1、2020届山东省泰安第二中学高三上学期高三11月月考数学试题一、单选题1复数的虚部为（ ）A11B2C2D【答案】C【解析】利用复数的乘法公式化简式子，结合虚部概念得到结果.【详解】，复数的虚部为2，故选：C【点睛】本题考察复数的乘方运算，考查虚部的概念，属于基础题.2已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则的值等于（ ）ABCD【答案】D【解析】根据条件，由概率之和为1，先求出；再由，即可求出结果.【详解】因为随机变量的概率分布为 ，所以，即，所以，故.故选D【点睛】本题主要考查概率的性质，熟记概率和为1即可，属于基础题型.3某班有48名学生，一次考试后的数学成绩服从正态分布（注：）平均分为
2、110，标准差为10，理论上说在110分到120分的人数是（ ）A8B16C20D32【答案】B【解析】正态总体的取值关于x110对称，利用P（100x120）0.683，即可得到结果.【详解】解：数学成绩近似地服从正态分布N（110，102），P（|xu|）0.683，P（|x110|10）0.683，根据正态曲线的对称性知：位于110分到120分之间的概率是位于100分到120分之间的概率的一半理论上说在110分到120分的人数是 （0.683）4816故选：B【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及其曲线所表示的意义，考查曲线的对称性，考查密度函数的结构，本题是一个基础题4从5件一等品和3件
3、二等品的8件产品中任取2件，那么概率为的事件是 （ ）A恰有一件一等品B至少有一件一等品C都不是一等品D至多一件一等品【答案】A【解析】分别求出恰有一件一等品的概率、至少有一件一等品的概率、都不是一等品的概率和至多一件一等品的概率，由此能求出结果【详解】从5件一等品和3件二等品的8件产品中任取2件，在A中，恰有一件一等品的概率P（A），故A正确；在B中，至少有一件一等品的概率P（B），故B错误；在C中，都不是一等品的概率P（C），故C正确；在D中，至多一件一等品的概率P（D）1，故D错误故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5若
4、二次函数f（x）的图象与x轴有两个异号交点，它的导函数（x）的图象如右图所示，则函数f（x）图象的顶点在（ ）A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】D【解析】试题分析：设时，由图可知当时，当时所以函数在上单调递减，在上单调递增所以函数的对称轴为因为函数的图像与轴有两个异号交点，所以此二次函数的顶点在第四象限故D正确【考点】用导数研究函数的单调性6若，则等于（ ）A98B28C26D98【答案】D【解析】对赋值，进而可得结果.【详解】当时，当时，故选：D【点睛】本题考查二项展开式的系数和问题，考查赋值法，考查计算能力.7设是奇函数 的导函数，且，当时，有，则使得成立的的取值范围是（
5、 ）ABCD【答案】C【解析】先构造函数，对求导，根据题中条件判断其单调性，以及奇偶性，将不等式转化为，结合的简图，即可求出结果.【详解】令，则，因为当时，有，所以，即函数在上单调递增；又是上的奇函数，所以，所以，故函数为奇函数，又，所以，由可得，即要使成立，只需成立；作出函数的简图如下：由图像可得，当时，即.故选C【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要结合函数的单调性、奇偶性求解，属于常考题型.8某单位安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值一天，其中甲、乙二人安排在相邻两天，并且甲只能在双日值班，则不同的安排方法有（ ）A120种B240种C360种D720种【答案】D【解析
6、】先考虑甲有三种方法，然后考虑乙有两种方法，其余五人有种方法，利用乘法计算原理得到结果.【详解】根据题意甲只能在2,4,6这三天值班，共三种情况，又甲、乙二人安排在相邻两天，甲确定后，乙有两种选择，其余5人没有限制，有 种情况，故不同的安排方法有种方法，故选：D【点睛】本题考查分步计数原理，考查简单的带限制条件的排列组合问题，考查分析问题解决问题的能力.9将长为的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的骨架，以此骨架做成一个正四棱柱容器，则此容器的最大容积为（ ）ABCD【答案】C【解析】设正四棱柱的底面边长为xcm，则正四棱柱的高是（728x）182x，表示出体积，求导数，即可求出此四棱柱的高，从
7、而得到体积.【详解】解：设正四棱柱的底面边长为xcm，则正四棱柱的高是（728x）182x，所以体积VShx2（182x）2x3+18x2，求导，得：V6x2+36x6x（x6），当0x6时，V是递增的，当x6时，V递减，则x6cm，182x6cm时，V的最大值是V216cm3故选：C【点睛】本题考查四棱柱的体积，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题10已知为定义在上的单调递增函数，是其导函数，若对任意总有，则下列大小关系一定正确的是( )ABCD【答案】A【解析】令，则，由，得f(x)2017f(x)0，故g(x)0,g(x)在R递增，故，即，即，本题选择A选项.二、多
8、选题11下列结论中不正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】ACD【解析】利用导数运算及导数运算法则，即可得到结果【详解】对于A，则，故错误；对于B，则，故正确；对于C，则，故错误；对于D，则，故错误故选：ACD【点睛】本题考查导数的运算公式及运算法则，考查计算能力12设为函数的导函数，已知，则下列结论不正确的是（ ）A在单调递增B在单调递减C在上有极大值D在上有极小值【答案】ABC【解析】根据条件，构造函数g（x）xf（x），利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论【详解】解：由x2f（x）+xf（x）lnx得x0，则xf（x）+f（x），即xf（x），设g（x）xf（x）
