1、2014年上海高考文科数学真题及答案一、填空题（本大题共14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1（4分）函数y=12cos2（2x）的最小正周期是2（4分）若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则（z+）=3（4分）设常数aR,函数f（x）=|x1|+|x2a|,若f（2）=1,则f（1）=4（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程5（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二
2、共需抽取的学生数为6（4分）若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为7（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）8（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于9（4分）设f（x）=,若f（0）是f（x）的最小值,则a的取值范围为10（4分）设无穷等比数列an的公比为q,若a1=（a3+a4+an）,则q=11（4分）若f（x）=,则满足f（x）0的x的取值范围是12（4分）方程sinx+cosx=1在闭区间0,2上的所有解的和等于13（4分）为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天
3、中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）14（4分）已知曲线C:x=,直线l:x=6,若对于点A（m,0）,存在C上的点P和l上的Q使得+=,则m的取值范围为二、选择题（共4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分15（5分）设a,bR,则“a+b4”是“a2且b2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件16（5分）已知互异的复数a,b满足ab0,集合a,b=a2,b2,则a+b=（）A2B1C0D117（5分）如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,AB是大正方形的一条边,Pi（
4、i=1,2,7）是小正方形的其余顶点,则（i=1,2,7）的不同值的个数为（）A7B5C3D118（5分）已知P1（a1,b1）与P2（a2,b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是（）A无论k,P1,P2如何,总是无解B无论k,P1,P2如何,总有唯一解C存在k,P1,P2,使之恰有两解D存在k,P1,P2,使之有无穷多解三、解答题（共5小题,满分74分）19（12分）底面边长为2的正三棱锥PABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V20（14分）设常数a0,函数f（x）=（1）若a=4,求函数y=f（
5、x）的反函数y=f1（x）；（2）根据a的不同取值,讨论函数y=f（x）的奇偶性,并说明理由21（14分）如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为和（1）设计中CD是铅垂方向,若要求2,问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得=38.12,=18.45,求CD的长（结果精确到0.01米）22（16分）在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,记=（ax1+by1+c）（ax
6、2+by2+c）,若0,则称点P1,P2被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线（1）求证:点A（1,2）,B（1,0）被直线x+y1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x24y2=1的分隔线,求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0,2）的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程,并证明y轴为曲线E的分隔线23（18分）已知数列an满足anan+13an,nN*,a1=1（1）若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围；（2）若an是等比数列,且am=,求正整数m的最小值,以及m取最小值时相应an的
7、公比；（3）若a1,a2,a100成等差数列,求数列a1,a2,a100的公差的取值范围2014年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1（4分）（2014上海）函数y=12cos2（2x）的最小正周期是【分析】由二倍角的余弦公式化简,可得其周期【解答】解:y=12cos2（2x）=2cos2（2x）1=cos4x,函数的最小正周期为T=故答案为:【点评】本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题2（4分）（2014上海）若复数z=1+2i,其中i是虚数单位
