1、2016届九年级下学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分）13的相反数是（）A3BC3D2如图是几何体的三视图，该几何体是（）A圆锥B圆柱C正三棱柱D正三棱锥3分解因式x2yy3结果正确的是（）Ay（x+y）2By（xy）2Cy（x2y2）Dy（x+y）（xy）4面积是15cm2的正方形，它的边长的大小在（）A1cm与2cm之间B2cm与3cm之间C3cm与4cm之间D4cm与5cm之间5若ADBE，且ACB=90，CBE=30，则CAD的度数为（）A30B40C50D606若ABCABC，相似比为1：2，则ABC与ABC的面积的比为（）A1：2B2：1C1：
2、4D4：17如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n（）A2B3C4D58如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ABAC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A8B9C10D119如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A1，2，3B1，1，C1，1，D1，2，10如图，ABC中，ACB=90，A=30，AB=16点P是斜边AB上一点过点P作PQAB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）ABCD二、
3、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）112014年底我县人口约370000人，将370000用科学记数法表示为12计算：|2|（3）0+2cos45=13如图，在ABC中，A=45，B=30，CDAB，垂足为D，CD=1，则AB的长为14二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出下列五条结论：abc0；4acb20；4a+c2b；3b+2c0；m（am+b）+ba（m1）其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填写在横线上）三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）15解一元一次不等式组：，并将解集在数轴上表示出来16如果实数x、y满足方程组，求代数式（+2）四、（
4、本大题共5小题，每小题8分，满分48分）17某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：自选项目人数频率立定跳远90.18三级蛙跳12a一分钟跳绳80.16投掷实心球b0.32推铅球50.10合计501（1）求a，b的值；（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中有一名女生的概率18如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=A
5、F，CE、BF交于点P（1）求证：CE=BF；（2）求BPC的度数19某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？20已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A
6、的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，2），tanBOC=（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得BCE与BCO的面积相等，求出点E的坐标21如图，AB是O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长七、（本题满分12分）22如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线
7、上是否存在点P，使POB=90？若存在，求出点P的坐标，并求出POB的面积；若不存在，请说明理由八、（本题满分14分）23如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去（1）图2中的EFD是经过两次操作后得到的，其形状为，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH请判断四边形EFGH的形状为，此时AE与BF的数量关系是；以中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EF
8、GH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围2016届九年级下学期第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每小题4分，满分40分）13的相反数是（）A3BC3D【考点】相反数【分析】根据相反数的概念解答即可【解答】解：互为相反数相加等于0，3的相反数是3故选：A【点评】此题主要考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是02如图是几何体的三视图，该几何体是（）A圆锥B圆柱C正三棱柱D正三棱锥【考点】由三视图判断几何体【分析】如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得
9、出该几何体的形状【解答】解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱故选：C【点评】本题是个简单题，主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力3分解因式x2yy3结果正确的是（）Ay（x+y）2By（xy）2Cy（x2y2）Dy（x+y）（xy）【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式y，进而利用平方差公式进行分解即可【解答】解：x2yy3=y（x2y2）=y（x+y）（xy）故选：D【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键4面积是15cm2的正方形，它的边长的大小在（）A
10、1cm与2cm之间B2cm与3cm之间C3cm与4cm之间D4cm与5cm之间【考点】估算无理数的大小【分析】根据正方形的面积先求出正方形的边长，然后估算即可得出答案【解答】解：设正方形的边长为x，因为正方形面积是15cm，所以x2=15，故x=；91516，34；故选C【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题5若ADBE，且ACB=90，CBE=30，则CAD的度数为（）A30B40C50D60【考点】平行线的性质【分析】延长AC交BE于F，根据直角三角形两锐角互余求出1，再根据两直线平行，内错角相等可得CAD=1【解答】解：如图，延长AC交
11、BE于F，ACB=90，CBE=30，1=9030=60，ADBE，CAD=1=60故选D【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键6若ABCABC，相似比为1：2，则ABC与ABC的面积的比为（）A1：2B2：1C1：4D4：1【考点】相似三角形的性质【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解【解答】解：ABCABC，相似比为1：2，ABC与ABC的面积的比为1：4故选：C【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键7如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n（
12、）A2B3C4D5【考点】图形的剪拼【分析】利用矩形的性质以及正方形的性质，结合勾股定理得出分割方法即可【解答】解：如图所示：将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n可以为：3，4，5，故n2故选：A【点评】此题主要考查了图形的剪拼，得出正方形的边长是解题关键8如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ABAC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A8B9C10D11【考点】平行四边形的性质；勾股定理【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长【解答】解：ABCD的对角线AC与BD相交于点O，BO=DO，AO=CO，ABAC，AB=
