1、 高三理科数学(四)第 1 页(共 4 页)2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 理科数学(四)命题人：莲塘一中命题人：莲塘一中 李树森李树森 审题人：南昌五中审题人：南昌五中 尤伟峰尤伟峰 本试卷分必做题和选做题两部分满分150分，考试时间120分钟 注意事项：1客观题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号主观题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答题无效 2选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效 3考试结束后，监考员将答题卡收回 一选择题：
2、共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合20,Aa xaxaxR,1Bx yx，则()RC AB A04xx B14xx C1x x D40 x xx或 2已知设i是虚数单位，13i1 iz，则3i|22z A1 B2 C2 D12 3已知样本数据 x 1 2 a 3 4 y 0.9 0.95 2 3.05 4.9 得到回归方程23yx，则实数a的值为 A2 B3 C2.5 D3.5 4已知,a b 为互相垂直的单位向量，且|2,3ca c ，则|bc A3 B2 C3或或7 D3或或2 5已知等比数列 na，nS为数列 n
3、a的前n项和，公比为q，则“3q ”是“3214Saa”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6设0.3342,log 4,log 5abc则 Abca Bacb Cabc Dbac 7已知函数e,()(),()xxxaf xxxa，若存在Rm,使得()yf xm有三个零点，则实数a的取值范围是 A11ea B1ea C11ea D1a 高三理科数学(四)第 2 页(共 4 页)xy俯视图左视图主视图8 已 知 函 数()2sin(2)4f xx在 区 间12(,)x x有 且 仅 有2个 极 值 点，且 满 足123()()24f xfx，则12
4、xx的取值范围 A3 5,44（）B5,4()C3 5,44(D 5,4（9 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳 术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从这 10 个 数中任取 3 个数，则这三个数中至少有两个阳数且成等差数列的概率为 A15 B120 C112 D340 10已知在平面直角坐标系中圆22:4O xy，(2,0),(2,0)AB，直线2x，点C为圆O上一动点（不与,A B两点重合），过点B作一直线l，使其与直线BC关于直线2x 对称，则直线AC与直线l交点P的轨迹方程
5、A.2213yx B.22144xy C.221(0)3yxy D.221(0)44xyy 11已知棱长为1正方体1111ABCDABC D,E为BC上的动点，过1,A C E三点的平面截正方体，截面在平面ABCD的射影的面积为1S,平面11BCC B的射影的面积为2S,则12S S最大值为 A.12 B.14 C.34 D.38 12数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其曲线C方程为32222xyx y给出下列四个结论，曲线C有四条对称轴；曲线C上的点到原点的最大距离为14；设曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形 面积的最大值为18；四
6、叶草面积小于4，其中，所有正确结论的序号是 A.B.C.D.二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分 13如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积 14记不等式组0112yyxykx，所表示的平面区域为D，若点(1,1)D，则实数k的取值范围为 高三理科数学(四)第 3 页(共 4 页)18题图MDACBS总利润（单位：万元）总利润（单位：万元）0.0150.0130.010.00450.0050.002514012010080604020频率频率组距组距15已知数列 na，nS为数列 na的前n项和，且满足22nnSa，若集合2
7、nn nta有且只有三个元素，则实数t的取值范围 16 已知抛物线2:4C yx的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于1122(,),(,)A x yB xy两点，若3AFFB,则12yy 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必做部分 17.（本小题满分 12 分）已知锐角ABC的三个内角,A B C所对的边分别为,a b c，面积为S，AD为内角A的角平分线，且满足3 cos3 cos23bAaBbc（）求cos A的值；（）若ABC的面积为4 23，求角平分线AD长的最大值 18.（本小题满分 12 分）如图：在三棱锥SABC中，ABC为
