1、页 1 第 石景山区石景山区 2020 届届高三第一学期期末高三第一学期期末 数数 学学 本试卷共 5 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡 第一部分第一部分（选择题（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1.已知集合02Axx，1,0,2,3B ，则AB I A.0,1,2 B.0,2 C.1,3 D.1,0,1,2,3 2.复数21iz 的共轭
2、复数在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列函数中既是奇函数，又在区间0 1（，）上单调递减的是 A.3()f xx B.()lg|f xx C.()f xx D.()cosf xx 4.已知向量5,ma，2,2b，若abb，则实数m A.1 B.1 C.2 D.2 5.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石 6.已知3log 4a，log 3b，5c，则a，b，c的大小
3、关系是 A.abc B.acb C.bca D.bac 7.艺术体操比赛共有 7 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 7 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 5 个有效评分5 个有效评分与 7 个原始评分相比，不变的数字特征是 A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分页 2 第 体积与原正方体体积的比值为 A.81 B.71 C.61 D.51 9.在等差数列na中，设,k l p rN，则klpr 是klpraaaa的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要必要条件
4、D.既不充分也不必要条件 10.关于曲线:C224xxyy给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2；曲线C上任意一点到原点的距离都不小于2 其中，正确结论的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 第二部分第二部分（非选择题共（非选择题共 110110 分）分）二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11.在62()xx的二项展开式中，常数项等于_（用数字作答）12.已知双曲线标准方程为2213xy，则其焦点到渐近线的距离为 13.已知数列*()nannN为等比数列，11a，22
5、a，则3a _.14.已知平面,给出下列三个论断：；以其中 的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 15.在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c已知14bca-=，2sin3sinBC=，则cos A的值为_ 主（正）视图 左（侧）视图 俯视图 页 3 第 16.已知向量1eu r，2eu u r是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意 一点P，当12OPxeyeuuu ru ru u r时，则称有序实数对(,)x y为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为11(,)x y、22(,)xy，对于下列命题：线段AB的中点的广义坐标为1212(,
6、)22xxyy；向量OAuuu r平行于向量OBuuu r的充要条件是1221x yx y；向量OAuuu r垂直于向量OBuuu r的充要条件是12120 x xy y.其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）页 4 第 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17.（本小题 13 分）已知函数1()cos(sincos)2f xxxx.（）若20，且53sin，求()f的值；（）求函数()f x的最小正周期，及函数()f x的单调递减区间.18.（本小题 13 分）一款小游戏的规则如下：每盘
7、游戏都需抛掷骰子三次，出现一次或两次“6 点”获得 15 分，出现三次“6 点”获得 120 分，没有出现“6 点”则扣除 12 分(即获得12 分)（）设每盘游戏中出现“6 点”的次数为 X，求 X 的分布列；（）玩两盘游戏，求两盘中至少有一盘获得 15 分的概率；（）玩过这款游戏的许多人发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象 19.（本小题 14 分）已知在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，CD平面PAD，OGFE、分别是ADBCPDPC、的中点（）求证：PO平面ABCD；（）求平面EFG与平
8、面ABCD所成锐二面角的大小；（）线段PA上是否存在点M，使得直线GM 与平面EFG所成角为6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由 20.（本小题 14 分）已知函数()exf xax.（aR）（）求函数()f x的单调区间；OEFGPCDBA页 5 第（）若3a，()f x的图象与y轴交于点A，求()yf x在点A处的切线方程；（）在（）的条件下，证明：当0 x时，2()31f xxx恒成立 21.（本小题 13 分）已知椭圆222:12xyCa过点(2,1)P（）求椭圆C的方程，并求其离心率；（）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），直线
9、PA关于l的对称直线PB与椭圆交于另一点B设O为坐标原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由 22.（本小题 13 分）已知由*()n nN个正整数构成的集合1212,(,3)nnAa aaaaa nLL，记12AnSaaaL，对于任意不大于AS的正整数m，均存在集合A的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m.（）求21,aa的值；（）求证：“naaa,21成等差数列”的充要条件是“2)1(nnSA”；（）若2020AS，求n的最小值，并指出n取最小值时na的最大值.页 6 第 石景山区石景山区 2020 届届第一学期高三期末第一学期高三期末 数学试卷答案及评分参考数学试卷答案及评
10、分参考 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B B D A C D C 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11160；121；13 5；14 或；15.14；16.三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 个小题，共个小题，共 80 分分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题 13 分）解：（）因为 20，且53sin，所以 2