13、4，AC=6，BO=5，BD=2BO=10，故选：C【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是2016届中考常见题型，比较简单9如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A1，2，3B1，1，C1，1，D1，2，【考点】解直角三角形【专题】新定义【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120，底角30的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90，60，
14、30的直角三角形，依此即可作出判定【解答】解：A、1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120，底角30的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90，60，30的直角三角形，其中9030=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确故选：D【点评】考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念10如图，ABC中，ACB=90，A=30，AB=16点P是斜边AB上一点过点P作PQAB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，APQ的
15、面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）ABCD【考点】动点问题的函数图象【专题】数形结合【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可【解答】解：当点Q在AC上时，A=30，AP=x，PQ=xtan30=，y=APPQ=x=x2；当点Q在BC上时，如下图所示：AP=x，AB=16，A=30，BP=16x，B=60，PQ=BPtan60=（16x）=该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下故选：B【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）112014年底我县人口约370000人
16、，将370000用科学记数法表示为3.7105【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：将370000用科学记数法表示为：3.7105故答案为：3.7105【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值12计算：|2|（3）0+2cos45=【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值【分
17、析】分别进行绝对值、零指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值即可【解答】解：原式=21+2=1+故答案为：1+【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值，掌握各部分的运算法则是关键13如图，在ABC中，A=45，B=30，CDAB，垂足为D，CD=1，则AB的长为1+【考点】解直角三角形【专题】计算题【分析】在直角三角形BCD中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，根据CD的长求出BC的长，利用勾股定理求出BD的长，在直角三角形ACD中，根据A的度数确定出此三角形为等腰直角三角形，得出AD=CD=1，由AD+DB即可求出AB的长【解答】解：在RtBCD中，B
18、=30，CD=1，BC=2CD=2，根据勾股定理得：BD=，在RtACD中，A=45，CD=1，AD=CD=1，则AB=AD+DB=1+故答案为：1+【点评】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，含30度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键14二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出下列五条结论：abc0；4acb20；4a+c2b；3b+2c0；m（am+b）+ba（m1）其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填写在横线上）【考点】二次函数图象与系数的关系【专题】二次函数图象及其性质；二次函数的应用【分析】根据抛物线开口方向、对称轴
19、、与y轴交点可判断；根据抛物线与x轴交点个数可判断；根据x=0与x=2关于对称轴x=1对称，且x=0时y0，可判断；根据x=1时，y0，且对称轴为x=1可判断；由抛物线在x=1时有最大值，可判断【解答】解：由抛物线图象得：开口向下，即a0；c0，=10，即b=2a0，abc0，选项错误；抛物线图象与x轴有两个交点，=b24ac0，即4acb20，选项正确；抛物线对称轴为x=1，且x=0时，y0，当x=2时，y=4a2b+c0，即4a+c2b，选项错误；抛物线对称轴x=1，即=1，a=，由图象可知，当x=1时，y=a+b+c=+c0，故3b+2c0，选项正确；由图象可知，当x=1时y取得最大值，
20、m1，am2+bm+cab+c，即am2+bm+ba，m（am+b）+ba，选项正确；故答案为：【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键三、（本大题2小题，每小题8分，满分16分）15解一元一次不等式组：，并将解集在数轴上表示出来【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集【专题】计算题【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可【解答】解：由得，x1，由得，x4，故此不等式组的解集为：1x4在数轴上表示为：【点评】本题考查的是解一
21、元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键16如果实数x、y满足方程组，求代数式（+2）【考点】分式的化简求值；解二元一次方程组【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值【解答】解：原式=（x+y）+2（x+y）=xy+2x+2y，方程组，解得：，当x=3，y=1时，原式=3+62=1【点评】此题考查了分式的化简求值，解二元一次方程组，掌握分式的化简方法与解方程组的方法是解决问题的关键四、（本大题共5小题，每小题8分，满分48分）17某校
22、初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：自选项目人数频率立定跳远90.18三级蛙跳12a一分钟跳绳80.16投掷实心球b0.32推铅球50.10合计501（1）求a，b的值；（2）若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；（3）在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生，为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中有一名女生的概率【考点】游戏公平性；简单的枚举法；扇形统计图【专题】图表型【分析】（1）根据表格求出a与b的值即可；（2）根据表示做出
23、扇形统计图，求出“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出抽取的两名学生中至多有一名女生的情况，即可求出所求概率【解答】解：（1）根据题意得：a=1（0.18+0.16+0.32+0.10）=0.24；b=0.32=16；（2）作出扇形统计图，如图所示：根据题意得：3600.16=57.6；（3）男生编号为A、B、C，女生编号为D、E，由枚举法可得：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种，其中DE为女女组合，AB、AC、BC是男生组合，抽取的两名学生中至多有一名女生的概率为：【点评】此题考查了游戏公平性，扇形统计图，列表法与树状
