1、2003年辽宁高考数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2003辽宁）与曲线关于原点对称的曲线为A.B.C.D.2. （2003辽宁）已知，则A.B.C.D.3. （2003辽宁）A.B.C.D.4. （2003辽宁）已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点、），则A.，B.，C.，D.，5. （2003辽宁）设函数，若，则的取值范围是A.，B.，C.，D.，6. （2003辽宁）等差数列中，已知，则为A.48B.49C.50D.517. （2003辽宁）函数，的反函数为A.，B.，C.，D.，8. （2003辽宁）棱长为的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线
2、段为棱的八面体的体积为A.B.C.D.9. （2003辽宁）设，曲线在点，处的切线的倾斜角的取值范围为，则到曲线对称轴距离的取值范围为A.，B.，C.，D.，10. （2003辽宁）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A.B.C.D.11. （2003辽宁）已知长方形的四个顶点，和，.一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点，和（入射角等于反射角）.设的坐标为，若，则的取值范围是A.，B.，C.，D.，12. （2003辽宁）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为A.B.C.D.二、填空题（共
3、4小题，每小题4分，满分16分）13. （2003辽宁）展开式中的系数是_.14. （2003辽宁）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_、_、_辆.15. （2003辽宁）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种（以数字作答）16. （2003辽宁）对于四面体，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中真命题的序号是_（写出所有真命题的序号）三、解答题（
4、共6小题，满分12+12+12+12+14+12=74分）17. （2003辽宁）已知正四棱柱，点为中点，点为中点.证明为与的公垂线；求点到面的距离.18. （2003辽宁）已知函数，是上的偶函数，其图象关于点，对称，且在区间，上是单调函数，求和的值.19. （2003辽宁）设，求函数，的单调区间.20. （2003辽宁）、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员队队员胜的概率队队员负的概率对对对现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队、队最后所得总分分别为、.求、的概率分布；求，.21. （2003辽
5、宁）设为常数，且.证明对任意，；假设对任意有，求的取值范围.22. （2003辽宁）已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点，以为方向向量的直线相交于点，其中.试问：是否存在两个定点，使得为定值.若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由.2003年辽宁省高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）（2003辽宁）与曲线关于原点对称的曲线为（）ABCD【分析】题目中：“曲线关于原点对称的曲线”，只要将原函数式中的x换成x，y换成y，即可得到新曲线的函数解析式【解答】解：曲线关于原点对称的曲线，只要将原函数式中的x换成x，y换成y，即可得到新曲
6、线的函数解析式，即y=，整理，得故选A【点评】本题考查函数图象的变换，由于使用了数形结合的方法，使问题便迎刃而解，且解法简捷2（5分）（2003全国）已知x（，0），cosx=，则tan2x等于（）ABCD【分析】先根据cosx，求得sinx，进而得到tanx的值，最后根据二倍角公式求得tan2x【解答】解：cosx=，x（，0），sinx=tanx=tan2x=故选D【点评】本题主要考查了三角函数中的二倍角公式属基础题3（5分）（2003天津）=（）ABCD【分析】化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，即可求得结果【解答】解：=故选B【点评】复数代数形式的混合运算，是基础题
7、4（5分）（2003辽宁）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则=（）ABCD【分析】先过P分别作AD、AB的平行线，可得，运用向量的加法运算可得=（+），（0，1）【解答】解：设P是对角线AC上的一点（不含A、C），过P分别作AD、AB的平行线，则可得设，则（0，1）且于是=（+），（0，1）故选A【点评】本题主要考查向量的线性运算和向量加法的几何意义属基础题5（5分）（2003全国）设函数若f（x0）1，则x0的取值范围是（）A（1，1）B（1，+）C（，2）（0，+）D（，1）（1，+）【分析】将变量x0按分段函数的范围分成两种情形，在此条件下分别进行求解，