11、4cos1 sin5.2 分 所以 4 34128131=5 55225250f.5 分（）21cossincos21cossincos2xxxxxxxf 8 分 所以函数 xf的最小正周期22T.9 分 由32 22+242kxk,kZ，解得5+88kxk,kZ.11 分 所以函数 xf的单调递减区间5+88k,k,kZ.13 分 18.（本小题 13 分）解：（）X可能的取值为0，1，2，3.1 分 每次抛掷骰子，出现“6 点”的概率为16p.0331125(0)(1)6216P XC，1231175(1)(1)66216P XC，)42sin(22)2cos2(sin212122cos1
12、2sin21xxxxx)42sin(22)2cos2(sin212122cos12sin21xxxxx页 7 第 2231115(2)()(1)66216P XC，33311(3)()6216P XC，5 分 所以 X 的分布列为：6 分（）设“第 i 盘游戏获得 15 分”为事件 Ai(i1，2)，则 12905()()(1)(2)21612P AP AP XP X.8 分 所以“两盘游戏中至少有一次获得 15 分”的概率为12951()()144P A P A 因此，玩两盘游戏至少有一次获得 15 分的概率为95144.10 分（）设每盘游戏得分为Y.由（）知，Y的分布列为：Y 12 15
13、 120 P 125216 512 1216 Y的数学期望为12551512151202161221636EY .12 分 这表明，获得分数Y的期望为负 因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大 13 分 X 0 1 2 3 P 125216 2572 572 1216 页 8 第 19.（本小题 14 分）（）证明:因为PAD是正三角形，O是AD的中点，所以 POAD.又因为CD平面PAD，PO平面PAD，所以POCD.DCDAD，CDAD，平面ABCD，所以PO面ABCD.4 分（）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则)32,0,0(),0
14、,4,0(),0,0,2(),0,4,2(),0,4,2(),0,0,2(),0,0,0(PGDCBAO，)3,0,1(),3,2,1(FE，)3,2,1(),0,2,0(EGEF，设平面EFG的法向量为),(zyxm ,032,02zyxy 令1z，则)10,3(，m，6 分 又平面ABCD的法向量)1,0,0(n，7 分 设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为，所以21|cosnmnm.所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为3.9 分（）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为6，设 1,0,PAPM，PAGPPMGPGM，所以)1(32,4,2(GM.11 分 所以
15、76423,cos|6sin2mGM，13 分 整理得02322，无解，所以，不存在这样的点M.14 分 20.（本小题 14 分）解：（）()xfxea，1 分 OzyxEFGPCDBA页 9 第 当0a时，()0fx恒成立，所以()f x在R上单调递增，3 分 当0a时，令()0fx，解得lnxa.当x变化时，(),()fxf x的变化情况如下表：x(,ln)a lna(ln,)a ()fx 0+()f x 减 极小值 增 所以0a时，()f x在(,ln)a上单调递减，在(ln,)a 上单调递增.5 分（）令0 x，得1y，则0,1A，6 分 因为 e3xfx，所以 01 32f ，7
16、分 所以在A点处的切线方程为12(0)yx，即21yx.9 分（）证明：令 22()(3+1)=e1xg xf xxxx，则 e2xg xx.令 e2xh xx，则 e2xh x，当0ln2x时，0h x，h x单调递减，当ln2x时，0h x，h x单调递增；11 分 所以 ln2ln2e2ln222ln20h xh，即 0gx恒成立.所以 g x在,上单调递增，所以 01 0 10g xg ，13 分 所以2e10 xx，即当0 x 时，231f xxx恒成立 14 分 21.（本小题 13 分）解：（）由椭圆222:12xyCa过点(2,1)P，可得24112a，解得28a 2 分 所以
17、222826cab，3 分 所以椭圆C的方程为22182xy，离心率6322 2e 5 分 页 10 第 （）直线AB与直线OP平行 6 分 证明如下：由题意，设直线:1(2)PA yk x，:1(2)PB yk x ，设点A11,)x y（，B22,)xy（，由2218221xyykxk得 22241)8(1 2)161640kxkk xkk（，8 分 所以128(21)2+41kkxk，所以21288241kkxk，同理2228+8241kkxk，所以1221641kxxk，10 分 由1121ykxk，2221ykxk，有121228()441kyyk xxkk，因为A在第四象限，所以0
18、k，且A不在直线OP上，所以121212AByykxx，又12OPk，故ABOPkk，所以直线AB与直线OP平行 13 分 22.（本题 13 分）解:（）由条件知AS1，必有A1，又naaa21均为整数，11a.2 分 AS2，由AS的定义及naaa21均为整数，必有A2，22a.4 分（）必要性：由“naaa,21成等差数列”及11a,22a 得),2,1(niiai此时,3,2,1nA满足题目要求 从而)1(21321nnnSA.6 分 充分性：由条件知,21naaa且均为正整数，可得),3,2,1(niiai 故)1(21321nnnSA，当且仅当),3,2,1(niiai时，上式等号
19、成立.于是当)1(21nnSA时，),3,2,1(niiai，从而naaa,21成等差数列.页 11 第 所以“naaa,21成等差数列”的充要条件是“)1(21nnSA”.8 分（）由于含有n个元素的非空子集个数有12 n，故当10n时，10231210，此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求.而用11个元素的集合1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2,1A的非空子集的元素之和可以表示2047,2046,3,2,1共2047个正整数.因此当2020AS时，n的最小值为 11.10 分 当2020AS时，n的最小值为 11.记102110aaaS 则20201110aS并且11101aS.事实上若11101aS，11111022020aaS，则101011a，10101110 aS，所以1010m时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符.于是122020111110aaS，得2202111a，*11Na，所以101011a.当101011a时1010,499,256,128,64,32,16,8,4,2,1A满足题意 所以当2020AS时，n的最小值为 11，此时na的最大值1010.13 分【若有不同解法，请酌情给分】【若有不同解法，请酌情给分】
