1、1990年湖南高考文科数学真题及答案一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(2)cos275+cos215+cos75cos15的值等于(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 (6)已知上图是函数y=2sin(x+)()的图象,那么(7)设命题甲为:0x5;命题乙为:x-20,a1,解不等式loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)loga2.(25)设a0,在复数集C中解方程z2+2z=a.参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A (2)C (3)D (4)B (5)D(6)C (7)A
2、(8)B (9)A (10)C(11)B (12)D (13)A (14)C (15)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力.依题意有由式得 d=12-2a. 整理得 a2-13a+36=0.解得 a1=4, a2=9.代入式得 d1=4, d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x.依题意,有由式得 x=3y-12. 将式代入式得 y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得 y2-13y+36=0.解得 y1=4,y2=9.代入式
3、得 x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得两式相除得解法二:如图,不妨设0loga2(2x-1). 当0a1时,式等价于即当0a1时,原不等式的解集是x2x1时,式等价于(25)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,式化为x2+2x=a. ()令x0,方程变为x2+2x=
4、a. 由此可知:当a=0时,方程无正根;()令x0时,方程无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;情形2. 若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y0).此时,式化为-y2+2y=a. ()令y0,方程变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. 由此可知:当a1时,方程无实根.从而, 当a=0时,方程有正根 y=2;()令y1时,方程无实根.从而, 当a=0时,方程有负根 y=-2;所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=2i;而当a1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由式得y=
5、0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1. 若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,式化为x2+2x=a.情形2. 若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y0).此时,式化为-y2+2y=a.当a=0时,因y0,解方程得y=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=2i.即当01时,方程无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2z+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y0).情形1. 若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2. 若z=yi(y0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cos+isin),其中r0,00时,方程无解.所以, 当a=0时,原方程有解z=0;当a0时,原方程无零解.()当k=0,2时,对应的复数是z=r.因cos2=1,故式化为r2+2r=a. 由此可知:当a=0时,方程无正根;()当k=1,3时,对应的复数是z=ri.因cos2=-1,故式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a, 由此可知:当a1时,方程无实根,从而无正根;从而, 当a=0时,方程有正根 r=2;所以, 当a=o时,原方程有解z=2i;当01时,原方程无纯虚数解.
