnaaa，上单调递减，在loglnaaa，上单调递增，minlnlnloglog1 lnlnlnlnlnlnlnlnaaaaaaaaaaaf xfaaaaaaaa由以上 g x的讨论可知，当且仅当ea 时，elnaa，此时 min0f x当 min1 ee0af x，时，又因为 10fx 且时，f x ，所以，当ea 时，函数 f x只有一个零点；当1eaa且时，函数 f x有两个零点【点睛】本题考查了不等式的证明，函数的零点问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.22在直角坐标系在直角坐标系xOy中，射线中，射线l的方程为的方程为3(1)(1)3yxx，以坐标原点，以坐标原点O为极点，为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的方程为的方程为10cos.一只小虫从点一只小虫从点(1,0)A 沿射线沿射线l向上以向上以2单位单位/min 的速度爬行的速度爬行（1）以小虫爬行时间）以小虫爬行时间t为参数，写出射线为参数，写出射线l的参数方程；的参数方程；（2）求小虫在曲线）求小虫在曲线1C内部逗留的时间内部逗留的时间.【答案】【答案】（1）该射线的参数方程为130 xtttyt ，为参数，；（2）小虫在圆内逗留的时间为 4min【解析】【解析】（1）小虫爬行的距离为 2t，其所在位置为13t t，得到参数方程.（2）曲线 C1的直角坐标方程为22100 xyx，根据韦达定理得到第 17 页 共 18 页1 212113 34t ttt，计算21tt得到答案.【详解】（1）因为直线的倾斜角为 30，经过时间 t 后，小虫爬行的距离为 2t，其所在位置为13t t，所以该射线的参数方程为130 xtttyt ，为参数，（2）曲线 C1的直角坐标方程为22100 xyx；将射线的参数方程带入曲线 C1的方程，得2412 3110tt，设 t1，t2分别为小虫爬入和爬出的时间，则1 212113 34t ttt，逗留时间221121 244 minttttt t，所以小虫在圆内逗留的时间为 4min【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，根据直线的参数方程利用韦达定理是解题的关键.23如图，如图，AB是半圆直径，是半圆直径，O为为AB的中点，的中点，DOAB，C在在AB上，且上，且ACx，BCy.（1）用）用x，y表示线段表示线段OD，CD的长度；的长度；（2）若）若0a，0b，1ab，求，求44ab的最小值的最小值.【答案】【答案】（1）2xyOD，222xyCD（2）18【解析】【解析】（1）根据半径和勾股定理直接计算得到答案.（2）根据（1）知2222ababab 时取等号，代入数据得到答案.【详解】解：如图，（1）22xyxyODOC，第 18 页 共 18 页2222222xyxyxyCD（2）由（1）知，2222ababCDODab，即时取等号，所以2221224abab，44224411122482abababab当时取到等号，所以44ab的最小值为18【点睛】本题考查了不等式的证明，根据图像得到不等式2222abab是解题的关键.