9、，即g（x）0得x1，由g（x）0得0x1，即在单调递增，在单调递减，即当x1时，函数g（x）xf（x）取得极小值g（1）f（1），故选：ABC【点睛】本题主要考查函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键13若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为（ ）ABCD【答案】AD【解析】利用指数函数的性质与导数知识逐一判断新函数的单调性即可【详解】解：对于A，f（x）2x，则g（x）exf（x）ex2x（）x为实数集上的增函数；对于B，f（x）3x，则g（x）exf（x）ex3x（）x为实数集上
10、的减函数；对于C，f（x）x3，则g（x）exf（x）exx3，g（x）exx3+3exx2ex（x3+3x2）exx2（x+3），当x3时，g（x）0，g（x）exf（x）在定义域R上先减后增；对于D，f（x）x2+2，则g（x）exf（x）ex（x2+2），g（x）ex（x2+2）+2xexex（x2+2x+2）0在实数集R上恒成立，g（x）exf（x）在定义域R上是增函数故选：AD【点睛】本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题三、填空题14函数在点处的切线方程是_.【答案】【解析】求得函数的导数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，运用直线的斜截式方程，计算即可
11、得到所求切线的方程【详解】解：函数的导数为，可得f（x）的图象在点处的切线斜率为k，即有图象在点处的切线方程为故答案为：【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题158个互不相同的小球中，有5个红球，3个白球，现在不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出白球的条件下，第二次也摸出白球的概率是_.【答案】【解析】首先第一次摸出白球为事件A，第二次摸出白球为事件B，分别求出P（A），P（AB），利用条件概率公式求值【详解】解：设第一次摸出白球为事件A，第二次摸出白球为事件B，则P（A），P（AB）P（B|A）故答案为：【点睛】本题考查了
12、条件概率的求法；利用条件概率公式，只要分别求出第一次摸出红球为事件A的概率，以及第二次摸出红球为事件B，P（AB），利用条件概率公式解答16在棱长为2的正方体中，是棱的中点，则棱与平面所成角的正弦值等于_.【答案】【解析】易知：平面平面，在平面中，过点作于O点，则为棱与平面所成角.【详解】连接，易知：平面平面，在平面中，过点作于O点，为棱与平面所成角，在中，故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与平面之间所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题17若函数（是自然对数的底数）有两个不同的零点，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】先将函数f（x）exx+1有两个不同的零点，转化
13、为有两不等实根，令g（x），则直线y曲线g（x）有两不同交点，用导数方法判断函数g（x）单调性，作出函数g（x）的大致图象，结合图象即可得出结果【详解】解：为函数f（x）exx+1有两个不同的零点，所以有两不等实根，令g（x），则直线y与曲线g（x）有两不同交点，又，令g（x）0得x2，所以，当x2时，g（x）0，g（x）单调递减；当x2时，g（x）0，g（x）单调递增；所以g（x）max，又g（1）0，当x1时，所以，作出g（x）的大致图象如下：由图象可得：0，故答案为：（0，）【点睛】本题主要考查导数的应用，先将函数零点问题转化为直线与曲线交点问题，用数形结合的思想处理，属于常考题型四、解
14、答题18已知虚数满足（为虚数单位）.（1）求的值;（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设（且），利用模长的定义可构造出方程，整理出，从而求得；（2）整理得到，根据实数的定义求得结果.【详解】（1）为虚数，可设（且）则，即整理可得：（2）由（1）知 又 【点睛】本题考查复数模长的求解、根据复数的类型求解参数值的问题，属于基础题.19已知且二项式的展开式中，第8项的系数和第10项的系数都小于常数项，求的取值范围.【答案】【解析】先求出二项式的通项公式，根据条件建立不等式组，即可得到的取值范围.【详解】解：令得，展开式的第9项的常数项.，第8项的系数为，第10项的系数为，由，
15、解得【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，考查组合数的运算，属于基础题.20如图，在棱长都为2的正四棱锥中，是底面中心，是的中点，在棱上且，是棱上的点.（1）求平面与底面所成角的余弦值；（2）试证不可能与垂直.【答案】(1) (2)见证明【解析】（1）以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系，求出平面与底面的法向量，代入公式可得结果；（2）利用即可作出判断.【详解】解：（1）解：以、所在直线为、轴建立空间直角坐标系（如图，则，.从而，设是平面的法向量，即令，则又是底面的法向量，故平面与底面所成二面角的余弦值为（2）证明：由（1）知，设，则.，即，故与不可能垂直.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一
