1、12.3分式的加减1.使学生会运用同分母分式的加减法的法则进行运算.2.使学生理解并学会通分,并能进行异分母分式的加减运算以及四则混合运算.通过对计算过程的反思,获得解决问题的经验,体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.激发学生强烈的求知欲望,培养学生对数学学习的感受,并使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验.【重点】同分母的分式加减法及异分母的分式的加减法.【难点】分式的分母是多项式的分式的加减法.第课时1.会利用分式的基本性质对分式进行通分.2.理解分式的加减法法则,并会运用它进行分式的加减法运算.1.通过同分母、异分母分式的加减法运算,复习整式的加减法运算、多项式去括号的法则,
2、培养学生分式运算的能力.2.渗透类比、化归等数学思想方法,培养学生计算的能力.在探究分式加减法法则的活动中,培养学生良好的学习习惯,培养学生运用数学的意识.【重点】运用分式加减法的运算法则进行分式的加减运算.【难点】异分母分式的加减法运算.【教师准备】课件18.【学生准备】复习分数的通分和分数的加减法法则.导入一:【课件1】大约公元250年前后,希腊数学家丢番图研究一个数学问题:如何把42写成两个数的平方和的形式,即42=x2+y2,演算过程中出现了=16.由于16=42,于是他求得了一组解:x=,y=.这个问题还有其他的解吗?=16,用到了什么法则呢?你能计算吗?设计意图将数学问题融入具体故
3、事情境,根据有趣味性的问题,使学生积极主动地投入到数学活动中去,从而调动学生学习的积极性.导入二:【课件2】甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?【思路点拨】这是一道实际应用问题,主要是以“模型”的思想建立分式加减的代数式,首先应找出甲、乙工程队每一天的工作效率,分别是甲队为,乙队为,然后用和的运算得到两队共同工作一天的分式模型:.【教师活动】组织学生小组合作交流,引导学生回顾曾经学过的有关“工效”问题的应用题的列式方法,并提问个别学生.【学生活动】小组合作交流,对问题取得共识有下面两点:(1)明确是“工效”(以前学过)模
4、型;(2)所列代数式是分式加法的形式,这是未学过的运算问题.【提出问题】那么,怎样来计算分式的加法呢?设计意图以实际问题引入新课,提高学生学习的兴趣,同时也为探究本节课的内容打下基础.导入三:过渡语我们学习过分数的加减法,我们一起来回顾一下:(1)什么叫通分?通分的作用是什么?(2)通分的关键是什么?(3)什么叫最简公分母?教师提问,学生回忆,引出课题,并板书课题.设计意图复习旧知识,引出新知识,为本节课的学习做铺垫.活动一:一起探究同分母分式加减法思路一过渡语下面我们先观察分数的加减法运算,请你说出分数的加减法运算的法则.【课件3】计算:,-.学生计算,并说出分数的加减法法则.教师根据情况板
5、演:,-.【课件4】类比同分母分数的加减法运算法则,完成下面同分母分式的加减运算:(1)=;(2)=;(3)-=;(4)-=.答案:(1)(2)(3)(4)过渡语同分母分式的加减法的实质与同分母分数的加减法相同,你能说出分式的加减法法则吗?学生同桌之间互说,再全班交流.教师板书:同分母的两个分式相加(减),分母不变,把分子相加(减).用式子表示为:.思路二师:想一想:(1)同分母的分数如何加减?你能举例说明吗?(2)你认为分母相同的分式应该如何加减?【学生活动】讨论得出如下内容:同分母的分数的加减是分母不变,把分子相加减.例如:.分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样,应该是分母不变,把
