1、绝密启用前 2015 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二（数学二（模拟模拟 1 1）考生注意考生注意:本试卷共二十三题本试卷共二十三题,满分 150 分满分 150 分,考试时间为考试时间为 3 3 小时小时.一一、选择题：选择题：（1）（8）小题（1）（8）小题,每小题 4 分每小题 4 分,共 32 分共 32 分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只只有一个选项符合要求有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后将所选项前的字母填在题后的括号里的括号里.（1）函数122ln1sin(1)()xxxf xx得分 评卷人 e的可去间断点个数为（）.(A)0 (B)1 (C)
2、2 (D)3 (2)设()f x在的某个邻域内连续，且0 x 220ln1()lim12xxf xex，则0 x 是()f x的（）（A）不可导点 （B）可导点但不是驻点 （C）驻点且为极小值点 （D）驻点且为极大值点 (3)221limnniinni（）。（A）1ln22 （B）ln （C）24 (D)8 (4)设()f x在内是有界连续的奇函数,则 在内（）。(,)20()()dxtF xtef tt(,（A）必为有界的奇函数 （B）必为有界的偶函数（C）为奇函数但未必有界 （D）为偶函数但未必有界 (5)若在点处的偏导数),(yxf),(00yx),(),(0000yxfyxfyx均存在
3、,则（）。(A)在点处连续 (B)在点处可微),(yxf),(00yx),(yxf),(00yx(C)存在 (D),均存在),(lim00yxfyyxx),(lim00yxfxx),(lim00yxfyy(6)累次积分cos200(cos,sin)Idf rrrdr可写成 （）A 2100(,)yyIdyf x y dx B 21100(,)yIdyf x y dx C 1100(,)Idxf x y dy D 2100(,)x xIdxf x y dy（7）已知矩阵5 41234,A ，若，是齐次线性方程组的基础解系，那么下列命题 13 121T20101T0Ax （1）13,线性无关；（2
4、）1可由23,线性表出；（3）34,线性无关；（4）秩中正确的是 11234,3r （A）（1）（3）（B）（2）（4）（C）（2）（3）（D）（1）（4）（8）对三阶矩阵 A的伴随矩阵A先交换第一行与第三行，然后将第二列的 2 倍加到第三列得 E，且0A，则 A等于()(A)(B)001210100 1121(C)(D)1000120011211 二、填空题填空题:(:(9 9)(14)小题)(14)小题,每小题 4每小题 4 分分,共 2共 24 分4 分.把答案填把答案填在在题中的横题中的横线线上上.（9）设22()lim(12n)nxxf xnn,则 曲 线()xyf在1x 处 的 切
5、 线 方 程为 .(10)设,f g均可微，则(,ln()zf xyxg xyzzxyxy 。(11)设()f x在0上单调可导，,)(0)1f，1f为f的反函数，若22()122()dxf xxxftxtx e，则()=f x (12)设 D=22(,)(2)(2)1x yxy，则(2)d_xyyxDee.(13)21+lnlimd1xxxttt .(14)设 3 阶方阵A有 3 个线性无关的特征向量，3是A的二重特征值，则(3)_.RAE 三、解答题:(解答题:(15)(23)小题，共 94 分15)(23)小题，共 94 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或解答应写出必要的文字说明、
6、证明过程或演演算步骤算步骤.（15）（15）（本题满分 10 分本题满分 10 分）1.设函数()f xx在0的某个邻域内二阶可导，且0()lim0 xf xx，若时0 x 0nx()dsikf ttx x，求常数k的值及。(0)f （16）（16）（本题满分 10 分本题满分 10 分）求函数22zxyxy在区域:Dxy1上的最大值与最小值。（17）（17）（本题满分 10 分本题满分 10 分）设(0,),sinsinsin2nnxaxxx 项。（）证明：数列收敛；（）求na20limcos dnnaxx（18）（18）（本题满分 10 分本题满分 10 分）设函数()f x在0上连续，且
7、,1(0)0f10()d0f xx，证明：(0,1)，使得0)()d(f xxf。（19）（本题本题满分满分 1010 分分）半径为R的球沉入水中，球面顶部与水面相切，球的密度为水的密度为00()，要把球完全从水中取出，问至少要做多少功？。得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 共创(合肥工业大学)考研辅导中心 第 3 页 共 4 页)x（20）（20）（本题满分 11 分本题满分 11 分）设连续曲线(yy在区间3(,44)内有定义且是凸的,其上任一点得分 评卷人(,()x y x处的曲率为211()y,且此曲线在点(0处切线方程为,求函数的最大值
