1、公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞 2020 年高考金榜冲刺卷（二）数学（文）（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回4测试范围：高中全部内容一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，集合，则等于（）24xAxlg1Bx yxABABCD
2、1,21,21,21,2【答案】D【解析】由集合，24|2xAxx xlg11Bx yxx x 所以，故选 D.|12ABxx2已知复数，则的虚部是（）1 i12izzABCD353i53i535-公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则可得，由复数实部与1 i 1 2i1 i1 3i13i12i12i 1 2i555z 虚部的定义可得，复数的虚部是，故选 D.z35-3在中，则等于（）ABC3,1,1,3ABBC sin BABCD53322312【答案】D【解析】因为，所以，所以，3,1AB 3,1BA 2 33cos2 22BA BCBBABC
3、所以.故选 D.21sin1 cos2BB4已知等比数列na的公比为正数，且25932aaa，则公比（）qA21 B22 C2 D2【答案】C【解析】，因为，所以，故选 C.2239652a aaa226252aqa0q2q5七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷 2000 粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（）公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞A750B500C375D250【答案】C【
4、解析】因为，故阴影部分的面积与梯形的面积相等，BICGOH EFOH,所以落在阴影部分的概率 ，故选 C.331444EFOHDOFBDFASSS33,200037516 16EFOHBDFASPS6若满足，则(),a b c223,log 5,32acbABCDbacbcaabccba【答案】A【解析】因为，则，故，故.又，故.综上，2log 5b 25b222ba1ba323c1c，故选 A.bac7为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）11111123499100S A B C D1ii 2ii 3ii 4ii 公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【答案】B【解析】由
5、得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此11111123499100S 在空白框中应填入，选 B.2ii 8.已知函数的值域为，函数，则的()sin3(0,)f xaxab ax R 5,3()cosg xbax()g x图象的对称中心为（）AB,5()4kkZ,5()48kkZCD,4()5kkZ,4()510kkZ【答案】B【解析】因为，又依题意知的值域为，所以 得，(),2f xbab()f x 5,323ab4a，所以，令，得，则的图象的5b ()5cos4g xx 4()2xkkZ()48kxkZ()g x对称中心为.故选 B.,5()48kkZ9过双曲线的右焦点作双曲
6、线的一条弦 AB，且=0 0，若以为直2222:1(0,0)xyCababFCFAFB AB径的圆经过双曲线的左顶点，则双曲线的离心率为（）CCABC2D235【答案】C【解析】因为=0 0，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线CFAFB 的左顶点，所以，即，则，故.故选 C.2baca22caacacaa2cea公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞10.在棱长为 1 的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为1111ABCDABC DE1BCF11C DP线段上的动点，则的最小值为（）1BDPEPFABCD5 26122623 22【答案】A【解析
7、】图 1连接,则，点在平面中，且，如图 1 所1BC11BCBCE,P E F11BC D111111,1,2BCC D C DBC示，在中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，如图 2 所示，11Rt BC D11C Dx1C By公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞图 2,设点关于直线的对称点为，的方程为，121,0,0,2,0,2DBEE1BDE1BD12yx，直线的方程为，1222EEk EE2222yx由组成方程组，解得，直线与的交点，132 23xyEE1BD1 2 2,33M对称点，最小值为到直线的距离为，故选 A.2 5 2,36EPEPFPEPFE11C D5 2611已
8、知定义在 R 上的函数满足且在上是增函数，不等式 f x11f xfx1,对任意恒成立，则实数的取值范围是()21f axf x1,12xaABCD3,12,05,12,1【答案】B【解析】由可知函数的对称轴为 x=1.因为在上是增函数,所以11f xfx f x f x 5,5在上是减函数,因为,所以,又因为不等式对 f x 5,51,12x1102x 21f axf x任意恒成立,所以,当 a=0 时,不等式显然成立；当时,1,12x21f axf x0a,根据题意可得,故不满足题意；当时,12222axa 220f axff0a,则且,所以.综上，可得实数的取值范围是12222aaxa0
9、2a1222a20a a公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞.20a 12若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是（）1(2)lnxf xa xexx(0,2)aABCD21(,)4e 1(,)e 2111(,)(,)4eee 211(,)(1,)4ee【答案】D【解析】由题意可知有两个不等根.即,有一211()(1)0 xfxaexxx21(1)xxaexx(0,2)x根.另一根在方程,中,令,所以1x 21xx ea(0,2)x2()xh xx e(0,2)x2()(2)0 xh xexx在且上单调递增.所以即.所以 ()h x(0,2)x1x 1(1),hea2()(0,)(,4)
