1、2020届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学（文）试题一、单选题1已知集合，且，则（ ）A1B0CD2【答案】A【解析】由题知：，解得：.【详解】因为，所以，解得：.故选：A【点睛】本题考查集合的子集关系，理解子集的概念是关键，属于简单题.2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】试题分析：，对应的点为，位于第一象限【考点】复数的乘除和乘方3抛物线的准线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】将抛物线方程化为标准方程，由抛物线的标准方程可得其准线方程.【详解】由抛物线有,根据抛物线的标准方程可得.则其准线方程为：故选：C【点睛】本题考查
2、由抛物线的方程求准线方程，属于基础题.4已知，则与的夹角是（ ）ABCD【答案】C【解析】由有得，再代入向量的夹角公式可求解.【详解】由有.即，又.则.由与的夹角在内.所以与的夹角为.故选：C.【点睛】本题考查向量的夹角，向量的数量积的运算,属于基础题.5如图所示的程序框图，若输出值，则输入值的集合是（ ）ABCD【答案】C【解析】将输出的值，沿着“是”，“否”两条路线反代回去，即可求出的值.【详解】若输入的，则输出，则.若输入的，则输出,则.则输入值的集合是: 故选：C【点睛】本题考查程序框图，根据输出的结果计算输入的初始值，属于基础题.6污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻
3、坚战之一.凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（ ）（精确到小数点后2位）A0.13B0.15C0.20D0.22【答案】C【解析】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为，则2021年使空气质量为“良”的天数，然后求解方程得出答案.【详解】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为，则2021年使空气质量为“良”的天数即，解得：故选：C.【点睛】本题主要考查平均变化率，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率,属于基础题.7函数（其中， ）的图象如图所示，为了得到
4、的图象，则只要将的图象（ ）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【答案】B【解析】根据图像有,得到函数的最小正周期，根据周期公式可求出，然后求出和的解析式，再根据相位变换得到答案.【详解】根据图像有,所以,则.不妨取，又有，得,又.所以，即，所以由向右平移个单位长度可得的图像.故选：B【点睛】本题考查三角函数的图像性质，根据图像求解析式，三角函数的图像变换，属于中档题.8中，内角，的对边分别是，.已知，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由有,再由正弦定理有,即,可解出答案.【详解】由有,由正弦定理有, 又即.所以.因为为的内角，则.故选：D【点睛】本
5、题考查正弦定理的应用，属于中档题.9已知平面，和直线，则“”的充分不必要条件是（ ）A内有无数条直线与平行B且C且D内的任何直线都与平行【答案】B【解析】选择“”的充分不必要条件，是分析哪个选项能推出，反之不成立.【详解】A. 内有无数条直线与平行,则可能相交或平行，故不能推出.B. 且,则. 反之不成立，满足条件.C. 且,则 可能相交或平行，故不能推出.D. 内的任何直线都与平行是的充要条件.故选：B.【点睛】本题考查充分条件的判断，面面平行的判断，属于基础题.10函数，其图象的对称中心是（ ）ABCD【答案】D【解析】,设，则为奇函数，而的图像是的图像向下平移1个单位得到的，从而得到答案
6、.【详解】由，设，则为奇函数,其图像关于原点成中心对称.所以,的图像是的图像向下平移1个单位得到的.所以的图像关于点 成中心对称.故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数图像的对称性，属于基础题.11已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】设 ，先求出直线的方程，由点在直线上，得出直线过定点,从而求出答案.【详解】设,过点引圆的两条切线，切点分别为，.则，两点在以为直径的圆:上.又，在圆上，所以为两圆的公共弦，将两圆方程联立相减得：，即直线的方程又点在直线上，则，代入直线的方程.,得直线过定点， 所以点到直线的距离：
