1、北京曲一线图书策划有限公司 2024版5年高考3年模拟A版3.5函数与方程及函数的综合应用考点一函数的零点1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)=2|x|,x2,(x2)2,x2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.5答案A由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=|x2|+1,x0,3x2,x0, f(2)=3-log22=20,f(4)=64-log24=32-20,包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.3.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()A.14,0B
2、.0,14C.14,12D.12,34答案C显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=ex与y=3-4x的图象,由图象知函数f(x)=ex+4x-3的零点一定落在区间0,34内,又f14=4e-20.故选C.评析本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难度试题.4.(2016山东文,15,5分)已知函数f(x)=|x|,xm,x22mx+4m,xm,其中m0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+)解析f(x)的图象如图所示,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m23或m0
3、,所以m3.方法总结分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决.评析本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题.5.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)=x2+(4a3)x+3a,x0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案13,23解析函数f(x)在R上单调递减,4a320,0a1,3a1,解得13a34.在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|与y=2-x3的图象,如图所示.方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的
4、图象与y=2-x3的图象恰有两个交点,则需满足3a2,得a23,综上可知,13a23.易错警示(1)f(x)在R上单调递减,需满足4a320,0aa.若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-,0)(1,+)解析当a1时, f(x)的图象如图所示,当b(a2,a3时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=3b,x2=b.综上,a(-,0)(1,+).7.(2015北京理,14,5分)设函数f(x)=2xa,x1,4(xa)(x2a),x1.若a=1,则f(x)的最小值为;若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案-112,12,+)解析
5、当a=1时, f(x)=2x1,x1,4(x1)(x2),x1,其大致图象如图所示:由图可知f(x)的最小值为-1.当a0时,显然函数f(x)无零点;当0a1时,易知f(x)在(-,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x1时, f(x)有且只有一个零点,结合图象可知,2a1,即a12,则12a1,由二次函数的性质可知,当x1时, f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-,1)上无零点,则2-a0,即a2.综上可知,满足条件的a的取值范围是12,12,+).8.(2015湖北文,13,5分)函数f(x)=2sin xsinx+2-x2的零点个数为.答案2解
6、析f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin 2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin 2x与y2=x2的图象如图所示:由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.9.(2021北京,15,5分)已知f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:若k=0,则f(x)有两个零点;k0,使得f(x)有一个零点;k0,使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是.答案解析令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,所以f(x)的零
7、点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有两个交点,则f(x)有两个零点,故正确;当k0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=lg x(x1)的图象相切,此时h(x)与g(x)的图象有两个交点,当0kk0时,g(x)与h(x)的图象有三个交点,则f(x)有三个零点,故正确;当k0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有两个交点,g(x)与h(x)相切时有一个交点,如图d,故正确,不正确.综上,正确结论的序号为.图a图b图c图d解题指导:由f(x)=0得|lg x|=kx+2,令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,则
8、f(x)零点个数转化为g(x)与h(x)图象的交点个数,再利用图象解决问题.考点二函数模型及应用1.(2020课标文,3,5分)如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,a12,设1ij0.若|f(x)|ax,则a的取值范围是()A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,0答案D由题意作出y=|f(x)|=x22x(x0),ln(x+1)(x0)的图象:由题意结合图象知,当a0时,y=ax与y=ln(x+1)在x0时必有交点,所以a0.当x0时,|f(x)|ax显然成立;当x0时,|f(x)|=x2-2xax,则ax-2恒成立,又x-2-2,a-2.综上,-2a0,故选D.评析本题考查了
9、函数的综合应用,考查了数形结合的能力.借助基本初等函数的图象缩小参数范围是解题关键.3.(2012课标理,12,5分)设点P在曲线y=12ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为()A.1-ln 2B.2(1-ln 2)C.1+ln 2D.2(1+ln 2)答案B由y=12ex得ex=2y,所以x=ln(2y),所以y=12ex的反函数为y=ln(2x),所以y=12ex与y=ln(2x)的图象关于直线y=x对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离,令ln(2x)=1x=1,解得x1=1,令12ex=1,解得x2=ln 2,所以两切点分别
10、为(1,ln 2)和(ln 2,1),故d=2(1-ln 2),故选B.评析本题考查了导数的应用,互为反函数的两函数图象的性质,考查了数形结合的思想.4.(2011课标理,12,5分)函数y=11x的图象与函数y=2sin x(-2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.8答案D函数y=11x=1x1和y=2sin x的图象有公共的对称中心(1,0),画出二者图象如图所示,易知y=11x与y=2sin x(-2x4)的图象共有8个交点,不妨设其横坐标为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,且x1x2x3x4x5x6x7y乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以
11、对;由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以对;在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以对;由计算式-f(b)f(a)ba可知,甲企业在0,t1这段时间内污水治理能力最弱,所以错.9.(2011湖北文,15,5分)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.答案6;10 000解析A=1 000=103,A0=0.001=10-3,M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6.设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A1,A2,则lg A1-9=lg A2-5,得lg A1-lg A2=4,即lgA1A2=4,A1A2=10 000.第 10 页 共 10 页