6、分子相加减.师:现在请你举出几个分母相同的分式的加减法,猜想一下,怎样进行计算?【学生活动】小组交流,举例说明.师:你能将它推广,得出分式的加减法法则吗?说明:教师提出问题,学生列出算式后,小组讨论,得到同分母分式的加减法法则.归纳:同分母的分式加减法法则:同分母的两个分式相加(减),分母不变,把分子相加(减).用式子表示为:.教师根据学生归纳的情况,适当点评,并板书.设计意图从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系.类比分数的加减法运算,学生很容易得出同分母的分式的加减法法则.活动二:例题讲解【课件5】计算下列各式:(1)-;(2);(3).解析(1)和(2)可直接应用同分母分式的加
7、减法法则进行计算;(3)中的第2个分母与其他两个分母互为相反数,可提取“-”号变成相同的.说明:让学生独立完成,然后全班讲评.解:(1)-.(2).(3)=.教师在解题时强调分式计算的结果必须化为最简分式或整式.可以向学生简单介绍最简分式的有关知识,可与最简分数相类比.引导学生总结:(1)分子如果是一个多项式,此时分数线还具有括号的作用;(2)最后结果应化成最简分式或整式.设计意图通过例题,进一步提高学生对同分母分式加减法的认识,为熟练进行异分母分式加减打下基础.活动三:异分母分式相加减过渡语刚才我们研究了同分母分式的加减法,现在来看一下异分母分式的加减法.1.观察与思考法则的探究【课件6】观
8、察与思考:(1)异分母两个分数相加减,是将其化为同分母分数的加减法来进行的.如:.(2)类比异分母分数的加减,异分母分式的加减应当怎样进行呢?(3)试计算:.小组讨论,选派代表发言.小组讨论后得出:与异分母分数加减类似,异分母分式相加减也应该先通分,化成同分母的分式,然后按同分母分式加减法法则进行计算,关键是如何通分.【课件7】教师根据上述内容进行说明,然后交代:像这样,把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式,叫做分式的通分,这个相同的分母叫做这几个分式的公分母.几个分式的公分母不止一个,通分时一般选取最简公分母.知识拓展确定最简公分母的方法:(1)取各分母系数的最小公倍数作为公分母的
9、系数;(2)取各分母中相同因数的最高次幂作为公分母的因式;(3)各分母中出现的因式都必须出现在公分母中.如ac,mac(m为非0整式)都是分式,的公分母,但ac是最简公分母.【提出问题】请你根据异分母分数的加减法法则,总结一下异分母分式的加减法法则?归纳:异分母的分式加减法法则.语言表述:异分母的两个分式相加(减),先通分,化为同分母的分式,再相加(减).字母表示为:.活动四:例题讲解【课件8】计算下列各式:(1)-;(2).引导学生独立完成.解:(1)-.(2).设计意图通过讨论并解决分式的通分,使学生掌握把异分母分式转化为同分母分式的方法,培养学生转化的思想,提高学生解决问题的能力.1.同
10、分母的分式相加减,分母不变,只需要分子作加减运算,但注意每个分子是个整体,要适时添上括号.2.异分母分式的加减运算,首先观察每个分式是否为最简分式,能约分的先约分,使分式简化,然后再通分.通分时,先确定分式的最简公分母,再确定各分母所要乘的因式,然后根据分式的基本性质把异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式.确定最简公分母的方法:如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积,注意所有的不同字母都要写在积里;如果各分母都是多项式,就要先把它们分解因式,然后把每个因式当成一个因式(或一个字母),再按照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式和不同因
