1、第三十四讲第三十四讲 根本不等式及其应用根本不等式及其应用 回归课本回归课本 1.1.算术平均数算术平均数 如果如果a,bRa,bR+,那么那么 叫做这两个正数的算术平均数叫做这两个正数的算术平均数.2.2.几何平均数几何平均数 如果如果a,bRa,bR+,那么那么 叫做这两个正数的几何平均数叫做这两个正数的几何平均数.2aba b3.3.重要不等式重要不等式 如果如果a,bR,a,bR,那么那么a2+b22ab(a2+b22ab(当且仅当当且仅当a=ba=b时时,取取“=“=););均值定理均值定理:如果如果a,bR+,a,bR+,那么那么 (当且仅当当且仅当a=ba=b时时,取取“=“=)
2、.).均值定理可以表达为均值定理可以表达为:两个正实数的算术平均数大于或等于两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数它们的几何平均数.2abab22222222(1);(2);(3)2(0);22(4)4.a;(5)2()b.22.aba bb aabababa ba baba bab变 式 形 式上 述 不 等 式中 等 号 成 立 的 充 要 条为件 均5.x5.x、y y都是正数都是正数,那么那么 (1)(1)假设假设x+y=S(x+y=S(和为定值和为定值),),那么当那么当x=yx=y时时,积积xyxy取最大值取最大值 (2)(2)假设假设xy=P(xy=P(积为定值积为定值
3、),),那么当那么当x=yx=y时时,和和x+yx+y取得最小值取得最小值 即两个正数的和为定值即两个正数的和为定值,那么可求其积的最大值那么可求其积的最大值;积为定值积为定值,那么可求其和的最小值那么可求其和的最小值.应用此结论要注意三个条件应用此结论要注意三个条件;“;“一一正二定三相等正二定三相等,即即:各项或各因式为正各项或各因式为正;和或积为定值和或积为定值;各项或各因式都能各项或各因式都能取得相等的值取得相等的值.21.4S2.P考点陪练考点陪练 1.1.函数函数y=logy=log2 2x+logx+logx x2 2的值域是的值域是()()A.(A.(-,-22 B.2,+)B
4、.2,+)C.C.-2,22,2 D.(D.(-,-22,+)22,+)答案答案:D:D 2.x+3y=2,2.x+3y=2,那么那么3x+27y3x+27y的最小值为的最小值为()()答案答案:A:A 3.6.3 9.2 2.4ABCD2223.:a 1 2 a;2;2;1.()A.0 B.1 C.2111D.3a bxxa bxx 给 出 下 列 各 式其 中 正 确 的个数 是答案答案:C:C 224.0a1,0b1,a b,.(.).2.2A a bB abCa bDa b 设且 下列各式中值最大的是答案答案:B:B 2222.2.21 12.5.a 0,b 0,(.2)a bABab
5、abb abaCa bDaba ba b设下 列 不 等 式 中 不 成 立 的 是3322222:A,B,Cab ab a bab a b0a b a b0,C.Da0,0,2b 12.bab abaaba bab 解 析由且得所 以成 立显 然 成 立 可 变 形 为所 以成 立中 令时 不 成立答案答案:D:D 类型一类型一 证明不等式证明不等式 解题准备解题准备:证明不等式是均值不等式的一个根本应用证明不等式是均值不等式的一个根本应用,注意分注意分析不等式的左右两边的结构特征析不等式的左右两边的结构特征,通过拆通过拆(添添)项创设一个项创设一个应用均值不等式的条件应用均值不等式的条件.
6、在解决本类问题时注意以下几点在解决本类问题时注意以下几点:(1):(1)均值不等式成立的前提条件均值不等式成立的前提条件;(2);(2)通过加减项的方法配通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式凑成算术平均数、几何平均数的形式;(3);(3)注意“注意“1 1的代的代换换;(4);(4)灵活变换根本不等式的形式并注意其变形式的运用灵活变换根本不等式的形式并注意其变形式的运用.【典例典例1 1】证明证明:a:a4 4+b+b4 4+c+c4 4aa2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2abc(a+b+c).abc(a+b+c).分析分析 利用利用a a2
7、 2+b+b2 22ab(a,bR)2ab(a,bR)求证即可求证即可.证明证明aa4 4+b+b4 42a2a2 2b b2 2,b,b4 4+c+c4 42b2b2 2c c2 2,c c4 4+a+a4 42c2c2 2a a2 2,2(a2(a4 4+b+b4 4+c+c4 4)2(a)2(a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2),),即即a a4 4+b+b4 4+c+c4 4aa2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2,又又a a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 22ab2ab2 2c,bc,b2 2c c2
8、2+c+c2 2a a2 22abc2abc2 2,c c2 2a a2 2+a+a2 2b b2 22a2a2 2bc,bc,2(a2(a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2)2(ab)2(ab2 2c+abcc+abc2 2+a+a2 2bc),bc),即即a a2 2b b2 2+b+b2 2c c2 2+c+c2 2a a2 2abab2 2c+abcc+abc2 2+a+a2 2bc=abc(a+b+c).bc=abc(a+b+c).即原命题可得证即原命题可得证.224422222222222,.ab2ab(a,bR),(a,b).,:ab2a b,
