1、2.5.2 圆与圆的位置关系(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)展华实验学校 刘娜一、教学目标1.知识与技能（1）圆与圆的位置关系的判断方法（2）圆与圆的位置关系的应用（3）轨迹方程培养学生“数形结合”的意识.2.过程与方法几何法：设两圆的连心线长为，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含.代数法：有两组不相同的实数解 两圆相交 ; 有两组相同的实数解两圆相切（内切或外切）; 无实数解两圆相离（外离或内含）. 3.情态与价值观（1）动点圆的轨迹问题，数形结合的
2、思想.，培养数学抽象能力.（2）根据圆的方程判断圆与圆的位置关系培养数学运算能力.（3）综合应用圆与圆的位置关系解决问题培养学生逻辑推理能力.二、教学重难点重点：掌握圆与圆的位置关系的判断方法难点：能综合应用圆与圆的位置关系解决问题.三、教学过程1.1创设情境，引发思考【实际情境】每逢节假日农村集市上套圈游戏盛行，商家圈起来一小片空地，撒满一元，五角和一角的硬币，玩家10元钱可套20环，看似简单套起来却没有那么容易，要求圆环落地后不能触碰硬币，毕竟硬币面值越大，想套中就越难。问题1：（1）一次套圈中把玩家的目标硬币和圆环看成两个圆，那么这两个圆满足什么位置关系才算套中？（2）为什么硬币面值越大
3、，想套中就越难？（3）两个圆的位置关系和圆心距以及半径存在怎样的数量关系？【预设的答案】（1）内含（2)硬币面值越大，套中时要求两个圆心距离越近，难度越大相交，外切和内切（3）类比研究判断直线与圆的位置关系的方法.【设计意图】问题的提出源于实际生活，结合学生已有的知识经验，启发学生思考，激发学生学习兴趣.【数学情境】尺规作图，请同学们在纸上分别画出半径为3cm和5cm的圆，以小组为单位进行汇总，看看可以画出多少种位置关系，并探讨不同位置关系的圆心距满足的条件.【设计意图】创设数学情境，通过动手画图，小组讨论的形式，让学生处于数学学习的主导地位，增强学生的学习兴趣和自主学习能力.【活动预设】学生
4、以小组为单位总结出判断两个圆位置关系的几何法：利用两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，满足相应的条件，判断两圆的位置关系.设两圆的圆心距为，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当时，圆与圆相离；（2）当时，圆与圆外切；（3）当时，圆与圆相交；（4）当时，圆与圆内切；（5）当时，圆与圆内含.问题2：如果建立平面直角坐标系，目标硬币和圆环看成两个圆，得到两个圆的方程，类比直线与圆的位置关系，是否可以通过方程组解的个数，来判断两个圆的位置关系？【设计意图】进一步引导学生用代数法判断两个圆的位置关系，把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题1.2探究典例，初步应
5、用活动：已知圆C1：x2y22ax2ya2150(a0)，圆C2：x2y24ax2y4a20(a0)试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含【活动预设】根据数学情景总结出的结论，把圆的一般方程化为标准方程，比较两个圆的圆心距与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小，满足相应条件，求解参数a.【预设的答案】(1)当a5时，两圆外切；当a3时，两圆内切(2)当3a5时，两圆相交(3)当a5时，两圆外离(4)当0a3时，两圆内含【设计意图】理论结合实际,运用几何法判断两圆位置关系.1.3具体感知，理性分析活动：已知圆C1：,圆C2： 分别用几何法和代
6、数法判断圆C1与圆C2的位置关系.【设计意图】（1） 灵活运用判断两圆的位置关系的两种方法：几何法和代数法（2）比较两种方法判断两个圆位置关系的异同.问题3：用代数法判断两个圆的位置关系时，如果两圆方程联立消元后得到的方程的 ，它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？【预设的答案】如果，则两圆相切；此时无法判定两圆是内切还是外切，还要根据两圆的半径与连心线的长作进一步判断.【设计意图】（1） 更深入的理解判别式对两圆位置关系的影响根源在于交点个数；（2） 仅仅由交点个数无法判断两个圆的位置关系.问题4：在平面直角坐标系中画出活动2中两个圆的图像，若将两个圆的
7、方程相减，你发现了什么？并求出圆C1与圆C2的交点坐标.【预设的答案】两相交圆方程相减得公共弦方程,交点坐标.【活动预设】教师引导学生阅读教科书中的相关内容，学生观察图形并思考，发表自己的解题方法.【设计意图】运用数形结合的思想，探究相交的两个圆引出的公共弦方程，以及交点坐标问题.2. 初步应用，理解概念例1(2021皖南八校联考)已知圆O1的方程为x2y24，圆O2的方程为(xa)2y21，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A1，1 B3，3C1，1，3，3 D5，5，3，3【预设的答案】C 两圆只有1个公共点，则两圆外切或内切如果两圆外切，则|a|213，a3
8、；如果两圆内切，则|a|1，a1.综上，a1，1，3，3【设计意图】巩固判断两个圆的位置关系的两种方法.A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，-1) C. (-1，0)和(0，-1) D.(-1，0)和(0，1)【预设的答案】C【设计意图】求相交圆的交点坐标:（1）代数法（2）答案带入题目检验例3.已知两圆和求公共弦的长度【预设的答案】解法一：两方程联立，得方程组两式相减得x2y4，把代入得y22y0，y10，y22或交点坐标为(4,0)和(0,2)两圆的公共弦长为2解法二：两方程联立，得方程组两式相减得x2y40，即两圆相交弦所在直线的方程；由x2y22x10y240，得(x1)
9、2(y5)250，其圆心为C1(1，5)，半径r15圆心C1到直线x2y40的距离d3，两圆的公共弦长为222两圆的公共弦长为【设计意图】探讨求公共弦长的方法.（1）代数法：求交点的坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长（2）几何法：利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，根据勾股定理求出公共弦长.【设计意图】利用中点坐标公式，坐标系解决平面几何问题.3. 归纳小结，文化渗透思考：构成奥运五环中的圆之间有哪些位置关系，生活中的日用百货，建筑学领域，还有哪些涉及两个圆的位置关系？【设计意图】（1）梳理对判断两个圆的位置关系方法的理解和应用；（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习两个圆位置关系的必要性 .四、归纳小结，课后作业1.判断圆与圆的位置关系的两种方法：几何法和代数法2.求两个相交圆公共弦长的两种方法：几何法和代数法3.满足某种几何条件的动点圆的轨迹问题，用的是坐标法.这种方法建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结合思想.1.教科书130页练习.习题4.2 A组第4、9、10、11题.2.步步高圆与圆的位置关系习题- 7 -