24、图法，弄清题意是解本题的关键18如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P（1）求证：CE=BF；（2）求BPC的度数【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】（1）欲证明CE=BF，只需证得BCEABF；（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到BCE=ABF，则由图示知PBC+PCB=PBC+ABF=ABC=60，即PBC+PCB=60，所以根据三角形内角和定理求得BPC=120【解答】（1）证明：如图，ABC是等边三角形，BC=AB，A=EBC=60，在BCE与ABF中，BCEABF（SAS），CE=BF；（2）解：由（1）知BC
25、EABF，BCE=ABF，PBC+PCB=PBC+ABF=ABC=60，即PBC+PCB=60，BPC=18060=120即：BPC=120【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件19某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的
26、绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用【专题】工程问题【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；（2）设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：=4，解得：x=50，经检验x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是502=100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的
27、面积分别是100m2、50m2；（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：0.4y+0.258，解得：y10，答：至少应安排甲队工作10天【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验20已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，2），tanBOC=（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得BCE与BCO的面积相等，求出点E的坐标【考点】反比例函数综合题【分析】（1）过
28、B点作BDx轴，垂足为D，由B（n，2）得BD=2，由tanBOC=，解直角三角形求OD，确定B点坐标，得出反比例函数关系式，再由A、B两点横坐标与纵坐标的积相等求n的值，由“两点法”求直线AB的解析式；（2）点E为x轴上的点，要使得BCE与BCO的面积相等，只需要CE=CO即可，根据直线AB解析式求CO，再确定E点坐标【解答】解：（1）过B点作BDx轴，垂足为D，B（n，2），BD=2，在RtOBD中，tanBOC=，即=，解得OD=5，又B点在第三象限，B（5，2），将B（5，2）代入y=中，得k=xy=10，反比例函数解析式为y=，将A（2，m）代入y=中，得m=5，A（2，5），将A（
29、2，5），B（5，2）代入y=ax+b中，得，解得则一次函数解析式为y=x+3；（2）由y=x+3得C（3，0），即OC=3，SBCE=SBCO，CE=OC=3，OE=6，即E（6，0）【点评】本题考查了反比例函数的综合运用关键是通过解直角三角形确定B点坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特求A点坐标，求出反比例函数解析式，一次函数解析式21如图，AB是O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【专题】几何综合题【
30、分析】（1）根据圆周角的定理，APB=90，P是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OPAC，从而得出ACB0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得PA【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，AB是O的直径且P是的中点，PAB=PBA=45，APB=90，又在等腰三角形APB中有AB=13，PA=（2）如图（2）所示：连接BCOP相交于M点，作PNAB于点N，P点为弧BC的中点，OPBC，OMB=90，又因为AB为直径ACB=90，ACB=OMB，OPAC，CAB=POB，又因为A
31、CB=ONP=90，ACB0NP=，又AB=13 AC=5 OP=，代入得 ON=，AN=OA+ON=9在RtOPN中，有NP2=0P2ON2=36在RtANP中 有PA=3PA=3【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键七、（本题满分12分）22如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使POB=9
32、0？若存在，求出点P的坐标，并求出POB的面积；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【专题】压轴题【分析】（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OBOP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标求POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出BOP的
33、面积【解答】解：函数的图象与x轴相交于O，0=k+1，k=1，y=x23x，假设存在点B，过点B做BDx轴于点D，AOB的面积等于6，AOBD=6，当0=x23x，x（x3）=0，解得：x=0或3，AO=3，BD=4 即4=x23x， 解得：x=4或x=1（舍去）又顶点坐标为：（ 1.5，2.25）2.254，x轴下方不存在B点，点B的坐标为：（4，4）；点B的坐标为：（4，4），BOD=45，BO=4，当POB=90，POD=45，设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x23x，即x=x23x，解得x=2 或x=0，在抛物线上仅存在一点P （2，2）OP=2，使POB=90，POB的面积为：POB
34、O=42=8【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键八、（本题满分14分）23如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去（1）图2中的EFD是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数
35、量关系是AE=BF；以中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围【考点】几何变换综合题【分析】（1）由旋转性质，易得EFD是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出EF的长；（2）四边形EFGH的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明AE=BF；求面积y的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及y的取值范围【解答】解：（1）如题图2，由旋转性质可知EF=DF=DE，则DEF为等边三角形在RtADE与RtCDF中，RtADERtCDF（HL）AE=CF设AE=CF=x，则BE=BF=4xBEF为等腰直角三角形EF=B
36、F=（4x）DE=DF=EF=（4x）在RtADE中，由勾股定理得：AE2+AD2=DE2，即：x2+42=（4x）2，解得：x1=84，x2=8+4（舍去）EF=（4x）=44DEF的形状为等边三角形，EF的长为44（2）四边形EFGH的形状为正方形，此时AE=BF理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：由旋转性质可知，EF=FG=GH=HE，EFG=90，四边形EFGH的形状为正方形1+2=90，2+3=90，1=33+4=90，2+3=90，2=4在AEH与BFE中，AEHBFE（ASA）AE=BF利用中结论，易证AEH、BFE、CGF、DHG均为全等三角形，BF=CG=DH=AE=x，AH=BE=CF=DG=4xy=S正方形ABCD4SAEH=444x（4x）=2x28x+16y=2x28x+16（0x4）y=2x28x+16=2（x2）2+8，当x=2时，y取得最小值8；当x=0时，y=16，y的取值范围为：8y16【点评】本题是几何变换综合题，以旋转变换为背景考查了正方形、全等三角形、等边三角形、等腰直角三角形、勾股定理、二次函数等知识点本题难度不大，着重对于几何基础知识的考查，是一道好题
