1、2022 年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试数学试卷2022.01.08考生注意：1.本场考试时 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页；2.作答前，请在答题纸正面填写姓名、报名号，反面填写姓名，将核对好的条形码贴答题纸指定位置；3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分；4.用 2B 细笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一一、填填空空题题（本本大大题题共共有有 12 题题，满满分分 54 分分，第第 16 题题每每题题 4 分分，第第 712 题题每每题题 5 分分）考考生生应应在在答答题题纸
2、纸的的相相应应位位置置直直接接填填写写结结果果.1.已知iz 2（其中i为虚数单位），则z；2.已知集合2,1A，集合3,1B，则BA；3.不等式01xx的解集为；4.若3tan，则4tan；5.设函数 3xxf的反函数为 xf1，则271f；6.在1231xx的展开式中，则含41x项的系数为；7.若关于yx,的方程组8162ymxmyx有无穷多解，则实数m的值为；8.已知在ABC中，3A，2AB，3AC，则ABC的外接圆半径为；9.用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为；（用数字作答）10.在ABC中，90C，2 ACAB，点M为边AB的中点，点
3、P在边BC上，则CPMP的最小值为；11.已 知111,yxP，221,yxP两 点 均在 双 曲 线01:222ayax的 右 支上，若2111yyxx恒成立，则实数a的取值范围为；12.已知函数 xfy 为定义域为 R 的奇函数，其图像关于1x对称，且当1,0 x时，xxfln，若将方程 1 xxf的正实数根从小到大依次记为nxxxx,321，则nnnxx1lim.二二、选选择择题题（本本大大题题共共有有 4 题题，满满分分 20 分分，每每题题 5 分分）每每题题有有且且只只有有一一个个正正确确选选项项，考考生生应应在在答答题题纸纸的的相相应应位位置置，将将代代表表正正确确选选项项的的小
4、小方方格格涂涂黑黑.13.下列函数定义域为 R 的是（）（A）21 xy（B）1 xy（C）31xy（D）21xy 14.若dcba，则下列不等式恒成立的是（）（A）cbda（B）dbca（C）bdac（D）bcad15.上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）（A）0（B）2（C）4（D）1216.已知等比数列 na的前n项和为nS，前n项积为nT，则下列选项判断正确的是（）（A）若20212022SS，则数列 na是递增数列（B）若20212022TT，则数列 na是递增数
5、列（C）若数列 nS是递增数列，则20212022aa（D）若数列 nT是递增数列，则20212022aa三三、简简答答题题（本本大大题题共共有有 5 题题，满满分分 76 分分）解解答答下下列列各各题题必必须须在在答答题题纸纸的的相相应应位位置置写写出出必必要要的的步步骤骤.17.（本本题题满满分分 14 分分，第第 1 小小题题满满分分 6 分分，第第 2 小小题题满满分分 8 分分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为1OO、，1AA为圆柱的母线，底面半径长为1.（1）若41AA，M为1AA的中点，求直线1MO与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过1OO的截面为正
6、方形，求圆柱的体积与侧面积.18.（本本题题满满分分 14 分分，第第 1 小小题题满满分分 6 分分，第第 2 小小题题满满分分 8 分分）已知在数列 na中，12a，其前n项和为nS.（1）若 na是等比数列，32S，求nnSlim；（2）若 na是等差数列，nSn2，求其公差d的取值范围.19.（本本题题满满分分 14 分分，第第 1 小小题题满满分分 6 分分，第第 2 小小题题满满分分 8 分分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，30ABm，15ADm.为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D
7、为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区.（计算长度精确到1.0m，计算面积精确到01.0m2）（1）若20ADE，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20.（本本题题满满分分 16 分分，第第 1 小小题题满满分分 4 分分，第第 2 小小题题满满分分 6 分分，第第 3 小小题题满满分分 6 分分）已知椭圆11:222ayax，BA、两点分别为的左顶点、下顶点，DC、两点均在直线axl:上，且C在第
8、一象限.（1）设F是椭圆的右焦点，且6AFB，求的标准方程；（2）若DC、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由；（3）设直线AD、BC分别交椭圆于点P、点Q，若QP、关于原点对称，求CD的最小值.21.（本本题题满满分分 18 分分，第第 1 小小题题满满分分 4 分分，第第 2 小小题题满满分分 6 分分，第第 3 小小题题满满分分 8 分分）已知函数 xf的定义域为 R，现有两种对 xf变换的操作：变换：txfxf；变换：xftxf，其中t为大于0的常数.（1）设 xxf2，1t，xg为 xf做变换后的结果，解方程：2xg；（2）设 2xxf，xh为 xf做变换后的结果，解不等式：xhxf；（3）设 xf在0,上单调递增，xf先做变换后得到 xu，xu再做变换后得到 xh1；xf先做变换后得到 xv，xv再做变换后得到 xh2.若 xhxh21恒成立，证明：函数 xf在 R 上单调递增.