16、般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21已知函数（）在处取得极值，其中，为常数（I）试确定，的值；（II）讨论函数的单调区间；（III）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围【答案】（I），；（II）的单调递减区间为，单调递增区间为；（III）.【解析】试题分析：函数的导函数为，（I）函数在处的极值，即，解方程组即可求得；（II）将代入中，并令，便可求得单调区间；（III）由前面所求的函
17、数的单调区间，从而求得函数的最小值这样便能将不等式恒成立转化为，解不等式即可求得的取值范围.试题解析：（I）由题意知，因此，从而又对求导得由题意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得当时，此时为减函数；当时，此时为增函数因此的单调递减区间为，单调递增区间为（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，从而，解得或所以的取值范围为【考点】导函数的运用与函数的最值.【方法点睛】函数的极值点满足条件：导函数在极值点处的函数值必须为零，因此可先令导函数为零，求得可能极值点，再由导函数的函数值的正负确定函数的单调区间，从而确定极值点；而对于不等式的恒成立问题，
18、可将其转化为函数的最值问题，即首先将不等式转化为函数，再由函数的单调性求得最值，有最值的取值范围确定不等式恒成立.22某市交通管理部门为了解市民对机动车“单双号限行”的态度，随机采访了100名市民，将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计，得到了如下的列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车15有私家车45合计100已知在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”；（3）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该市大量市民中，采用随机抽样
19、方法每次抽取1名市民，抽取3次，记被抽取的3名市民中的“赞同限行”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.附：参考公式：，其中.临界值表：0.150.100.050.0250.100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)见解析 ；(2) 见解析；(3)见解析【解析】(1)根据题中数据，在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是，求出“赞同限行”的市民人数，以及没有私家车的人数，进而可完善列联表即可；(2)根据(1)数据，由计算出的观测值，结合临界值表，即可得出结果；(3)先由题意确定，从而
20、可求出其对应概率，得到分布列，结合公式可求出期望方差.【详解】解：（1）因为在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是，所以“赞同限行”的市民共75人，其中没有私家车的30人，从而，所给列联表补充如下：赞同限行不赞同限行合计没有私家车301545有私家车451055合计7525100（2）依据表中数据，易得的观测值为.因为，因此，在犯错误概率不超过0.10的前提下，能够判断市民“对限行的态度与是否拥有私家车有关” .（3）由题意，得，从而：；.所以的分布列为X0123P 故：.【点睛】本题主要考查独立性检验以及二项分布，熟记独立性检验的思想以及二项分布的期望与方差公式即可，属
21、于常考题型.23已知函数，其中是自然对数的底数.（）求曲线在点处的切线方程；（）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（） （）见解析【解析】【详解】试题分析：（）求导数得斜率，由点斜式写出直线方程.（）写出函数，求导数得到，由于的正负与的取值有关，故可令，通过应用导数研究在上的单调性，明确其正负.然后分和两种情况讨论 极值情况即可.试题解析：（）由题意又，所以，因此 曲线在点处的切线方程为，即 .（）由题意得 ，因为，令则所以在上单调递增.因为所以 当时，当时，(1)当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以 当时取得极小值，极小值是 ；(2)当时，由 得 ，当时，当时，
22、单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.所以 当时取得极大值.极大值为，当时取到极小值，极小值是 ；当时，所以 当时，函数在上单调递增，无极值；当时，所以 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；所以 当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值.极小值是.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 极大值是；极小值是.【名师点睛】1.函数f (x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是曲线yf (x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yy0f (x0)(xx0)注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.第 21 页 共 21 页
