1、2019年甘肃省中考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1（3分）（2019甘肃）下列四个图案中，是中心对称图形的是ABCD2（3分）（2019甘肃）在0，2，这四个数中，最小的数是A0B2CD3（3分）（2019甘肃）使得式子有意义的的取值范围是ABCD4（3分）（2019甘肃）计算的结果是ABCD5（3分）（2019甘肃）如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是ABCD6（3分）（2019甘肃）已知点在轴上，则点的坐标是ABCD7（3分）（2019甘肃）若一元二次方程的一根为，则的值为AB0C1或D2或08（3分）（
2、2019甘肃）如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则ABCD9（3分）（2019甘肃）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是参加人数平均数中位数方差甲4594935.3乙4594954.8A甲、乙两班的平均水平相同B甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C甲班的成绩比乙班的成绩稳定D甲班成绩优异的人数比乙班多10（3分）（2019甘肃）如图是二次函数的图象，对于下列说法：，当时，随的增大而减小，其中正确的是ABCD二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11（3分）（20
3、19甘肃）分解因式： 12（3分）（2019甘肃）不等式组的最小整数解是13（3分）（2019甘肃）分式方程的解为14（3分）（2019甘肃）在中，则 15（3分）（2019甘肃）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为16（3分）（2019甘肃）如图，在中，点是的中点，以、为圆心，、长为半径画弧，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为17（3分）（2019甘肃）如图，在矩形中，为上一点，把沿折叠，使点落在边上的处，则的长为18（3分）（2019甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，
4、如果第幅图中有2019个菱形，则三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19（4分）（2019甘肃）计算：20（4分）（2019甘肃）如图，在中，点是上一点，连接，求作一点，使得点到和两边的距离相等，并且到点和点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）21（6分）（2019甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？22（6分）（
5、2019甘肃）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制中小学楼梯宽度的范围是含，高度的范围是（含如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，各踏步互相平行，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定（结果精确到，参考数据：，23（6分）（2019甘肃）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果；（2）若，都是方程的解时，则小明
6、获胜；若，都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24（7分）（2019甘肃）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级
7、：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级七年级01041八年级1581（说明：90分及以上为优秀，分（不含90分）为良好，分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级平均数中位数众数七年级7575八年级77.580得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数25（7分）（2019甘肃）如图，一
8、次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点与点关于轴对称，求的面积；（3）若，、，是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系26（8分）（2019甘肃）如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点（1）证明：；（2）连接，证明：27（8分）（2019甘肃）如图，在中，以为直径的交于点，切线交于点（1）求证：；（2）若，求的长28（10分）（2019甘肃）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标
9、；（3）点是二次函数第四象限图象上一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标2019年甘肃省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.1（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是ABCD【考点】中心对称图形【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：此图案是中心对称图形，符合题意；此图案不是中心对称图形，不合题意；此图案不是中心对称图形，不合题意；此图案不是中心对称图形，不合题意；故选：2（3分）在0，2，这四个数中，最小的数是A0B2CD【考点】有理数大小比较【分析】正实数都大于0，
10、负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得，所以最小的数是故选：3（3分）使得式子有意义的的取值范围是ABCD【考点】二次根式有意义的条件【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案【解答】解：使得式子有意义，则：，解得：，即的取值范围是：故选：4（3分）计算的结果是ABCD【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案【解答】解：故选：5（3分）如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是ABCD【考点】平行线的性质
11、【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案【解答】解：将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，故选：6（3分）已知点在轴上，则点的坐标是ABCD【考点】点的坐标【分析】直接利用关于轴上点的坐标特点得出的值，进而得出答案【解答】解：点在轴上，解得：，则点的坐标是：故选：7（3分）若一元二次方程的一根为，则的值为AB0C1或D2或0【考点】一元二次方程的解【分析】把代入方程计算即可求出的值【解答】解：把代入方程得：，解得：，故选：8（3分）如图，是的直径，点、是圆上两点，且，则ABCD【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【分析】由，可求得的度数，然后由圆周角定理，求得的度数【解
12、答】解：，故选：9（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是参加人数平均数中位数方差甲4594935.3乙4594954.8A甲、乙两班的平均水平相同B甲、乙两班竞赛成绩的众数相同C甲班的成绩比乙班的成绩稳定D甲班成绩优异的人数比乙班多【考点】众数；算术平均数；中位数；方差【分析】由两个班的平均数相同得出选项正确；由众数的定义得出选项不正确；由方差的性质得出选项不正确；由两个班的中位数得出选项不正确；即可得出结论【解答】解：、甲、乙两班的平均水平相同；正确；、甲、乙两
13、班竞赛成绩的众数相同；不正确；、甲班的成绩比乙班的成绩稳定；不正确；、甲班成绩优异的人数比乙班多；不正确；故选：10（3分）如图是二次函数的图象，对于下列说法：，当时，随的增大而减小，其中正确的是ABCD【考点】二次函数图象与系数的关系【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：由图象可知：，故错误；由于对称轴可知：，故正确；由于抛物线与轴有两个交点，故正确；由图象可知：时，故正确；当时，随着的增大而增大，故错误；故选：二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11（3分）分解因式：【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式，再利用平方差公式对因式进行分解【解
