1、2022年全国普通高等学校春季招生统一考试上海数学试卷考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、准考证号。一、填空题（本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分1.已知复数z=2+i(其中i为虚数单位)，则z=【解析】根据定义，三=2-i.2.已知区间A=(-1
2、,2)B=(L,3),则AB=【解析】(1,2)3.求不等式一0成立，则a的取值范围是【解析】设P(x-y2)显然P也在右支上，转化为OROR0恒成立，即角小于90利用渐近线和a1.12.已知奇函数f(x)在x(0，时的解析式为f(x)=lnx,且f(x)关于x=1对称，设方程f(x)=x+1的正数根从小到大依次记为x,x2,x,则im(x1-x)=【解析】如图所示，答案为2.6fx)345618二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13.以下函数的定义域为R的是()A.y=xB.y=xC
3、少sD.y=【答案】C14.已知实数a,b,C,d满足：abcd,则下列选项正确的是()A.a+db+cB.a+cb+dC.adbeD.abcd【答案】B【解析】对于A,可举反例：321-1：B显然是正确的：对于C,可举反例：21-2-315.如图所示，设上海海关楼的钟楼为正方体，且钟楼的四个侧面均有时钟悬挂.在0点到12点中时针与分针的转动中（包括0点，但不包括12点)，相邻两面的时针出现两两相互垂直的情况的次数为()A.0B.2C.4D.127【答案】B【解析】根据对称性，不妨考虑0,2,3点的情况，可结合垂直相关理论，或者建立空间向量，均可判断出只有3点和9点是垂直的，共2次16.设a为
4、等比数列，设Sn和T,分别为an的前n项和与前n项积，则下列命题正确的是：()A.若SmSm1,则S为递增数列B.若T2Tm1,则T为递增数列C.若S,为递增数列，则a2之aa1D.若为递增数列，则amam1【答案】D【解析】对于A,a20，不正确：对于B,a=-2,9=2,Tm0,Tm10,不正确：对于D,a,0,二=a1,则g1，正确：T三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。设有底面半径为1的圆柱OO,AA为圆柱的母线，10(1)若A4=4,设M为A4
5、的中点，求直线MO与圆柱上底面所成角：(2)若过OO,的轴截面为正方形，求圆柱O0的侧面积和体积0【解析】(1)M42=三=tana0=arctan2;A01(2)A4=a侧面积S侧=212=4，体积V=122=218.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设有无穷数列a,记a的前n项和为S。,其中a=1(1)若an为等比数列，且S2=3,求1imS。8(2)若an为等差数列，且S2.n,求公差d的取值范围【解析】ma=LS+a=32029m9色g=4:（2）S-a+g2=na,+a）=+1+(2m-3dn(2n-312-l,2当m1eds1:当n2d产23d0
6、4e0,19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分上海某地区想设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形绿地ABCD中（其中AB为30米，AD为15米)，过道EF将其分为两个主要区域(E,F分别是AB,CD边上动点)，监测区为以D为圆心，AD为半径的四分之一圆，古树区为四边形BEFC,且EF与圆弧相切，记切点为G.(1)若ADE=20，求EF的长（结果精确到0.1）：(2)E点在线段AB上何处时，才能使古树区的面积最大，并求出最大值（结果精确到0.01），如图所示：DGEF,FHAB【解析】设角DFE=0,则DF=DC-15sin sin0sinoEH=15
7、=15cos0FC=30-15tansin0(FC+BEC5(FCH)603015cos021sinsin-m-】8sin令f0=2-cos0=m2-cos=msin0,sin2=cos0+msi血0=m+1sn0+pVm2+m25,则Sm=(60-15.20.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分9随圆r:+y广=a),么B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且直线x=a上有两个不相同的点C,D(C是第一象限的点)(1)设F是椭圆T的右焦点，且4AFB=严，求椭圆T的标准方程；6(2)若C,D两点的纵坐标分别为2和1，判断：直线BC与AD的交点是否在
8、椭圆上，并说明理由：(3)设直线AD与直线BC交椭圆于P,Q两点，且P,Q关于原点对称，求|CD的最小值.【解析】)AFB=goFB=g1o811oF5,c=5.b=1,年+2=1：68(3)1Dyx12a+2lnc:y=1y=a).xo+a令x=ay=2:cy+1=+1Xo+a-x0令x=ay=%-a-,0所以ICDH2ayo ayo-a-xo设x=acos0:。=sin8,x。+a代入得：ICD=2sin0 1-sin002(注意：0e3元2tancos+1 cos0201+tan02CD=2tan6，1+tan20当且仅当tan名=-2时取等号：221.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分在定义域为R的函数f(x)上，定义下面两个变换：p:f(x)f(x)-f(x-),：f(x)f(x+)-f(x)川，其中t0(1)若t=1,f(x)=2,对f(x)进行p变换后得到函数g(x),求方程g(x)=2的解：(2)若f(x)=x2,对f(x)进行o变换后得到函数h(x),解不等式：h(x)f(x):6