8、等边三角形，且,ABa 132aSASC,D为AC的中点，M为SB的中点（）求证：ABCSBD平面平面；（）若三棱锥SABC的体积为338a，且二面角SACB 为钝二面角，求直线AM与平面SBC成角的正弦值 19.（本小题满分 12 分）在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变.大学生们在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某品牌的专营店自主创业，该品牌的总部为了积极响应政府的号召，对大学生创业加盟的店，根据销售的利润实行抽奖奖励，该品牌的总部挑选某地区的 100 家专营店，并且统计了近五年来的创收利润，经过数
9、据统计得到了频率分布直方图：（）由频率分布直方图大致可认为，被抽查的专营店 5 年的总利润(,202)WN，近似为这 100 家专营店 5 年总利润的平均值(同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表），利用正态 分布，求(73.6130.4)PW；（）在（）的条件下，该品牌总部为了对 加盟专营店进行奖励，制定如下抽奖方案：令m表示“该专营店 5 年内总利润超过的 百分点”，其中100Wm.若0,10)m，则该品牌总部为专营店提供 1 次抽奖机会；10,20)m，则该品牌总部为专营店提供 2 次 抽奖机会；20,30)m，则该品牌总部为专营店提供 3 次抽奖机会；30,40)m，则该品牌总 高三
10、理科数学(四)第 4 页(共 4 页)部为专营店提供 4 次抽奖机会；40,50)m，则该品牌总部为专营店提供 5 次抽奖机会；50m 则该品牌总部为专营店提供 6 次抽奖机会，另外，规定 5 年内总利润低于的专营店，则该品牌总部不为专营店提供抽奖机会；每次抽奖中奖获得的奖金金额为 10000 元，每次抽奖中奖的概率为13设该大学生加盟的专营店A参加了此次抽奖方案，且专营店A在 5 年内总利润为122.5W 万元.记X（单位：万元)表示专营店 A 获得的奖金总额，求X的分布列与数学期望 附参考数据与公式：20214.2，若2(,)WN，则()0.6827PW，(22)0.9545PW，(33)
11、0.9973PW 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆22221(0)xyCabab：的离心率为12，其左右两焦点分别为12,F F,1B为其上顶点，直线l与椭圆相交于,M N两点，并且12/FMF N，当M与1B重合时，此时8 3 3(,)55N（）求椭圆的标准方程；（）若存在实数，使得12FMF N,当1,22,记12MFF的面积为1S,12NFF的面积为2S,求12+SS的取值范围 21.（本小题满分 12 分）已知函数()()ln()f xxaxa（0 x，0a）（）求函数()f x的单调区间；（）若不等式：()(1)(e1)0 xf xx对任意的0 x 恒成立，求a的取值范围 （二
12、）选做部分 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线1l的参数方程为cos1sinxtyt（0,t为参数），直线2l的方程为sin()2 24，M为曲线2l上的动点，点P在线段OM上，且满足8OMOP（）求点P的轨迹C的直角坐标方程；（）设点(0,1)N,直线1l与曲线C相交于,A B两点，则114 33NANB,求直线1l的方程 23（本小题满
13、分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数()12f xxx （）对于任意Rx，不等式()f xm恒成立，则m的取值范围；（）记满足条件的m的最大值为M,若1,1,1abc，且8,abcM 求证：(1)(1)(1)1abc 高三理科数学(四)第 5 页(共 4 页)2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 理科数学(四)参考答案 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B A C C A B A C C D B C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分
14、)13.22+3 14.1(,2 15.3 5(,8 8 16.4 33 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17.【解析】【解析】（）因为 3 cos3 cos23bAaBbc，由正弦定理可化为3sin cos3sin cos2sin3sinBAABBC,3sincos3sincos2sin3sinBAABBAB,3sincos3sin cos2sin3sin cos3sin cosBAABBABBA,6sincos2sinBAB.0,sin0BB，因此，1cos3A.（）12 2cossin33AA，且1cos6cos223AA.14 2sin23ABCSbcA，4bc.由ABC