10、h xeee13aea.故选 D.211,1,e4e二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知等差数列中，若前 5 项的和，则其公差为_.na4610aa55S【答案】2【解析】，公差为4655102105aaaa155335()551,2aaSaa535 12.22aa14已知圆锥的表面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积是_平方23m米【答案】2公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞【解析】半圆的周长为底面圆的周长，设母线为，则，l122,22lrlr 2213,2rl，这个圆锥的侧面积是，故答案为.2233,1rr222rlr215某儿童玩具生
11、产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共个，生产一个遥控小车模型需分钟，生产一个遥控飞机模型需分钟，生产一个遥控火车模型需301012分钟，已知总生产时间不超过分钟，若生产一个遥控小车模型可获利元，生产一个遥控飞机模8320160型可获利元，生产一个遥控火车模型可获利元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，180120则最大利润是_元.【答案】5000【解析】设每天安排生产个遥控小车模型，个遥控飞机模型，则生产个遥控火车模型，依xy(30)xy题得，实数满足线性约束条件,x y10128(30)320,300,0,0,xyxyxyxy目标函数为，化简得，
12、160180zxy120(30)xy240,30,0,0,xyxyxy40603600zxy作出不等式组表示的可行域(如图所示)：240,30,0,0,xyxyxy作直线，将直线向右上方平移过点时，直线在 y 轴上的截距最大，02:603lyx 0lP由得所以，此时（元）.240,30,xyxy20,10,xx(20,10)Pmax40 2060z1036005000故答案为 5000.公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞16过抛物线：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点分别为，则点C24xyPPAPBABA到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是_.B【答案】4【解析】设，则直线，的
13、方程分别为，联立11,A x y22,B xyPAPB21124xxyx22224xxyx解得，.又直线，的方程分别可表示为，将122Pxxx124PxxyPAPB112xyxy222xyxy点坐标代入两方程，得所以直线的方程为，即，P1122,2,2PPPPxxyyxxyyAB12Px xy 12Px xy所以点到准线的距离与点到准线的距离之和为AB1212211222PPxxyyxx.故答案为 4.2121244 424Pxxxxx 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）已知是的内角，分别是角的对边.若ABC，ABCabc，ABC，
14、,222cossinsinsincosBAABC（1）求角的大小；C（2）若，的面积为，为的中点，求.6AABC3MBCAM【解析】（1）由,得222cossinsin sincosBAABC222sinsin sinsinsinAABCB由正弦定理，得，即,222cbaab222abcab 所以,又，则2221cos222abcabCabab 0C23C公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞（2）因为，所以.所以为等腰三角形，且顶角.6A6BABC23C因为,所以.在中，13sin324ABCSabCab2a MAC2AC 1CM 23C所以,解得.2222cosAMACCMAC CMC
15、1=4+1+2 2 1=72 7AM 18（12 分）微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司 200 名员工中 90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有 60 人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于 40 岁)和中年(年龄不小于 40 岁)两个阶段，那么使用微信的人中 75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中都是青年人.23(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成 列联表：22青年人中年人合计经常使用微信不经常使用微信合计(2)由列联表中所得数据判断
16、，是否有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取 6 人，从这 6 人中任选 2 人，求选出的 2 人均是青年人的概率.附：公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞2()P Kk0.0100.001k6.63510.828.22()()()()()n adbckab cd ac bd【解析】(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有人，200 90%180经常使用微信的有人，其中青年人有人，使用微信的人中青年人有180601202120803人180 75%135所以列联表为：2 2青年人中年人合计经常使用微信8040120不经常
17、使用微信55560合计13545180(2)将列联表中数据代入公式可得：，由于，22180 80 555 40k13.333120 60 135 45 13.33310.828所以有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”99.9%(3)从“经常使用微信”的人中抽取人，其中，青年人有人，68064120中年人有，记名青年人的编号分别为，记名中年人的编号分别为，406212041234256公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞则从这人中任选人的基本事件有1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，622,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共15个，其中选出