8、,则（z+）=6【分析】把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可【解答】解:复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则（z+）=（1+2i）（12i）+1=14i2+1=2+4=6故答案为:6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查3（4分）（2014上海）设常数aR,函数f（x）=|x1|+|x2a|,若f（2）=1,则f（1）=3【分析】利用f（x）=|x1|+|x2a|,f（2）=1,求出a,然后求解f（1）即可【解答】解:常数aR,函数f（x）=|x1|+|x2a|,若f（2）=1,1=|21|+|22a|,a=4,函数f（x）=|x1|+|x24|,f（1）
9、=|11|+|124|=3,故答案为:3【点评】本题考查函数值的求法,基本知识的考查4（4分）（2014上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程x=2【分析】由题设中的条件y2=2px（p0）的焦点与椭圆的右焦点重合,故可以先求出椭圆的右焦点坐标,根据两曲线的关系求出p,再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解:由题意椭圆,故它的右焦点坐标是（2,0）,又y2=2px（p0）的焦点与椭圆右焦点重合,故=2得p=4,抛物线的准线方程为x=2故答案为:x=2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题,关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几
10、何特征解答问题5（4分）（2014上海）某校高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为70【分析】根据分层抽样的定义,建立比例关系,即可得到结论【解答】解:高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名,若高三抽取20名学生,设共需抽取的学生数为x,则,解得x=90,则高一、高二共需抽取的学生数为9020=70,故答案为:70【点评】本题主要考查分层抽样的应用,比较基础6（4分）（2014上海）若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为2【分析
11、】由已知可得y=,代入要求的式子,由基本不等式可得【解答】解:xy=1,y=x2+2y2=x2+2=2,当且仅当x2=,即x=时取等号,故答案为:2【点评】本题考查基本不等式,属基础题7（4分）（2014上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为arcsin（结果用反三角函数值表示）【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍,可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,在轴截面中,求出母线与轴所成角的正弦值,进而可得母线与轴所成角【解答】解:设圆锥母线与轴所成角为,圆锥的侧面积是底面积的3倍,=3,即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,故圆锥的轴截面如下图所示:则sin=,=arcsi
12、n,故答案为:arcsin【点评】本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,是解答的关键8（4分）（2014上海）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于24【分析】由已知中的三视图,分别判断切割前后几何体的形状,并分别计算出切割前后几何体的体积,相减可得答案【解答】解:由已知中的三视图,可知:大长方体的长,宽,高分别为:3,4,5,故大长方体的体积为:60,切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面,高为3的柱体,其底面面积为452222=12,故切去两个小长方体后的几何体的体积为:123=36,故切割掉的
13、两个小长方体的体积之和为:6036=24,故答案为:24【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键9（4分）（2014上海）设f（x）=,若f（0）是f（x）的最小值,则a的取值范围为（,2【分析】分别由f（0）=a,x2,ax+综合得出a的取值范围【解答】解:当x=0时,f（0）=a,由题意得:ax+,又x+2=2,a2,故答案为:（,2【点评】本题考察了分段函数的应用,基本不等式的性质,是一道基础题10（4分）（2014上海）设无穷等比数列an的公比为q,若a1=（a3+a4+an）,则q=【分析】由已知条件推导出a1=,由此能求出q的值
14、【解答】解:无穷等比数列an的公比为q,a1=（a3+a4+an）=（a1a1q）=,q2+q1=0,解得q=或q=（舍）故答案为:【点评】本题考查等比数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用11（4分）（2014上海）若f（x）=,则满足f（x）0的x的取值范围是（0,1）【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可【解答】解:f（x）=,若满足f（x）0,即,y=是增函数,的解集为:（0,1）故答案为:（0,1）【点评】本题考查指数不等式的解法,指数函数的单调性的应用,考查计算能力12（4分）（2014上海）方程sinx+cosx=1在闭区间0,2上的所有解的和等
