1、28.5 弧长和扇形面积的计算一、教学目标知识目标1.了解扇形、圆锥等有关概念.2.经历探索弧长、扇形面积公式的过程.3.会计算弧长及扇形的面积.4.知道圆锥的侧面积和扇形面积之间的关系,会计算圆锥的侧面积.能力目标1.经历探索弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算公式的过程,培养学生的探索能力和归纳总结能力.2.通过应用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式解决问题,培养学生的计算能力和解决问题的能力,发展学生的应用意识.3.通过教学互动,培养学生的观察能力和抽象概括能力,理解并掌握研究实际问题的方法.情感与价值观目标1.经历探索弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算公式,让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数
2、学的严谨性以及数学结论的确定性.2.通过用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式计算,让学生获得解决问题的策略,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性.3.在探究知识的形成过程中,培养学生的合作意识和合作精神.二、教学重点 难点重点1.弧长、扇形面积公式的推导及应用.2.圆锥侧面积与扇形面积之间的关系.难点探索弧长、扇形面积、圆锥侧面积的计算公式的过程.三、教学过程复习提问:1.圆的周长如何计算?2.圆的面积如何计算?3.圆周长所对的圆心角是多少度? 设计意图通过学生感兴趣的运动会导入新课,激发学生学习兴趣,感受生活中处处有数学.通过复习和本节课有关的旧知识,为本节课探究弧长和扇形面积公式做好铺
3、垫.学习新知一、认识概念扇形:一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.如图所示,在O中,由半径OA,OB和AB所组成的图形为一个扇形.由半径OA,OB和ACB所组成的图形也是扇形.思考一个扇形对应几个圆心角?一个圆心角对应几个扇形?(在同一个圆中,一个扇形对应一个圆心角,反过来,一个圆心角对应一个扇形)知识点1、弧长和扇形面积公式思考并回答下列问题:1.圆的周长可以看成是多少度的圆心角所对的弧?(360)2.在圆中每一个1的圆心角所对的弧长之间有什么关系?(相等)3.1的圆心角所对的弧长是多少?周长的13604.2的圆心角所对的弧长又是多少呢?周长的23605.你能算出n的圆心角
4、所对的弧长是多少吗?周长的n3606.已知一段弧所在圆的半径为r,圆心角度数为n,如何计算这段弧的长度?n3602r=nr180结论:在半径为r的圆中,n的圆心角所对的弧长为:l=nr180.(板书)思考你能用探究弧长公式的方法探究扇形的面积吗?结论:在半径为r的圆中,n的圆心角所对的扇形面积为:S=nr2360.(板书)比较扇形面积公式S=nr2360和弧长公式l=nr180,你能用弧长公式表示扇形的面积吗?教师引导:观察两个公式的分子和分母,分子中的nr2可以写成nrr,分母中的360可以写成1802.扇形的面积公式:S=nr2360=12lr(其中n为圆心角的度数,r为圆的半径,l为扇形
5、的弧长). 设计意图引导学生由圆的周长和圆心角之间的关系,经历由特殊到一般、由整体到部分的探究过程,体验弧长公式是如何推导的,类比弧长公式的探究方法,让学生由独立思考、合作交流共同探究出扇形面积公式,同时观察讨论扇形面积和弧长公式之间的关系,得出用弧长表示扇形的面积公式,让学生体会事物之间是相互联系的.教师的追问,让学生加深对公式的理解和灵活运用.三、例题讲解例、如图所示,O的半径为10 cm.(1)如果AOB=100,求AB的长及扇形AOB的面积.(结果保留一位小数)(2)已知BC=25 cm,求BOC的度数.(结果精确到1)解:(1)r=10 cm,AOB=100,由弧长和扇形面积公式,得
6、:lAB=nr180=100101801003.141018017.4(cm),S扇形AOB=nr2360=1001023601003.1410036087.2(cm2).所以AB的长约为17.4 cm,扇形AOB的面积约为87.2 cm2.(2)r=10 cm,lBC=25 cm,由弧长公式,得:n=180lBCr180253.1410143.所以BOC约为143.追加提问:1.弧长的大小由哪些量决定?扇形的面积由哪些量决定?2.已知半径和圆心角,能不能求弧长、扇形面积?已知弧长和半径(或扇形面积和半径),能不能求弧所对的圆心角的度数?已知弧长和所对的圆心角(或扇形面积和圆心角),能不能求所
7、在圆的半径?教师归纳:在弧长公式中,已知l,n,r其中的两个量,就可以求出第三个量的值;在扇形面积公式中,已知S,n,r其中的两个量,就可以求出第三个量的值.设计意图 通过解决和弧长、扇形面积有关的计算,加深学生对弧长、扇形面积公式的理解和认识,培养学生解决问题的能力.知识点2、圆锥的概念及其侧面积的计算思考1.什么是圆锥的母线、圆锥的高?2.圆锥的母线有几条?圆锥的母线、高、半径围成什么图形?3.将圆锥的侧面展开,得到的平面图形是什么?4.圆锥的侧面展开图的弧长、半径与圆锥的底面、母线长有什么关系?5.若圆锥的底面半径为r,母线长为l,你能求出圆锥的侧面展开图的面积吗?圆锥的母线:圆锥的顶点
8、与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线.圆锥的高:圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高.如图所示,PA为圆锥的一条母线,PO为圆锥的高.将圆锥的侧面沿母线PA展开成平面图形,该图形为一个扇形,扇形的半径长等于圆锥的母线长.反过来,扇形也可以围成一个圆锥.设计意图学生在小学已经初步认识圆锥,通过自主学习和小组合作交流,对圆锥的有关概念加深理解.在教师问题的引导下,学生观察、分析、比较展开扇形和圆锥之间的关系,让学生经历探索圆锥侧面积公式的过程,提高分析问题能力.做一做:已知扇形的圆心角为120,弧长为20 cm.如果用这个扇形围成一个圆锥,那么这个圆锥的侧面积是多少?解:设圆锥的母线长为
9、l cm,由弧长公式可得:20=120l180,解得l=30,圆锥的侧面积S=122030=300(cm2).设计意图通过做一做,让学生加深对圆锥的侧面积的理解和掌握,在应用公式解决问题时,培养学生灵活运用公式计算的能力.知识拓展1.圆心角为1的弧长等于圆周长的1360,所以圆心角是n的弧长l=n2r360=nr180,其中n表示1的圆心角的倍数,不带单位.2.在弧长公式l=nr180中有三个量l,n,r,已知其中任意两个量,可以求出第三个量.3.圆锥看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形,圆锥的母线长a,高h,底面半径r恰好构成一个直角三角形,满足r2+h2=a2,利用这一关系可以在已知任意两个量的情况下求出第三个量.四、课堂小结1.扇形定义:一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.2.弧长和扇形面积公式:l=nr180,S=nr2360=12lr.3.弧长和扇形面积的应用:已知公式中的两个量,可以求另外一个量.4.圆锥母线、高的定义:圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线.圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高.5.圆锥的侧面积:圆锥的侧面积等于圆锥侧面展开图的扇形的面积,扇形的弧长为圆锥底面周长,扇形的半径为圆锥的母线.五、布置作业教材第169页习题A组第1,2,3题.教材第169页习题B组第1,2题.六、课后反思
