1、2020届广西壮族自治区南宁市高三上学期10月月考数学（文）试题一、单选题1已知集合A2，1，0，1，2，Bx|x24x50，则AB（）A2，1，0B1，0，1，2C1，0，1D0，1，2【答案】D【解析】解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.【详解】因为集合，故选：D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2若复数z满足，则（ ）ABCD【答案】D【解析】先化简得再求得解.【详解】所以.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自
2、组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ）A方差B中位数C众数D平均数【答案】A【解析】通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变.【详解】由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，根据方差公式可知方差不变.故选：A【点睛】本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4函数在上的零点个数为（ ）A3B4C5D6【答案】C【解析】由，解得：或，解出满足条件的值.【详解】令，得或，即或，共有5个零点，所以函数在上有5个零点.故选：C【点睛】本题考查判断函数的零点个数，意在考查计算能力，属
3、于基础题型.5某校从高一（1）班和（2）班的某次数学考试（试卷满分为100分）的成绩中各随机抽取了3份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示、若分别从（1）班、（2）班的样本中各随机抽取一份，则（2）班成绩更好的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】列举所有的情况，并计算其中满足条件的基本事件个数，按古典概型计算结果.【详解】分别从（1）班、（2）班的样本中任取一份，包含，共有9种情况，其中（2）班成绩更好的包含共3种，则所求概率为.故选：B【点睛】本题考查古典概型，意在考查基本模型和计算，属于基础题型.6设递增的等比数列的前n项和为，已知，则（ ）A9B27C81D【答案】A【解析】根据两个已知
4、条件求出数列的公比和首项，即得的值.【详解】设等比数列的公比为q.由，得，解得或.因为.且数列递增，所以.又，解得，故.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7已知函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）A2B3C-2D-3【答案】B【解析】根据求出再根据也在直线上，求出b的值，即得解.【详解】因为，所以所以，又也在直线上，所以，解得所以.故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ）AB
5、CD【答案】C【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.【详解】由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设.则.故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.故选：C【点睛】本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9执行如图所示的程序框图，若输出的，则处应填写（ ）ABCD【答案】B【解析】模拟程序框图运行分析即得解.【详解】；.所以处应填写“”故选：B【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
6、平.10已知命题，命题q：在中，若,则.下列命题为真命题的是（ ）ABCD【答案】C【解析】分别判断两个命题的真假，然后再判断“或，且，非”命题的真假.【详解】恒成立，无实数根，命题p是假命题.又，根据正弦定理 ,知，大边对大角，可得，命题q是真命题.综上，可知为真命题.故选：C【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题型，本题的关键是判断两个命题的真假.11已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，设，得，求出的值，即得解.【详解】设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四
7、边形是平行四边形，所以，.设，则，又.故，所以.故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12已知函数，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到，且，解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为.因为，所以为上的偶函数，因为函数都是在上单调递减.所以函数在上单调递减.因为，所以，且，解得.故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13已知向量，且，则m=_.【答案】【解析】首先求
8、和的坐标，然后根据向量垂直的坐标表示求的值.【详解】因为，所以 ，.因为，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示求参数，属于计算问题，基础题型.14已知等差数列的前n项和为，且，则_.【答案】108【解析】由等差数列的前项和公式，和公式直接代入求解.【详解】由等差数列的前n项和公式，得.故答案为：108【点睛】本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的基本性质，属于基础题型.15已知分别是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆的离心率为_.【答案】【解析】设，求出，在中. 在中，得即得椭圆的离心率.【详解】设，则 ，由，得.在中.在中，得.故答案为：