11、式三个方面去找.3.对于整式与分式之间的加减运算,则把整式看成一个整体,即看成分母为1的代数式,以便通分.4.作为最后结果,如果是分式则应该是最简分式.设计意图及时反馈学生学习的情况,让学生对自己的学习反思,在交流中与同学分享,体验到学习数学的快乐.1.(2015义乌中考)化简的结果是()A.x+1B.C.x-1D.解析:原式=-=x+1.故选A.2.(2015济南中考)化简-的结果是()A.m+3B.m-3C.D.解析:原式=m+3.故选A.3.(2015江西中考)下列运算正确的是()A.(2a2)3=6a6B.-a2b23ab3=-3a2b5C.=-1D.=-1解析:A.原式=8a6,错误
12、;B.原式=-3a3b5,错误;C.原式=-1,正确;D.原式=,错误.故选C.4.(2015山西中考)化简-的结果是()A.B.C.D.解析:原式=-.故选A.5.(2015百色中考)化简-的结果为()A.B.C.D.解析:原式=-.故选C.6.分式的计算结果是()A.B.C.D.解析:原式=.故选D.7.计算-=.解析:原式=-.故填.8.按要求化简.解答过程解答步骤说明解题依据(用文字或字母填写知识的名称和具体内容,每空一个)=示例:通分示例:分式的基本性质:分式的分子和分母都乘同一个不等于零的整式,分式的值不变(或异分母分式加(减)法法则:)=去括号=合并同类项此处不填=答案:括号前面
13、是“+”,去括号后括号内各项的符号不变;括号前面是“-”,去括号时,括号内各项的符号都要改变约分分式的基本性质:分式分子、分母同时除以公因式,分式的值不变9.计算.(1)-;(2)-;(3)-x-1.解析:(1)根据同分母分式减法法则计算即可.(2)首先通分,把异分母分式的减法转化为同分母分式的减法,然后根据同分母分式减法法则进行计算即可.解:(1)-=-.(2)-.(3)-x-1=-.10.已知:两个分式A=-,B=,其中x1,下面三个结论:A=B;A,B互为倒数;A,B互为相反数.这三个结论中哪一个结论正确?为什么?解析:先对A式通分,B式分母分解因式,再比较A,B的关系.解:因为A=,B
14、=,所以AB.因为AB=1,所以A,B不互为倒数.因为A+B=-=0,所以A,B互为相反数.第1课时活动一:一起探究同分母分式加减法活动二:例题讲解活动三:异分母分式相加减活动四:例题讲解一、教材作业【必做题】1.教材第14页练习第1,2,3题.2.教材第14页习题第1,2题.【选做题】教材第15页习题第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.计算-的结果是()A.1B.-1C.0D.a-52.下列运算中正确的是()A.-=a+bB.-C.-=a+bD.-3.化简的结果是()A.x+1B.x-1C.-xD.x4.计算-的值是()A.0B.1C.2D.35.计算=.6.化简的结果是.【能力提升】7
15、.已知-,则的值是.8.计算-.9.化简.10.计算+a+2.11.已知m0,n0,mn,试比较分式与分式的大小.【拓展探究】12.某同学在学习过程中,遇到这样的问题:求A=48的整数部分,百思而不得其解,于是向数学老师求教.数学老师进行了深入浅出的讲解:观察算式中每个分母中减数都是4,且被减数都在递增.先看一般情形:再看特殊情形:当a=3时,;当a=4时,.老师讲解到这里时,该同学说:“老师我知道怎么做了.”(1)请你通过化简,说明一般情形-=的正确性;(2)请你完成该同学的解答.【答案与解析】1.A(解析:利用同分母分式的减法法则进行计算即可得到结果.原式=1.)2.C(解析:-,故A选项
16、错误;-,故B选项错误;-=a+b,故C选项正确;D.-=-,故D选项错误.)3.D(解析:将分母化为同分母,再将分子因式分解、约分.原式=-=x.)4.A(解析:先通分,然后计算减法.原式=0.)5.1(解析:根据同分母分式相加,分母不变分子相加可得答案.原式=1.)6.(解析:将原式通分,并利用同分母分式的加法法则进行计算即可得到结果.原式=.)7.-2(解析:先把所给等式的左边通分,再相减,可得,可得ab=-2(a-b),再利用等式性质易求=-2.)8.解:原式=-=-.9.解:原式=1.10.解:原式=+a+2=a-2+a+2=2a.11.解:把两分式作差,得-.因为m0,n0,mn,