15、于【分析】由三角函数公式可得sin（x+）=,可知x+=2k+,或x+=2k+,kZ,结合x0,2,可得x值,求和即可【解答】解:sinx+cosx=1,sinx+cosx=,即sin（x+）=,可知x+=2k+,或x+=2k+,kZ,又x0,2,x=,或x=,+=故答案为:【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式,属基础题13（4分）（2014上海）为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,选择的3天恰好为连续3天的概率,须先求在10天中随机选
16、择3天的情况,再求选择的3天恰好为连续3天的情况,即可得到答案【解答】解:在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况,其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种,分别是（1,2,3）,（2,3,4）,（3,4,5）,（4,5,6）,（5,6,7）,（6,7,8）,（7,8,9）,（8,9,10）,选择的3天恰好为连续3天的概率是,故答案为:【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式,属基础题14（4分）（2014上海）已知曲线C:x=,直线l:x=6,若对于点A（m,0）,存在C上的点P和l上的Q使得+=,则m的取值范围为2,3【分析】通过曲线方程判断曲线特征,通过+=,说明A是PQ的中点,结合x
17、的范围,求出m的范围即可【解答】解:曲线C:x=,是以原点为圆心,2 为半径的圆,并且xP2,0,对于点A（m,0）,存在C上的点P和l上的Q使得+=,说明A是PQ的中点,Q的横坐标x=6,m=2,3故答案为:2,3【点评】本题考查直线与圆的位置关系,函数思想的应用,考查计算能力以及转化思想二、选择题（共4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分15（5分）（2014上海）设a,bR,则“a+b4”是“a2且b2”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判定【解答】解:当a=5,
18、b=0时,满足a+b4,但a2且b2不成立,即充分性不成立,若a2且b2,则必有a+b4,即必要性成立,故“a+b4”是“a2且b2”的必要不充分条件,故选:B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键,比较基础16（5分）（2014上海）已知互异的复数a,b满足ab0,集合a,b=a2,b2,则a+b=（）A2B1C0D1【分析】根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论【解答】解:根据集合相等的条件可知,若a,b=a2,b2,则或,由得,ab0,a0且b0,即a=1,b=1,此时集合1,1不满足条件由得,若b=a2,a=b2,则两式相减得a2b2=b
19、a,即（ab）（a+b）=（ab）,互异的复数a,b,ab0,即a+b=1,故选:D【点评】本题主要考查集合相等的应用,根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键,注意要进行分类讨论17（5分）（2014上海）如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,AB是大正方形的一条边,Pi（i=1,2,7）是小正方形的其余顶点,则（i=1,2,7）的不同值的个数为（）A7B5C3D1【分析】建立适当的平面直角坐标系,利用坐标分别求出数量积,由结果可得答案【解答】解:如图建立平面直角坐标系,则A（0,0）,B（0,2）,P1（0,1）,P2（1,0）,P3（1,1）,P4（1,2）,P5（2,0）,P6
20、（2,1）,P7（2,2）,=（0,1）,=（1,0）,=（1,1）,=（1,2）,=（2,0）,=（2,1）,=（2,2）,=2,=0,=2,=4,=0,=2,=4,（i=1,2,7）的不同值的个数为3,故选C【点评】本题考查平面向量的数量积运算,属基础题18（5分）（2014上海）已知P1（a1,b1）与P2（a2,b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是（）A无论k,P1,P2如何,总是无解B无论k,P1,P2如何,总有唯一解C存在k,P1,P2,使之恰有两解D存在k,P1,P2,使之有无穷多解【分析】判断直线的斜率存在,通过点在直线上,推出a
21、1,b1,P2,a2,b2的关系,然后求解方程组的解即可【解答】解:P1（a1,b1）与P2（a2,b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点,直线y=kx+1的斜率存在,k=,即a1a2,并且b1=ka1+1,b2=ka2+1,a2b1a1b2=ka1a2ka1a2+a2a1=a2a1,b2b1得:（a1b2a2b1）x=b2b1,即（a1a2）x=b2b1方程组有唯一解故选:B【点评】本题考查一次函数根与系数的关系,直线的斜率的求法,方程组的解和指数的应用三、解答题（共5小题,满分74分）19（12分）（2014上海）底面边长为2的正三棱锥PABC,其表面展开图是三角形P1P2P3
22、,如图,求P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V【分析】利用侧面展开图三点共线,判断P1P2P3是等边三角形,然后求出边长,利用正四面体的体积求出几何体的体积【解答】解:根据题意可得:P1,B,P2共线,ABP1=BAP1=CBP2,ABC=60,ABP1=BAP1=CBP2=60,P1=60,同理P2=P3=60,P1P2P3是等边三角形,PABC是正四面体,P1P2P3的边长为4,VPABC=【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力,几何体的侧面展开图和体积的求法20（14分）（2014上海）设常数a0,函数f（x）=（1）若a=4,求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）根据