9、【点睛】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质，考查余弦定理解三角形和椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16如图，在长方体中，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是_.【答案】【解析】如图，连接，证明平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上. 当时.线段的长度最小，再求此时的得解.【详解】如图，连接， 因为E，F，G分别为AB，BC，的中点，所以，平面，则平面.因为，所以同理得平面，又.所以平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上.在中，故当时.线段的长度最小，最小值为.故答案为：【点睛】本题主要
10、考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（1）求样本平均数的大小；（2）若一个零件的尺寸是100 cm，试判断该零件是否属于“不合格”的零件.【答案】（1）66.5 （2）属于【解析】（1）利用频率分布直方图的平均数公式求解；（2）求出，即可判断得解.【详解】（1） （2） 所以该
11、零件属于“不合格”的零件【点睛】本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18如图，在三棱柱中， 平面ABC.（1）证明：平面平面（2）求三棱锥的表面积.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】（1）要证明面面垂直，关键是证明线面垂直，根据条件转化为证明平面，再转化为证明和；（2）根据（1）的垂直关系，计算各个棱长，分别求四个面的面积.【详解】（1）证明：因为平面ABC，所以 因为.所以.即 又.所以平面因为平面.所以平面平面 （2）解：因为平面ABC，所以则，又，所以是等边三角形，故又所以三棱锥的表面积为【点睛】本题考查面面垂直的证明和计算几何体表面积
12、，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，本题的关键是第一问，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.19分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长【详解】（1）由，得，
13、即.因为，所以.由，得.（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立.因为的面积.所以当时，的面积取得最大值，此时，则，所以的周长为.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力20已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，函数在区间上的最大值与最小值的差为1，求m的值.【答案】（1）详见解析 （2）【解析】（1），分，和三种情况讨论求函数的单调区间；（2）由（1）可知，在上单调递减，上单调递增，根据单调性求最值，根据条件列方程求的值.【详解】解：（1） 若当时，；当时.，所以在上单调递增，在上单调递减若.在R上单调递增 若，当时，；
14、当时.，所以在上单调递增，在上单调递减 （2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增 则 又，所以 所以，故【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，和利用单调性求函数的最值，意在考查分类讨论的思想和计算能力，属于导数里的基础题型.21如图,已知抛物线E:y2=4x与圆M:(x3)2+y2=r2(r0)相交于A,B,C,D四个点.(1)求r的取值范围;(2)设四边形ABCD的面积为S,当S最大时,求直线AD与直线BC的交点P的坐标.【答案】(1) r(2,3). (2) (,0).【解析】(1)联立抛物线与圆的方程，利用判别式与韦达定理列不等式组，从而可得结果；(2)根据S=(+)(x
15、2x1)=(4+4)(x2x1)，利用韦达定理将S表示为关于r的函数，换元后利用导数可求当S最大时直线AD与直线BC的交点P的坐标.【详解】(1)联立抛物线与圆的方程消去y,得x22x+9r2=0.由题意可知x22x+9r2=0在(0,+)上有两个不等的实数根,所以解得2r3,即r(2,3). (2)根据(1)可设方程x22x+9r2=0的两个根分别为x1,x2(0x1x2),则A(x1,2),B(x1, 2),C(x2, 2),D(x2,2),且x1+x2=2,x1x2=9r2,所以S=(+)(x2x1)=(4+4)(x2x1)=2=2. 令t=(0,1),f(t)=S2=4(2+2t)(4
16、4t2)= 32(t3+t2t1),f(t)= 32(3t2+2t1)= 32(t+1)(3t1),可得f(t)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,即当t=时,四边形ABCD的面积取得最大值. 根据抛物线与圆的对称性,可设P点坐标为(m,0),由P,A,D三点共线,可得=,整理得m=t=,所以点P的坐标为(,0).【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的位置关系，及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三
17、角函数有界法、函数单调性法（结合导数）以及均值不等式法求解.22在直角坐标系中，已知圆，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线平分圆M的周长.（1）求圆M的半径和圆M的极坐标方程；（2）过原点作两条互相垂直的直线，其中与圆M交于O，A两点，与圆M交于O，B两点，求面积的最大值.【答案】（1）， （2）【解析】先求出，再求圆的半径和极坐标方程；（2）设 求出,再求出得解.【详解】（1）将化成直角坐标方程，得 则，故，则圆 ，即，所以圆M的半径为.将圆M的方程化成极坐标方程，得.即圆M的极坐标方程为. （2）设，则,用代替.可得,【点睛】本题主要考查直角坐标和极坐标的互化，考查极径的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23已知正实数满足 .（1）求 的最小值.（2）证明：【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）利用乘“1”法，结合基本不等式求得结果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，证明即可.【详解】（1）因为 ，所以 因为 ，所以 （当且仅当 ，即 时等号成立），所以（2）证明：因为 ，所以 故 （当且仅当 时，等号成立）【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理论证能力，属于中档题.第 18 页 共 18 页