8、最后将满足的条件进行合并【解答】解：当x00时，则x01，当x00时，则x01，故x0的取值范围是（，1）（1，+），故选D【点评】本题考查了分段函数已知函数值求自变量的范围问题，以及指数不等式与对数不等式的解法，属于常规题6（5分）（2003天津）等差数列an中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n为（）A48B49C50D51【分析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出an的表达式，然后令an=33，解方程即可【解答】解：设an的公差为d，a2+a5=4，+d+4d=4，即+5d=4，解得d=an=+（n1）=，令an=33，即=33，解得n=50故选C【点评】本题主要
9、考查了等差数列的通项公式an=a1+（n1）d，注意方程思想的应用7（5分）（2003天津）函数，x（1，+）的反函数为（）A，x（0，+）B，x（0，+）C，x（，0）D，x（，0）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域等函数知识和方法；将，看做方程解出x，然后根据原函数的定义域x（1，+）求出原函数的值域，即为反函数的定义域【解答】解：由已知，解x得，令，当x（1，+）时，m（1，+），则，函数，x（1，+）的反函数为，x（0，+）故选B【点评】这是一个基础性题，解题思路清晰，求解方向明确，所以容易解答；解答时注意两点，一是借助指数式和对数式的互化
10、求x，二是函数，x（1，+）值域的确定，这里利用”常数分离法“和对数函数的性质推得8（5分）（2003天津）棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）ABCD【分析】画出图形，根据题意求出八面体的中间平面面积，然后求出其体积【解答】解：画出图就可以了，这个八面体是有两个四棱锥底面合在一起组成的一个四棱锥的底面面积是正方体的一个面的一半，就是，高为，所以八面体的体积为：故选C【点评】本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，体积的计算公式，考查转化思想，是基础题9（5分）（2003天津）设a0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处切线
11、的倾斜角的取值范围为0，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A0，B0，C0，|D0，|【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围【解答】解：过P（x0，f（x0）的切线的倾斜角的取值范围是0，f（x0）=2ax0+b0，1，P到曲线y=f（x）对称轴x=的距离d=x0（）=x0+x0，d=x0+0，故选：B【点评】本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心10（5分）（2003全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A=1B=1C=1D=1【分析】先设出双
12、曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程【解答】解：设双曲线方程为=1将y=x1代入=1，整理得（b2a2）x2+2a2xa2a2b2=0由韦达定理得x1+x2=，则=又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是故选D【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等11（5分）（2003全国）已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P
13、0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CDDA和AB上的点P2P3和P4（入射角等于反射角），设P4坐标为（x4，0），若1x42，则tan的取值范围是（）A（，1）B（，）C（，）D（，）【分析】先画草图，帮助理解，取BC上的点P1为中点，则P4和中点P0重合，tan=，用排除法解答【解答】解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tan=，由题设条件知，1x42，则tan，排除ABD，故选C【点评】由于是选择题，因而可以特殊值方法解答：排除验证法，也可以用动态观点判定答案12（5分）（2003全国）棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的
14、表面积为（）A3B4C3D6【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上，可求出内接该四面体的正方体棱长为1，又因为正方体的对角线即为球的直径，即球的半径R=，代入球的表面积公式，S球=4R2，即可得到答案【解答】解：借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个球面上，则正方体的体对角线就是球的直径则球的半径R=，球的表面积为3，故答案选A【点评】棱长为a的正方体，内接正四面体的棱长为a，外接球直径等于长方体的对角线长a二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）（2003全国）在的展
15、开式中，x3的系数是（用数字作答）【分析】首先根据题意，写出的二项展开式，可得92r=3，解可得r=3，将其代入二项展开式，计算可得答案【解答】解：根据题意，对于，有Tr+1=C99rx9r（）r=（）rC99rx92r，令92r=3，可得r=3，当r=3时，有T4=x3，故答案【点评】本题考查二项式定理的应用，注意系数与二项式系数的区别14（4分）（2003天津）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出在