23、a的不同取值,讨论函数y=f（x）的奇偶性,并说明理由【分析】（1）根据反函数的定义,即可求出,（2）利用分类讨论的思想,若为偶函数求出a的值,若为奇函数,求出a的值,问题得以解决【解答】解:（1）a=4,调换x,y的位置可得,x（,1）（1,+）（2）若f（x）为偶函数,则f（x）=f（x）对任意x均成立,=,整理可得a（2x2x）=02x2x不恒为0,a=0,此时f（x）=1,xR,满足条件；若f（x）为奇函数,则f（x）=f（x）对任意x均成立,=,整理可得a21=0,a=1,a0,a=1,此时f（x）=,满足条件；当a0且a1时,f（x）为非奇非偶函数综上所述,a=0时,f（x）是偶函
24、数,a=1时,f（x）是奇函数当a0且a1时,f（x）为非奇非偶函数【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性,利用了分类讨论的思想,属于中档题21（14分）（2014上海）如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为和（1）设计中CD是铅垂方向,若要求2,问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得=38.12,=18.45,求CD的长（结果精确到0.01米）【分析】（1）设CD的长为x,利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到
25、结论（2）利用正弦定理,建立方程关系,即可得到结论【解答】解:（1）设CD的长为x米,则tan=,tan=,0,tantan20,tan,即=,解得028.28,即CD的长至多为28.28米（2）设DB=a,DA=b,CD=m,则ADB=180=123.43,由正弦定理得,即a=,m=26.93,答:CD的长为26.93米【点评】本题主要考查解三角形的应用问题,利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键22（16分）（2014上海）在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,记=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c）,若0,则称
26、点P1,P2被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线（1）求证:点A（1,2）,B（1,0）被直线x+y1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x24y2=1的分隔线,求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0,2）的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程,并证明y轴为曲线E的分隔线【分析】（1）把A、B两点的坐标代入=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c）,再根据0,得出结论（2）联立 可得 （14k2）x2=1,根据此方程无解,可得14k20,从而求得k的范围（3）设点M（x,y）,与条件求得曲线
27、E的方程为x2+（y2）2x2=1 由于y轴为x=0,显然与方程联立无解把P1、P2的坐标代入x=0,由=1（1）=10,可得x=0是一条分隔线【解答】解:（1）把点（1,2）、（1,0）分别代入x+y1可得=（1+21）（11）=40,点（1,2）、（1,0）被直线 x+y1=0分隔（2）联立 可得 （14k2）x2=1,根据题意,此方程无解,故有14k20,|k|当|k|时,对于直线y=kx,曲线x24y2=1上的点（1,0）和（1,0）满足=k20,即点（1,0）和（1,0）被y=kx分隔故实数k的取值范围是（,+）（3）设点M（x,y）,则 |x|=1,故曲线E的方程为x2+（y2）2
28、x2=1 对任意的y0,（0,y0）不是上述方程的解,即y轴与曲线E没有公共点 又曲线E上的点（1,2）、（1,2）对于y轴（x=0）满足=1（1）=10,即点（1,2）和（1,2）被y轴分隔,所以y轴为曲线E的分隔线【点评】本题主要考查新定义,直线的一般式方程,求点的轨迹方程,属于中档题23（18分）（2014上海）已知数列an满足anan+13an,nN*,a1=1（1）若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围；（2）若an是等比数列,且am=,求正整数m的最小值,以及m取最小值时相应an的公比；（3）若a1,a2,a100成等差数列,求数列a1,a2,a100的公差的取值范围【分析
29、】（1）由题意可得:,代入解出即可；（2）设公比为q,由已知可得,由于,可得而,可得,再利用对数的运算法则和性质即可得出（3）设公差为d,由已知可得31+（n2）d,其中2n100,即,解出即可【解答】解；（1）由题意可得:,；又,3x27综上可得:3x6（2）设公比为q,由已知可得,又,因此,m=1logq1000=1=7.29m的最小值是8,因此q7=,=（3）设公差为d,由已知可得1+nd31+（n1）d即,令n=1,得当2n99时,不等式即,综上可得:公差d的取值范围是【点评】本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题