9、a bb c2 abbc,ab2ab,a,bR;22.,2abababababab反 思 感 悟 证 明 不 等 式 时 可 依 据 求 证 式 两 端 的 式 子 结 构合 理 选 择 基 本 不 等 式 及 其 变 形 不 等 式 来 证如可 变 形 为正 实 数可 变 形 为等 同 时 要 从 整 体 上把 握 基 本 不 等 式 如都 是 对“”的 灵 活 运 用 本 题 先 局 部 运用 重 要不 等 式,(),.然 后 用 不 等 式 的 性 质 通 过 不 等 式 相 加 有 时相 乘 综 合 推 出 要 求 证 的 不 等 式 这 种 证 明 方 法 在 证 明 这 类轮 换
10、对 称 不 等 式 时 具 有 一 定 的 普 遍 性类型二类型二 求最值求最值 解题准备解题准备:1.:1.利用根本不等式可以求一些函数或代数式的最利用根本不等式可以求一些函数或代数式的最值值.2.2.应用重要不等式和根本不等式可以得到一些常用的不等式应用重要不等式和根本不等式可以得到一些常用的不等式,主要有主要有:2222221a,b0,2x(0,),x(,0),xy);(ab);4 abcabacb2.1122112;2(3c(ab).2cababababxxxxabab 如果则若则若则当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号 2:1a0,b0,4a b 1,ab;2x2,;3x
11、0,y0,xy 142,4.9xxxy 【典例】解下列问题已知且求 的最大值已知求的最小值已知且求的最小值 14244,1114,282111,.41 61 6114142,4421 61114,28 1:a0,b0,4 ab1,.a b:a0,b0,4 ab1,21.1,6.a baba ba bababa ba baba ba babab解解 法 一当 且 仅 当即时等 号 成 立所 以的 最 大 值 为解 法 二当 且 仅 当即时等 号 成 立所 以的 最 大 值 为 44422 2(2)262x2,x 20,22242,24,x4.2,6xxxxxxxxxx 当且仅当即时等号成立所以的
12、最小值为 49494949()1313225,21,4953x0,y0,xy1,49,3,523,.25.5549yxyxxyxyxyxyxyxyxyxyxxyyxyxyxy当且仅当时等号成立 由得当时取等号所以的最小为值 1,.2,1.1,2,31.3xy2,11,249492?.xyxyxyxy反思感悟求最值时 要注意“一正 二定 三相等”一定要明确什么时候等号成立学好基本不等式 关键是灵活应用 添常数、配系数、“”的代换是常用到的方法 在本例中解法二采用了配系数中采用了添常数中利用了“”的代换如果中若则如何用“”的代换 显然故类型三类型三 利用均值不等式解应用题利用均值不等式解应用题 解
13、题准备解题准备:均值不等式作为求最值的常用工具均值不等式作为求最值的常用工具,经常在有关最经常在有关最优解的实际问题中应用优解的实际问题中应用.应用均值不等式解决实际问题的应用均值不等式解决实际问题的根本步骤是根本步骤是:仔细阅读题目仔细阅读题目,透彻理解题意透彻理解题意;分析实际分析实际问题中的数量关系问题中的数量关系,引入未知数引入未知数,并用它表示其它的变量并用它表示其它的变量,把要求最值的变量设为函数把要求最值的变量设为函数;应用均值不等式求出函数应用均值不等式求出函数的最值的最值;复原实际问题复原实际问题,作出解答作出解答.【典例【典例3 3】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为】某工
14、厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2200 m2的的三级污水处理池三级污水处理池(平面图如下图平面图如下图).).如果池四周围墙建造单如果池四周围墙建造单价为价为400400元元/m,/m,中间两道隔墙建造单价为中间两道隔墙建造单价为248248元元/m,/m,池底建造池底建造单价为单价为8080元元/m2,/m2,水池所有墙的厚度忽略不计水池所有墙的厚度忽略不计.(1)(1)试设计污水处理池的长和宽试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低使总造价最低,并求出最低并求出最低总造价总造价;(2)(2)假设由于地形限制假设由于地形限制,该池的长和宽都不能超过该池的长和宽都不能超过16 m,16
15、 m,试设试设计污水池的长和宽计污水池的长和宽,使总造价最低使总造价最低,并求出最低总造价并求出最低总造价.200,200200(1)2400240024x m,y,280018160004480828020080025920025920010,x18 m,y6000280016000259200800,.18 19,00m,4mxyxxxxxxxxxm解 设 污 水 处 理 池 的 长 为则 宽 为再 设 总 造 价 为元 则 有当 且 仅 当即时取 得 最 小 值当 污 水 池 的 长 为宽 为时 总 造 价 最 低 为4800.元 20 x16,016,12.5x16,x18,12.5,
16、16200,.()32480016000(12.516).1,xyxxxx 不能用基本不等式 但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间上是减函数 从而利用单调性求得最小值由知 1212121212121212xx12.5,16,xx,xxxx,yx12.5,16.x1645000,16 m,11800(12)324800()(32412.5 m,450)00.0.xxxxxxx xx x对任意、设则故在上为减函数从而有当污水池的长度为宽为时有最低总造价 最低总造价为元 反思感悟反思感悟 不等式应用的特点是不等式应用的特点是:(1):(1)问题的背景是人们关问题的背景是人们关心的社会热点问题心的社会热点问题,如如“物价物价 税收税收 销售销售 市场信息等市场信息等,题目往往篇幅较长题目往往篇幅较长.(2).(2)建立函数模型常见的有建立函数模型常见的有“正正(反反)比比例函数例函数 一次函数一次函数 二次函数二次函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 三角函三角函数数,以及以及 等形式等形式.解函数应用题中的解函数应用题中的最值问题一般利用二次函数的性质或根本不等式来解决最值问题