16、三种型号的轿车抽取的数目【解答】解：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为=，而三种型号的轿车有显著区别，根据分层抽样分为三层按比例，故分别从这三种型号的轿车依次应抽取6辆、30辆、10辆故答案为：6，30，10【点评】本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取15（4分）（2003天津）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有120种（以数字作答）【分析】由题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必
17、有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求与同色，则也同色或也同色，与同色，则或同色，与且与同色，根据分类计数原理得到结果【解答】解：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求（1）与同色，则也同色或也同色，所以共有N1=43221=48种；（2）与同色，则或同色，所以共有N2=43221=48种；（3）与且与同色，则共有N3=4321=24种共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种故答案为：120【点评】这是一道理科的高考题，本题还可以这样解：记颜色为A，B，C，D四色，先安排1，2，3有A43种不同的栽法，不妨设1，2，3已分别栽种A，
18、B，C，则4，5，6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A435=12016（4分）（2003辽宁）对于四面体ABCD，给出下列四个命题若AB=AC，BD=CD，则BCAD；若AB=CD，AC=BD，则BCAD；若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，BDAC，则BCAD其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）【分析】证明线线垂直一般采用线面垂直来证线线垂直的证明可转借化证明BC面AHD的证明可转化为证垂心，然后再证明BC面AED来证明BCAD条件下不能求出两线的夹角，也无法保证一个线垂直于另一个线所在的平面，故不对【解答】证明：如图对于取BC的中点
19、H，连接AH与DH，可证得BC面AHD，进而可得BCAD，故对；对于条件不足备，证明不出结论；对于条件不足备，证明不出结论；对于作AE面BCD于E，连接BE可得BECD，同理可得CEBD，证得E 是垂心，则可得出DEBC，进而可证得BC面AED，即可证出BCAD综上知正确，故应填【点评】本题在判断时有一定的难度，需要构造相关的图形，在立体几何中，构造法是一个常 用的方法，本题用其来将线线证明转化线面证明，三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）（2003天津）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点（1）证明EF为BD1与CC1的公垂
20、线；（2）求点D1到面BDE的距离【分析】（1）欲证明EF为BD1与CC1的公垂线，只须证明EF分别与为BD1与CC1垂直即可，可由四边形EFMC是矩形EFCC1由EF面DBD1EFBD1（2）欲求点D1到面BDE的距离，将距离看成是三棱锥的高，利用等体积法：VEDBD1=VD1DBE求解即得【解答】解：（1）取BD中点M连接MC，FMF为BD1中点，FMD1D且FM=D1D又ECCC1且ECMC，四边形EFMC是矩形EFCC1又FM面DBD1EF面DBD1BD1面DBD1EFBD1故EF为BD1与CC1的公垂线（）解：连接ED1，有VEDBD1=VD1DBE由（）知EF面DBD1，设点D1到
21、面BDE的距离为d则AA1=2，AB=1，故点D1到平面DBE的距离为【点评】本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力18（12分）（2003天津）已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值【分析】由f（x）是偶函数可得的值，图象关于点对称可得函数关系，可得的可能取值，结合单调函数可确定的值【解答】解：由f（x）是偶函数，得f（x）=f（x），即sin（x+）=sin（x+），所以cossinx=cossinx，对任意x都成立，且w0，所以得cos=0依题设0，所以解得=，由f（x）的图象关于点M对称，
22、得，取x=0，得f（）=sin（）=cos，f（）=sin（）=cos，cos=0，又w0，得=+k，k=0，1，2，3，=（2k+1），k=0，1，2，当k=0时，=，f（x）=sin（）在0，上是减函数，满足题意；当k=1时，=2，f（x）=sin（2x+）=cos2x，在0，上是减函数，满足题意；当k=2时，=，f（x）=sin（x+）在0，上不是单调函数；所以，综合得=或2【点评】本题主要考查三角函数的图象、单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力19（12分）（2003天津）设a0，求函数f（x）=ln（x+a）（x（0，+）的单调区间【分析】由题意函数f（x）=ln（x