7、.故选：D.【点睛】本题考查圆的切线方程，直线过定点问题，点到直线的距离的最值问题,属于难题.12若函数在区间上有两个极值点，则的可能取值为（ ）A3B4C5D6【答案】A【解析】函数的导函数为，函数在区间上有两个极值点，即方程在内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布找出条件，从而达到答案.【详解】,函数在区间上有两个极值点,即方程在内有两个不等实数根.所以以为纵坐标，为横坐标画出不等式满足的平面区域.曲线与直线相切于点，曲线与直线相切于点.根据选项，则的可能取值在选项中只能为3.故选：A.【点睛】本题考查极值存在的条件，考查线性规划解决问题，是导数的综合应用，属于难题.二、填空题13计算：
8、_。【答案】2【解析】化简原式.【详解】原式.故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算和指数幂的运算，熟记公式是解题关键，属于简单题.14已知，则_.【答案】【解析】由,则,由同角三角函数的关系可得的值，从而可得答案.【详解】由，即，则.由有： .则，又.所以，.所以.故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的关系，注意角的范围，开方符号的选择，属于基础题.15在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是，则小球体积的最大值为_.【答案】【解析】设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为，由共一顶点的三个面的面积分别是，可得，从而可解得的值，可求得小球半径的最大值，从而得到
9、其体积.【详解】设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为，则由条件有.解得:，因为小球在长方体内，则小球的直径的最大值为边长.所以半径的最大值为，则小球的体积的最大值为：.故答案为：.【点睛】本题考查长方体的内切球，根据长方体的表面的面积求棱长,考查方程思想，属于中档题.16如图，直线和分别是函数过点的切线（切点为）和割线，则切线的方程为_；若，则_.【答案】 【解析】设切点，由，得切线的斜率为，求出在点处的切线方程，然后将点代入，解出切点的坐标，从而得到切线方程. 再写出直线的方程与联立，则为方程的根，应用因式分解和韦达定理可得的值.【详解】设切点,又，则在点处的切线的斜率为：.则在点处的
10、切线方程为：，又点在切线上，则，即，解得或(舍).则，所以切线的方程为：.根据题意直线的斜率一定存在，设直线的方程为： ，由 有所以，即 ()由直线交曲线于三点 所以为方程()的根.即为方程的两个实数根；由韦达定理有：.故答案为： ； .【点睛】本题考查曲线的切线，导数的几何意义，考查曲线与方程，直线与曲线的关系,属于难题.三、解答题17为等差数列的前项和，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】(1)由条件有，可求出，即得到答案.(2)由，由（1）有，则为等差数列，可求和.【详解】解：（1）为等差数列，设公差为由 即得： （2）由（1）可知,法一：的前项和
11、法二：，是以首项，公差为8的等差数列的前项和【点睛】本题考查等差数列求通项公式，数列求和，属于中档题.18在某次数学考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示.（1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求的值；（2）从甲班的样本不低于90分的成绩中任取2名学生的成绩，求这2名学生的成绩不相同的概率.【答案】（1）（2）【解析】（1）分别计算、，即可得到的值.（2）首先列出从这4名学生的成绩中任取2名学生的成绩的全部基本事件，再确定这2名学生的成绩不相同的基本事件，最后根据古典概型公式求得结果.【详解】（1）设样本中甲、乙