18、的2人均是青年人的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个，故所求事件的概率为62P155 19（12 分）如图，等腰梯形中，为中点，ABCD/ABCD1ADABBC2CD ECD以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.AEADEDPPABCE（1）证明：；AEPB（2）当四棱锥PABCE体积最大时，求点到平面的距离CPAB【解析】（1）证明：在等腰梯形中，连接，交于点,ABCDBDAEO,四边形为平行四边形,为等边三角/,ABCE ABCEQABCEAEBCADDEADE形,在等腰梯形中，,ABCD3CADE BDBCBDAE翻折后可得：.,OPAE OBAE公众号
19、：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞又平面，平面，,平面.OP POBOB POBOPOBOAEPOB平面,.PB POBAEPB（2）当四棱锥PABCE的体积最大时平面PAE 平面ABCE,又平面PAE 平面ABCEAE，PO 平面PAE,POAE,OP平面ABCE,32OPOB,62PB.1APAB,31 112cos24PAB ,15sin4PAB.115sin28PABSPA ABPAB,又1133133248P ABCABCVOP S,设点C到平面PAB的距离为d,331585158C PABPABVdS.20（12 分）过椭圆的左顶点作斜率为 2 的直线，与椭圆的另一个交点为，与2
20、2221(0)xyababAB公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞轴的交点为，已知.yC613ABBC （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，若轴上存在一定ykxmP4x Qx点，使得，求椭圆的方程.(1,0)MPMQM【解析】（1）,设直线方程为,A(,0)a2()yxa11(,)B x y令,则,，=0 x 2ya(0,2)Ca1111(,),(,2)ABxa yBCxay 613ABBC 1xa,整理得,11166(),(2)1313xyay111312,1919xa ya 点在椭圆上,即,.B22221312()()11919ab223,
21、4ba=2223,4aca2314e12e（2）可设,椭圆的方程为,223,4ba=223.4bt at2234120 xyt由得,动直线与椭圆有且只有一个2234120 xytykxm222(34)84120kxkmxmtykxm公共点 P,即,整理得,0 2222644(34)(412)0k mmmt2234mtk t设则有,P11(,)x y122842(34)34kmkmxkk 112334mykxmk,又,若轴上存在一定点，使得,2243(,)3434kmmPkk(1,0)MQ(4,4)kmx(1,0)MPMQM恒成立,整理得,2243(1,)(3,(4)03434kmmkmkk 2
22、234km公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞恒成立,故,所求椭圆方程为.223434ktk t1t 22143xy21（12 分）已知函数 23xf xxeax（1）若曲线 yf x在0 x 处切线与坐标轴围成的三角形面积为92，求实数a的值；（2）若12a ，求证：ln4f xx【解析】（1）12xfxxea，则 021fa为切线斜率又 03f，切点为0,3曲线在0 x 处切成方程为321yax当0 x 时，3y，当0y 时，321xa（易知210a）则切线与坐标轴围成三角形面积为13932212a 211a得211a 所以0a 或1（2）法一：12a 时，3xf xxex要证的不等
23、式为3ln4xxexx，即ln10 xxexx 令 ln1xh xxexx，则 11111xxh xxexexx 易知 h x递增，10h，132022he，0h x仅有一解0 x且001xex，即00lnxx 当00,xx时，0h x，h x递减；当0,xx时，0h x，h x递增公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞从而 h x最小值为 0000000ln11ln10 xf xx exxxx 00h xh x，故原不等式成立法二：12a 时，要证的不等式为ln10 xxexx 令xtxe，则lnlntxx故问题化为证不等式ln10tt 恒成立0,x时，0,xtxe令 ln1h ttt，
24、则 111th ttt，当0,1t时，0h t，h t递减；当1,t时，0h t，h t递增 10h th，从而原不等式成立(二)、选考题：共 10 分请考生从 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22【极坐标与参数方程】（10 分）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，以坐标原点为极xOy1C510cos()10sinxy为参数O点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x2C4cos（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；1C2C（2）若直线 的极坐标方程为，直线 与轴的交点为，与曲线相交于两lsin()2 24lyM1C,A B点，求的值MAMB
25、【解析】（1）曲线的普通方程为：,曲线的普通方程为：，即1C22(5)10 xy2C224xyx,由两圆心的距离，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为22(2)4xy3(102,102)d，即.所以直线的极坐标方程为.6215x52x 5cos2（2）直线 的直角坐标方程：，则与轴的交点为l4xyy(0,4)M公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞直线 的参数方程为，带入曲线得.设两点的参l22242xtyt 1C22(5)10 xy29 2310tt,A B数为，,所以，所以，同号.所以.1t2t129 2tt 1 231t t 1t2t12129 2MAMBtttt23【选修 4-5
26、：不等式选讲】（10 分）已知函数,.21f xxaxaR（1）当时,求的解集;1a 2f x（2）若的解集包含集合,求实数的取值范围.21fxx1,12a【解析】（1）当时,1a 21121f xxaxxx 当,即,上述不等式可化为,或,或 2f x 1212xx 1211 22xxx 1121212xxx,或或,原不等式的解集为.11212xxx 102x 112x413x403xx（2）的解集包含,当时,不等式恒成立,即在 21f xx1,121,12x 21fxx上恒成立,即,2121xaxx1,12x2121xaxx 2xa22xa 在上恒成立,22xax 1,12x,的取值范围为.maxmin22xax512a a51,2公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞公众号：卷洞洞
