1、高考资源网（） 您身边的高考专家北京四中2019-2020学年度高三年级统练数学学科数学试卷一、选择题1.的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C.考点：诱导公式及运用.2.设数列an是等差数列，若a3+a4+a512，则a1+a2+a7（ ）A. 14B. 21C. 28D. 35【答案】C【解析】【分析】根据等差数列性质得到，再计算得到答案.【详解】数列an是等差数列，则； 故选：【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列性质的灵活运用.3.设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也
2、不必要条件【答案】C【解析】【分析】 ，得 成立；若 ，得【详解】若 ，得 成立；反之，若 ，得故选C.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，属基础题.易错点是“”推出“”.4.定义：，若复数z满足，则z等于（ ）A. 1+iB. 1iC. 3+iD. 3i【答案】B【解析】【分析】根据定义得到，代入数据化简得到答案.【详解】根据题意知：故选：【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.5.已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解绝对值不等式可得集合M,解分式不等式可得集合P,即可求得【详解】集合解绝对值不等式,可得 集合解分式不等式,可得则故选:B【
3、点睛】本题考查了集合交集的简单运算,绝对值不等式与分式不等式的解法,属于基础题6.在同一坐标系内，函数的图象关于（ ）A. 原点对称B. x轴对称C. y轴对称D. 直线y=x对称【答案】C【解析】因为，所以两个函数的图象关于y轴对称，故选C7.函数在点P（2，k）处的切线是（ ）A. x2y0B. xy10C. x2y10D. 2x2y30【答案】C【解析】【分析】求导得到，当时，计算得到切线方程.【详解】，当时， 故切线方程为： 故选：【点睛】本题考查了求函数的切线方程，意在考查学生的计算能力.8.函数在定义域内可导，若，且当时，设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解
4、】x（-，1）时，x-10，由（x-1）f（x）0，知f（x）0，所以（-，1）上f（x）是增函数f（x）=f（2-x），f（3）=f（2-3）=f（-1）所以f（-1）（0），因此cab故选B9.已知是定义在上的周期为的奇函数，当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函数的周期性和奇函数的性质可得出，代入解析式可得出的值.【详解】由于函数定义在上周期为的奇函数，且当时，故选A.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与周期性求值，对于自变量绝对值较大的函数值的求解，一般先利用周期性将自变量的绝对值变小，然后利用函数奇偶性求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.10.设
5、函数f（x）sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+f（x0）2m2，则m的取值范围是（ ）A. （，6）（6，+）B. （，4）（4，+）C. （，2）（2，+）D. （，1）（1，+）【答案】C【解析】【分析】求导得到，计算得到，代入式子化简得到，取或时计算得到答案.【详解】，则故当或时得：或 故选：【点睛】本题考查了极值，存在性问题，意在考查学生对于导数的应用能力.二、填空题11.函数f（x）的定义域是_【答案】（，0）（0，+）【解析】【分析】根据定义域定义得到计算得到答案.【详解】函数的定义域满足： 故答案：【点睛】本题考查了函数定义域，意在考查学生的计算能力.12.曲线在点处
6、的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .【答案】【解析】解析：依题意得y=ex，因此曲线y=ex在点A（2，e2）处的切线的斜率等于e2，相应的切线方程是y-e2=e2（x-2），当x=0时，y=-e2即y=0时，x=1，切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：13.已知等比数列的公比为2,前n项和为,则=_.【答案】 【解析】由等比数列的定义，S4=a1a2a3a4=a2a2qa2q2，得1qq2=.14.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，则A，B两点的距离为 m【答案】【解析】由正弦定理得 15.已知
7、函数，且是函数的极值点给出以下几个命题：；其中正确的命题是_（填出所有正确命题的序号）【答案】【解析】试题分析：的定义域为，所以有，所以有即即，所以有；因为，所以有考点：导数在求函数极值中的应用16.设函数f（x），若a1，则f（x）的最小值为_；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是_【答案】 (1). 1 (2). a1，或a2【解析】【分析】分别计算和的最小值，比较得到答案.设h（x）2xa，g（x）4（xa）（x2a），讨论有一个零点和没有零点两种情况，计算得到答案【详解】当a1时，f（x），当x1时，f（x）2x1为增函数，f（x）1，当x1时，f（x）4（x1）（x2）4（x