17、所以0,即.12.解:(1)因为左边=-=,所以左边=右边,即原式成立.(2)因为,所以A=481+-+=121+-=25-12.因为12”“1且n为整数);(3)请你对(2)中的猜想说明理由.【答案与解析】1.C(解析:A.应该等于,故不对;B.应该等于,故不对;C.正确;D.原式=a(a-1)=(a-1)2,故不对.)2.B(解析:先计算括号里的,再计算除法即可.原式=.)3.C(解析:根据题意得(n2+n)n-n=n+1-n=1,则输出答案为1.)4.D(解析:把所给式子化简,看整数解的个数即可.原式=(x-2)2=1-,要使原式的值是整数,则必须是整数2,-2,1,-1,所以x的值是0
18、,1,3,4,共4个.)5.(解析:先计算乘方,再计算乘除,最后计算减法.原式=-.)6.(解析:先将括号里面的分式的分子、分母分解因式,再通分进行分式减法计算后,最后进行分式的除法计算就可以得出结果.原式=-.)7.解:原式=a(a-2).当a=-1时,原式=-1(-1-2)=3.8.解:原式=-.因为,所以.所以原式=-2=-.9.解:因为a2+1=3a,所以a+=3,所以两边平方得a2+2=9,所以a2+=7.10.解析:(1)因为,所以;因为,所以;因为,所以.解:(1)1且n为整数,所以0,所以.本节课先让学生进行分母是多项式的异分母分式的加减运算,然后通过计算,让学生发现分式混合运
19、算的方法,学生对运算顺序掌握较好,初步达到了教学目标,突出了重点,层层推进,突破难点.以学生为中心,为重心,给足充分的时间让学生去演算,去“暴露”问题,让他们留下深刻的印象.(1)对于问题的探究过程没有完全放手让学生自主探讨,担心课堂时间紧迫,教学任务难以完成,这也是在新课程教学中经常会出现的问题.(2)对于分式的混合运算,学生计算得还是不够准确,没有养成认真检查的良好习惯.(1)整节课以练习为主,放手让学生自学,教师根据学生的典型错误点评,有针对性地讲解.(2)加强练习,使学生逐步掌握运算方法,提高运算的准确度,提升学生的计算能力.练习(教材第16页)1.解:(1)原式=.(2)原式=-=-
20、.(3)原式=.(4)原式=x-1.2.解:原式=,当x=时,原式=8.习题(教材第17页)A组1.解:(1)原式=.(2)原式=.(3)原式=.(4)原式=.(5)原式=.(6)原式=-(x+y)=-+1=1.2.解:(1)原式=1+a=1+a+b.当a=-3,b=-5时,原式=1-3-5=-7.(2)原式=-.当x=-3,y=2时,原式=.B组1.解:(1)原式=-=0.(2)原式=0.2.解:(1)原式=-=-.(2)原式=1-+1+1-1-=2-=-.整个教学过程先通过巩固分式的加减运算,同时也让学生感受到分式运算的应用,在此基础之上,引导学生进入分式混合运算的探讨和学习.在课内探讨过
21、程中,以自学和小组合作的形式呈现给学生例题,让学生去感受体验,去发现分式混合运算的运算顺序,而不是把现成的结论提供给学生.学生兴趣高涨,每一个层次的练习完成之后让学生去总结一下在解题过程中的收获,在此基础上引导学生发现解题技巧,把学生的认知提升到一个高的层面上,通过分析题目的显著特点,来灵活运用方法技巧解决问题.同时把时间和空间留给学生,让他们多一些练习,多一些巩固.先化简:,再任选一个你喜欢的数x代入求值.解析本题考查分式的化简求值,先把分式进行化简后再用选取的x的值代入求值.解:=x-2.由题意知所以x1且x2.本题答案不唯一,如当x=0时,原式=0-2=-2.解题策略(1)分式化简时,为便于化简,分子、分母是多项式的应先因式分解,分式的乘除法运算要统一为分式的乘法运算;(2)代入求值时,字母的取值一定要使所有的分式都有意义,还要注意除式不能为0的情况.