23、+a），首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系对a的大小进行分类讨论【解答】解：由题意得，令f（x）=0，即x2+（2a4）x+a2=0，其中=4（a2）24a2=88a，（i）当a1时，0成立，对所有x0，有x2+（2a4）+a20即f（x）0，此时f（x）在（0，+）内单调递增；（ii）当a=1时，=0成立，对x1，有x2+（2a4）x+a20，即f（x）0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，且在（1，+）内也单调递增，又知函数f（x）在x=1处连续，因此，函数f（x）在（0，+）内单调递增；（iii）当0a1时，0成立，令f（x）0，即x2+（2a4）x+a20，解得x2
24、a2或x2a+2，因此，函数f（x）在区间，内也单调递增令f（x）0，即x2+（2a4）x+a20，解得，因此，函数f（x）在区间内单调递减【点评】本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力20（12分）（2003天津）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1对B1A2对B2A3对B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为、（1）求、的概率分布；（2）求E，E【分析】
25、（1）由题意知本题两个变量之间具有特殊关系，根据相互独立事件同时发生的概率做出变量的分布列，根据两者之间和为3，得到另一个变量的分布列（2）由题意知本题两个变量之间具有特殊关系，两个变量的期望之间也有这种关系，两个变量的期望的和是3，解出一个，另一个用做差来解【解答】解：（1）、的可能取值分别为3，2，1，0，根据题意知+=3，P（=0）=P（=3）=，P（=1）=P（=2）=，P（=2）=P（=1）=，P（=3）=P（=0）=（2），+=3，【点评】本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题
26、，题目做起来不难，运算量也不大21（14分）（2003天津）设an为常数，且an=3n12an1（nN*）（1）证明对任意n1，有；（2）假设对任意n1有anan1，求a0的取值范围【分析】（1）选择利用数学归纳法为妥，需要注意的是有归纳假设ak到ak+1的变形，利用归纳假设，注意目标的形式就能得到结果；另外可以利用递推数列来求得通项公式，当然需要对递推数列的an+1=pan+f（n）这种形式的处理要合适；这种形式的一般处理方法是：两边同时除以pn+1或者是构造一个等比数列，构造法有一定的技巧，如本题可设ana3n=2（an1a3n1），（2）由（1）的结论可作差anan10并代入运算，由于含
27、有（1）n的形式要注意对n=2k1和n=2k进行讨论，只需取k=1，2时得到a0的取值范围即可，另外一个思路是只需取n=1，2时得到a0的范围，然后分n=2k1和n=2k进行证明anan10具体解法参见参考答案【解答】解：（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=12a0，等式成立；（ii）假设当n=k（k1）等式成立，则，那么=也就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（i）和（ii），可知等式对任何nN，成立证法二：如果设ana3n=2（an1a3n1），用an=3n12an1代入，可解出所以是公比为2，首项为的等比数列即（2）解法一：由an通项公式anan1（nN）等价于（i）当n=2k
28、1，k=1，2，时，式即为即为式对k=1，2，都成立，有（ii）当n=2k，k=1，2时，式即为即为式对k=1，2都成立，有综上，式对任意nN*，成立，有故a0的取值范围为解法二：如果anan1（nN*）成立，特别取n=1，2有a1a0=13a00a2a1=6a00因此下面证明当时，对任意nN*，anan10由an的通项公式5（anan1）=23n1+（1）n132n1+（1）n532n1a0（i）当n=2k1，k=1，2时，5（anan1）=23n1+32n1532n1a022n1+32n1532n1=0（ii）当n=2k，k=1，2时，5（anan1）=23n132n1+532n1a023
29、n132n10故a0的取值范围为【点评】本题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力对递推数列的an+1=pan+f（n）这种形式的考查是一个难点，同时除以pn+1得到，然后用累加法得到的等式可得结果，或者是构造一个等比数列an+1+kf（n）=p（an+kf（n）（不具有普适性）22（12分）（2003天津）已知常数a0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以2为方向向量的直线相交于点P，其中R试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明
30、理由【分析】根据和，求得+和2进而可得直线OP和AP的方程，消去参数，得点P（x，y）的坐标满足方程，进而整理可得关于x和y的方程，进而看当时，方程为圆不符合题意；当时和当时，P的轨迹为椭圆符合两定点【解答】解：=（0，a），=（1，0），+=（，a），2=（1，2a）因此，直线OP和AP的方程分别为y=ax和ya=2ax消去参数，得点P（x，y）的坐标满足方程y（ya）=2a2x2整理得因为a0，所以得：（i）当时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当时，方程表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；（iii）当时，方程也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点【点评】本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力