14、答】解：，12（3分）不等式组的最小整数解是0【考点】一元一次不等式组的整数解【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可【解答】解：不等式组整理得：，不等式组的解集为，则最小的整数解为0，故答案为：013（3分）分式方程的解为【考点】解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解故答案为：14（3分）在中，则【考点】特殊角的三角函数值【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解【解答】解：利用三角函数的定义及勾股定理求解在中，设，则，故答案为：1
15、5（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为【考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为，高为，三棱柱的高为3，所以，其表面积为故答案为16（3分）如图，在中，点是的中点，以、为圆心，、长为半径画弧，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为【考点】等腰直角三角形；扇形面积的计算【分析】根据，计算即可【解答】解：在中，是的中点，故答案为：17（3分）如图，在矩形中，
16、为上一点，把沿折叠，使点落在边上的处，则的长为【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】设，则由折叠性质可知，所以，在中，即，解得【解答】解：设，则由折叠性质可知，在中，在中，即，解得，故答案为18（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第幅图中有2019个菱形，则1010【考点】规律型：图形的变化类【分析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有个，第3幅图中有个，可以发现，每个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个第2幅图中有个第3幅图中有个第4幅图中
17、有个可以发现，每个图形都比前一个图形多2个故第幅图中共有个当图中有2019个菱形时，故答案为：1010三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.19（4分）计算：【考点】负整数指数幂；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值等4个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式，20（4分）如图，在中，点是上一点，连接，求作一点，使得点到和两边的距离相等，并且到点和点的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）【考点】线段垂直平分线的性质；作图复杂
18、作图；角平分线的性质【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可【解答】解：如图，点即为所求，21（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【考点】一元一次方程的应用【分析】设共有人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果【解答】解：设共有人，根据题意得：，去分母得：，解得：，则共有39人，15辆车22（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和
19、高度都要加以限制中小学楼梯宽度的范围是含，高度的范围是（含如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：，分别垂直平分踏步，各踏步互相平行，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定（结果精确到，参考数据：，【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题；线段垂直平分线的性质【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得和的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题【解答】解：连接，作于点，分别垂直平分踏步，四边形是平行四边形，该中学楼梯踏步的高度符合规定，该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定23（6分）在甲
20、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果；（2）若，都是方程的解时，则小明获胜；若，都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【考点】列表法与树状图法；解一元二次方程因式分解法【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）
21、树状图如图所示：（2），都是方程的解，或，由树状图得：共有12个等可能的结果，都是方程的解的结果有2个，都不是方程的解的结果有2个，小明获胜的概率为，小利获胜的概率为，小明、小利获胜的概率一样大四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤24（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查
22、，过程如下：收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50整理数据：年级七年级01041八年级1581（说明：90分及以上为优秀，分（不含90分）为良好，分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）分析数据：年级平均数中位数众数七年级76.87575八年级77.580得出结论：（1）根据上述数据，将表格补充完整；（2）可以推断出年级学生的体质健康状况更好一些
23、，并说明理由；（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数【考点】算术平均数；用样本估计总体；中位数；频数（率分布表；众数【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果【解答】解：（1）七年级的平均数为，八年级的众数为81；故答案为：76.8；81；（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；（3）若七年级共有300名学生，
24、则七年级体质健康成绩优秀的学生人数（人25（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点与点关于轴对称，求的面积；（3）若，、，是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题（2）根据对称性求出点坐标，发现轴，利用三角形的面积公式计算即可（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可【解答】解：（1）反比例函数经过点，点在上，把，坐标代入，则有，解得，一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为（2）直线交轴于，关于轴对称，轴，（3），、，是反比例函数上
25、的两点，且，26（8分）如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点（1）证明：；（2）连接，证明：【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到，即可得出；（2）延长交的延长线于，根据，即可得出是的中点，进而得到【解答】解：（1）四边形是正方形，又，；（2）如图所示，延长交的延长线于，是的中点，又，即是的中点，又，中，27（8分）如图，在中，以为直径的交于点，切线交于点（1）求证：；（2）若，求的长【考点】圆周角定理；切线的性质【分析】（1）只要证明，即可解决问题；（2）首先证明，在中，设，在中，在中，可得，解方程即可解决问题【
26、解答】（1）证明：连接，是切线，（2）解：连接，是的直径，是的切线，在中，设，在中，在中，解得，28（10分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）若点为抛物线上的一点，点为对称轴上的一点，且以点、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）点是二次函数第四象限图象上一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标【考点】二次函数综合题【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用，即可求解【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：；故二次函数表达式为：；（2）当为平行四边形一条边时，如图1，则，则点坐标为，当点在对称轴左侧时，即点的位置，点、为顶点的四边形为平行四边形，故：点或；当是四边形的对角线时，如图2，中点坐标为设点的横坐标为，点的横坐标为2，其中点坐标为：，即：，解得：，故点；故：点或或；（3）直线的表达式为：，设点坐标为，则点，故四边形面积有最大值，当，其最大值为，此时点，第26页（共26页）