8、23x+2）4（x）21，当1x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增，故当x时，f（x）minf（）1，故最小值为设h（x）2xa，g（x）4（xa）（x2a）若在x1时，h（x）与x轴有一个交点，所以a0，并且当x1时，h（1）2a0，所以0a2，而函数g（x）4（xa）（x2a）有一个交点，所以2a1，且a1，所以a1，若函数h（x）2xa在x1时，与x轴没有交点，则函数g（x）4（xa）（x2a）有两个交点，当a0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）2a0时，即a2时，g（x）的两个交点满足x1a，x22a，满足题意的综上所述：a的取值范围是a1
9、，或a2故答案为：-1；a1，或a2【点睛】本题考查了函数的最值和函数的零点问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.三、解答题17.已知：an是公比大于1的等比数列，Sn为其前n项和，S37，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列（1）求数列an通项公式；（2）令bnlog2a3n+1，求数列bn的前n项和Tn【答案】（1）an2n1，nN（2）Tn（n2+n）【解析】【分析】（1）直接利用等比数列公式和等差中项公式计算得到答案.（2）计算得到，直接利用等差数列求和公式得到答案.【详解】（1）an是公比q大于1的等比数列，Sn为其前n项和，S37，可得a1（1+q+q2）7，a1+3，3a
10、2，a3+4构成等差数列，可得6a2a1+3+a3+4，即6a1qa1+a1q2+7，由可得a11，q2，则an2n1，nN*；（2），数列bn的前n项和Tn3（1+2+n）3n（n+1）（n2+n）【点睛】本题考查了等比数列通项公式，等差数列求和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.18.设函数f(x)sin(2x)(0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa，又当x(0，a)时，f(x)
11、0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值20.在中，内角对边分别是，若（1）当求角的度数；（2）求面积的最大值【答案】（1）（2）3.【解析】【详解】解：（1）5分（2）得，所以面积的最大值为12分21.某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q（x0）已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广
12、告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）（1）试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？【答案】（1）w,企业亏损（2）当年广告费投入7万元时，企业年利润最大【解析】【分析】（1）先计算售价为，再计算利润为，化简得到答案.（2）化简得到，利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）由题意，每件售价为150%50%，则 ，则当x100时，w0，故企业亏损（2） （当且仅当x7时等号成立）故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大【点睛】本题考查了函数和均值不等式的应用，意在考
13、查学生的计算能力和应用能力.22.已知：函数f（x）2lnxax2+3x，其中aR（1）若f（1）2，求函数f（x）的最大值；（2）若a1，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）0，证明：【答案】（1）f（x）max2ln2+2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）计算得到，求导得到函数的单调区间，再计算最大值得到答案.（2）代入数据得到，得到，设得到函数的最小值得到不等式（x1+x2）2+3（x1+x2）2，计算得到答案.【详解】（1）f（1）2，a+32，a1，f（x）2lnxx2+3x，f（x）2x+3，由f（x）0得，0x2，有f（x）0得，x2，f（x）在（0，2）为增函数，在（2，+）为减函数，f（x）maxf（2）2ln2+2；（2）证明：当a1，f（x）2lnx+x2+3x，f（x1）+f（x2）2lnx1+x12+3x1+2lnx2+x22+3x20，（x1+x2）2+3（x1+x2）2（x1x2lnx1x2），令h（t）tlnt，h（t）1，由h（x）0得，t1，由h（x）0得，0t1，h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数，h（x）minh（1）1，（x1+x2）2+3（x1+x2）2，（x1+x2）2+3（x1+x2）20，解得：【点睛】本题考查了函数的最值，利用导数证明不等式，构造函数是解题的关键.高考资源网版权所有，侵权必究！