12、两班的平均成绩分别为、，则，；（2）由茎叶图知：甲班的样本中成绩不低于90分的学生有4人，记他们的成绩分别为，（其中，表示成绩为97分的两名学生的成绩，分别表示成绩为105分和107分的两名学生的成绩），则从这4名学生的成绩中任取2名学生的成绩，不同的取法有：，.其中，事件“所选的人成绩不同”所包含的基本事件有个，所以，这2名学生的成绩不相同的概率为.【点睛】本题第一问考查了茎叶图和平均数，第二问考查了古典概型，同时考查了学生的数据处理能力，属于简单题.19在中（如图1），为线段上的点，且.以为折线，把翻折，得到如图所示2所示的图形，为的中点，且，连接.（1）求证：；（2）求四面体外接球的表面
13、积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）因为，所以平面.又因为平面，所以.（2）将四面体补形为一个以，为长、宽、高分的长方体.求长方体的外接球表面积即可.【详解】（1）在图1中有：，.在中，. .在图2中有：在中，为的中点，.在中，.翻折后仍有.又、平面，平面.平面，.（2）由（1）知，四面体可补形为一个以，为长、宽、高分的长方体.四面体外接球的半径，四面体外接球的表面积.【点睛】本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直为解题的关键，第二问考查三棱锥的外接球，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.20已知函数（为自然数的底数）,（1）若，试讨论的单调性；（2）对任意均有，求的取值范围.【答
14、案】（1）见解析（2）【解析】（1）求导得到，对分别讨论和即可得到的单调性.（2）转换为恒成立，求即可.【详解】（1）的定义域为，.当时，令，则；时，且.当时，令，则且；时.当时，在单调递增，在，单调递减；当时，在单调递减，在，单调递增.（2）由已知得：记，则，.函数在区间上是减函数，上是增函数故的取值范围为.【点睛】本题第一问考查导数应用中的含参单调区间，分类讨论是解题关键，第二问考查恒成立问题，同时考查了学生的转化思想，属于中档题.21已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于，两点，点满足，点，若直线斜率为，求面积的最大值及此时直线的方程.【答
15、案】（1）（2），直线的方程为【解析】(1)有题意有可求解.(2)先讨论特特殊情况, 是否为原点，然后当的斜率存在时, 设的斜率为,表示出的长度，进一步表示出的面积,然后求最值.【详解】解：（1）由题设知 ，椭圆的方程为：（2）法一： 为的中点又1）当为坐标原点时当的斜率不存在时，此时、为短轴的两个端点当的斜率存在时，设的斜率为设，则，代入椭圆方程整理得：，到的距离解一：令 令或 函数在单调递增，单调递减，单调递增时，为的极大值点，也是最大值点 直线方程为解二：设，则要得的最大值 ， 当，时，即，时等号成立，直线方程为2）当不为原点时，由，三点共线，设，的斜率为，在椭圆上，得，即 设直线代入椭
16、圆方程，整理得，到直线的距离令，令，在上单调递增，在上单调递减，此时直线综上所述：，直线的方程为解二：设，为的中点，在椭圆上当直线的斜率不存在时，设则， 所以，则，为短轴上的两个端点当直线的斜率存在时，设，消去得 , ， 由得或下同解法一【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值，利用导数讨论单调性求最值的方法，考查运算能力，属于难题.22在平面直角坐标系中，点的坐标为，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.（1）判断点与直线的位置关系；（2）设直线与曲线（为参数，）相交于，两点，求点到，两点的距离之积.【答案】（
17、1）在上（2）8【解析】(1)求出直线的平面直角坐标系的方程：，将点代入直线方程，可判断.(2)将曲线的方程化为直角坐标系方程，将直线的方程化为参数方程形式，联立直线方程与曲线的方程，则可解.【详解】（1）在平面直角坐标系的方程为：将代入得：，故在上（2）曲线的直角坐标系方程为：直线的参数方程为：（为参数）将直线的参数方程代入抛物线方程得：，则即到两点得距离之积为8.【点睛】本题考查参数方程，普通方程，极坐标方程的互化，直线参数方程中的参数的几何意义的应用，注意直线的参数方程必须为标准的形式，属于中档题.23已知（1）若，求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1) ，则，即，打开绝对值即可得出答案.(2) 对任意恒成立,即,然后用绝对值三角不等式可求.【详解】解:（1）即（2）对任意恒成立,只需成立,即，所以.所以.【点睛】本题考查绝对值不等式，不等式恒成立求参数的范围，考查绝对值三角不等式的应用.属于中档题.第 21 页 共 21 页