15、ABDACDSSS,有111sinsinsin22222AAbcAc ADb AD,2cos8 68 62 62336AbcADbcbcbc.当且仅当2bc时，角平分线AD长有最大值2 63.18.【解析】【解析】（）因ABC是等边三角形，D为AC的中点，BDAC，,SASCSDAC又 BDSDD，AC平面SBD AC 平面ABC，平面ABC 平面SBD，()由(1)知SDB为二面角SACB的平面角，所以SDB为钝角.过S作直线BD 的垂线，垂足为E.AC 平面SBD，ACSE.又SEBD,BDSEE,SE平面ABC.高三理科数学(四)第 6 页(共 4 页)MDACBSzyxE所以23133
16、3128SABCABCVSSEaSEa,可得32SEa.又223SDSCDCa，2232DESDSEa.以 D 为原点，,DB DC分别为,x y轴，从 D 引平行于ES的射线为z轴，建立空间直角坐标系.则333(0,0),(,0,0),(0,0),(,0,)22222aaaaaABCS，3(0,0,)4aM.则有333(0,),(,0),(3,0,)24222aaa aaAMBCBSa .设平面SBC的法向量为(,)nx y z，AM与平面SBC的所成角为.由00n BCn BS 得 30223302aaxyaaxz.取2x，则2 3(1,3,)3n.33 13sincos,1341343n
17、 AMan AMan AM .直线AM与平面SBC所成角的正弦值为3 1313.19.【解析】【解析】()2040406060800.0025200.005200.01 20222 801001001201201400.015200.013200.00452087.8222 20214.2.(,202)WN，(73.6130.4)(3)PWPW 1=()(33)2PWPW0.84.()因为122.587.810010030,4087.8Wm,所以专营店A获得品牌总店提供的 4 次抽奖机会.X 的可能值为0,10000,20000,30000,40000.则404216(0)=381P XC，3
18、141232(10000)=3381P XC，22241224(20000)=3381P XC ，334128(30000)=3381P XC 高三理科数学(四)第 7 页(共 4 页)44411(40000)=381P XC.所以 X 的分布列为：X 0 10000 20000 30000 40000 P 1681 3281 2481 881 181 数学期望16322481400000100002000030000+4000081818181813EX.20.【解析】【解析】（）令),0(),(),0,(121bBocFcF ，由题意：ccbKKNFBFNFBF58533/211211 又
19、 21ace 联立可得：3,2 ba 故椭圆的标准方程为：13422 yx（）延长1MF交椭圆至1N，由12/FMF N及椭圆的对称性可得：21NFFN.故2S等于112N FF的面积，12+SS等于12N MF的面积.设直线1MN的直线方程为：1 tyx，令),(),(2211yxNyxM，则有：096)43(11342222 tyyttyxyx 则有22121212121222269121,()4343434ttyyy yyyyyy yttt，.故：212121221121+=234tSSFFyyt.又21222121221222911342316(1)434y yytFMF Nyytyy
20、ytt .214,20,25t.令)5531(12 t，则有：212221211212+=1343+13+tSSt，高三理科数学(四)第 8 页(共 4 页)12351153在，单调递减，故有1295,38SS.21.【解析】【解析】（）111=ln()1ln10eeafxxa 当时，()f x的单调增区间为0+，；120ea当时，11=ln()1000eefxxaxafxxa，故()f x的单调增区间为；1,ea()f x的单调减区间为10,ea.（）令()()ln()(1)(e1)(0)xh xx ax axx.则有：ln()(e1)1xh xxax，又因 1(1)e10 xhxxxa，故
21、 0,h x 在单调递增.11ea 当时，0ln10h xha；则 0,h x 在单调递增，故(0)ln01.h xhaaa 120ea当时，10ln10,11(1)(e1)0ahahaa ，故(0,1)hxa在有唯一零点0 xx.且易知0 xx为 h x的极小值点.则有：0min0000()()()ln()(1)(e1)xh xh xxaxax.又000ln()(e1)1=0 xxax，020000=(1)1(e1)()xh xxa xxa.令 2(1)1(0,1)g xxa xxa=，则 有：2max1(1)()()1024aag xg.故00h x，不符题意.综上：1a.22.【解析】（
22、）【解析】（）设点P的坐标为,，点M的坐标为1,，由8OMOP，则118sin()2 24，整理得轨迹C的极坐标方程为2 2sin4 轨迹C的直角坐标方程为 21122 yx（）将1l的参数方程代曲线C的直角坐标方程，2sin1cos22 tt 整理得01cos22 tt，1,cos22121 tttt，又点(0,1)N在曲线C的内部，2212121 2+=44cos4NANBttttt t 2121 2+114cos44 3=13NANBttNANBNA NBtt 高三理科数学(四)第 9 页(共 4 页)解得31cos2，即33cos ，则2 k，则直线1l的方程12 xy 23.【解析】
23、【解析】（）2,3221,11,23)(xxxxxxf，1)(21minxfx时，当.由题意：恒成立在Rxmxf)(mxfmin)(，故.1m（）由（）可知：1M，故8abc.则有：14441)1(1)1(1)1()1)(1)(1(222cbacbacba；取等条件为：2cba.高三理科数学(四)第 10 页(共 4 页)高三理科数学（四）选择填空详细解析 高三理科数学（四）选择填空详细解析 1.B【解析】【解析】20,RC Aa xaxaxR，042 aa，0,4RC A，1 xxB，RC AB14xx，故选 B.2.A【解析】【解析】13i(13i)(+i)13(13)i=1(1 i)(+
24、i)2zi11 则322iz13(13)i3i13+i122222,故选 A.3.C【解析】【解析】回归方程过定点,x y，=2y，代入回归方程得=2.5x，则a=2.5,故选 C.4.C【解析】【解析】,a b 为互相垂直的单位向量，2,cos3ca ca c 23cos ，a与c夹角 30，则b与c夹角 60或 120，如右图。则222=23bcbcbb cc 或7,故选 C.5.A【解析】【解析】由3214Saa，则123214,aaaaa211(21)4,a qqa又 na为等比数列，10a，221 4qq，即1q 或3q 则3q 是3214Saa的充分而不必要条件,故选 A.6.B【
25、解析】【解析】0.34321log 5 1,log 4 1,acb，234ln4ln3ln5ln4ln5log 4log 5ln3ln4ln3ln4bc 又因为2222ln3ln5ln15ln16ln3ln5ln4222 2ln4ln3ln5=0ln3ln4bc，即有cb,故选 B.7.A【解析】【解析】对于exyx，+1 exyx，函数 1,递减，在 ，1递增，且当1 x时，0 y，如图。要存在m R,使得()yf xm有三个零点，即()ymf x与 有三个交点，由图像得11ea,故选 A.8.C【解析】【解析】要使()2sin(2)4f xx在区间12(,)x x有且仅有 2 个极值点，则
26、12322TTxx，由123()()24f xfx，222333()2sin 2=2sin2444224fxxx 222sin 2=()4xf x，12()+()2f xf x，由 高三理科数学(四)第 11 页(共 4 页)()2sin(2)4f xx，所 以1()0f x 且2()0f x。212121,bbxaax 符合题意，所以，1211min3344xxbaT，1222max5544xxbaT，故选 C 9.C【解析】【解析】110 中，1、3、5、7、9 为阳数，三个数中至少有两个阳数且成等差数列有如下：三个阳数：1、3、5；3、5、7；5、7、9；1、5、9（4 种）两个阳数：1
27、、2、3；3、4、5；5、6、7；7、8、9；1、4、7；3、6、9（6 种）则3101010112012PC,故选 C.10.D【解析】【解析】设直线AC和直线l的斜率为别为12,k k，因为直线l与直线BC关于直线2x对称，则2BCkk,因为ACBC，即11BCkk,即1 21kk，设点(,)P x y，即12,22yykkxx，又因为1 21kk，即122yyxx，即224(0)xyy,故选 D.11.B【解析】【解析】如图，过点1C作AEHC/1交11DA于点H,连接AH，则截面为HAEC1,截面在平面ABCD的射影为平行四边形AECL,截面在平面11BCCB的射影为平行四边形JBEC
28、1,设ECx，则10,1BCxx，,易知1Sx，2=1Sx，12=1S Sxx，当1=2x时，1 2SS最大值为14,故选 B.12.C【解析】【解析】曲线C有四条对称轴:x轴，y轴，yx，yx 令yx,易知曲线C过点22,44，该点到原点的距离为12，222322222xyxyx y当且仅当xy时取“=”，易知，曲线C上的点到原点的最大距离22max12dxy；3322222xyx yxy当且仅当xy时取“=”，则max18Sxy，由，以0,0为圆心，12为半径作圆，此圆的半径为4，所以，四叶草面积小于4,故选 C.13.22+3【解析】【解析】由三视图可知，该几何体由一个圆柱和一个三棱锥组
29、合而成，所以其体积为 高三理科数学(四)第 12 页(共 4 页)2112 12+2 1 2=2+323 .14.1,2【解析】【解析】因为点(1,1)D，所以将(1,1)代入不等式组，得112k，所以12k.15.3 5,8 8【解 析】【解 析】由21nnSa有11212nnSan，两 式 相 减 可 得1222nnnaaan，即12nnaa，所以 na是首项为 2，公比为 2 的等比数列.故2nna.因为2nnta，所以22nnt.令22nnnb，1113210222nnnnnnnnbb,nb是递减数列.要使集合2nn nt a有且只有三个元素，只需34tbtb，解得3 5,8 8t.16.4 33【解析】【解析】设直线AB的方程：1xty，与C联立可得2440yty，则有124y y ，因 为3AFFB，所 以123yy.由 可 解 得122 32 33yy 或122 32 33yy，因此124 33yy.