8、.,1),1yx()yy x （21）（21）（本题满分 11 分本题满分 11 分）设函数,12()0,xxf x 其他.得分 评卷人(,)|15,210Dx yxy ，求二重积分2()(1)dDdf xy f xxy的值 （22）（22）（本题本题满分 11 分满分 11 分）设 是线性方程组AXb的解，1,2,t 是其导出组的基础解系，令 得分 评卷人 1122,tt 试证：（）,12,t 线性无关；（）01122,ttrlll方程组的任意一解 可表示为AXbl 其中 011tlll.（23）（23）（本题满分 11 分本题满分 11 分）已知矩阵能相似对角化，22082006aA得分
9、评卷人 （1）求参数 a;(II)求正交变换化二次型化为标准形.xQy=()Tfxx Ax共创(合肥工业大学)考研辅导中心 第 1 页 共 4 页 绝密启用前 2015 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二（数学二（模拟模拟 2 2）考生注意考生注意:本试卷共二十三题本试卷共二十三题,满分 150 分满分 150 分,考试时间为考试时间为 3 3 小时小时.一一、选择题：选择题：（1）（8）小题（1）（8）小题,每小题 4 分每小题 4 分,共 32 分共 32 分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只只有一个选项符合要求有一个选项符合要求,将所选项前的字母填在题后将所选项前的
10、字母填在题后的括号里的括号里.得分 评卷人 （1）设()lim 1nnxnnf xxe，则()f x不可导点个数为（）（A）（B）1 （C）2 （D）03(2)曲线12111xxyex的渐近线有（）。（A）1条 （B）条 （C）3条 （D）条 24(3)设(),()f xfx为已知的连续函数,则方程()()()yfx yf x fx的解是()（A）()()1f xyf xce；（B）()()1f xyf xce；（C）()()f xyf xcce；（D）()()f xyf xce(4)设0(0)(0)0,(0)1,()()d()xkfffg xf tth x，cx()()g xh x，若时，则
11、（）0 x（A）1,2ck 2 （B）1,32kc （C）1,3ck3 （D）1,36ck (5)若2322(,),(,)2x4f x xxfx xxx，则2(,)yfx x （）（A）3xx (B)2224xx (C)25xx (D)222xx(6)设2212200sin4d,dsinxxIx Ixxx，则（）（）112II （）121II（）211II（）211II (7)设A,B,C是n阶矩阵，并满足ABAC=E,则下列结论中不正确的是 （A）.TTTTA B A CE (B)BACCAB (C)2BA CE (D)ACABCABA (8)设 A是矩阵,则下列结论不正确的是()mn()r
12、 An(A)若,ABO则BO (B)对任意矩阵有B，()()r ABr B(C)存在使得B，BAE (E)对任意矩阵有B，()()r BAr B 二、填空题填空题:(:(9)(14)小题9)(14)小题,每小题 4 分每小题 4 分,共 24 分共 24 分.把答案填在题中的横线把答案填在题中的横线上上.（9）ln2lnlim3lnnnnnnnn 。得分 评卷人 (10)13111lim(1)23nnnn 。(11)已知方程 的积分曲线在点 处与直线 0yy(0,0)Oyx 相切，则该积分曲线的方程为 .(12)设()f x在0上有连续的导数,1(1)1f,且有2()()1xfxf xxx,则
13、 10()df xx .(13)累次积分222221331()()223310332dddd_yyxyxyyyIyexyex。(14)向量组，的一个极大无关组为 1=1,2,3,4T2=1,3,4,5T3=2,4,6,8T4=2,6,7,7T 三、解答题:(解答题:(15)(23)小题，共 94 分15)(23)小题，共 94 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.（15）（15）（本题满分 10 分本题满分 10 分）选择常数的值，使得当时函数,a b c0 x(1sin)xabxcx e是3x的高阶无穷小。（16）（16）（本题满分本
14、题满分 1010 分分）设0125,arctan(1,2,)nnxxxn。（）证明limnnx存在，并求它的值；（）求13limnnnnxxx。（17）（17）（本题满分 10 分本题满分 10 分）设在)(xf,上连续且满足 2()()sin d1 cosxf xf xxxx)，求的表达式.)(xf （18）（18）（本题满分 10 分本题满分 10 分）设函数且函数2(),(,zxyf uug xy x(f u具有二阶连续导数，具有二阶连续偏导数，试求(,)g v w2zx y （19）（19）（本题满分 10 分本题满分 10 分）求二重积分2DIyx d，其中：积分区域 2(,)|1,
15、0,1,0Dx yyxxxy 围成 （20）（20）（本题本题满分满分 1111 分分）求椭圆2225160 xxyyy与直线的最短距离。8xy （21）（21）（本题满分 11 分本题满分 11 分）设()f x(,)a b在,上连续，在内可导，a b()f aa，且221()d()2baf xxba。证明：（）(,)a b 内，使()f；（）在内存在与（）中的(,)a b相异的点使得()()ff1。得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 共创(合肥工业大学)考研辅导中心 第 3 页 共 4 页 ij（22）（22）（本题满分 11
16、分本题满分 11 分）已知齐次方程组（）的解全是4元方程（）的解。试求：（1）常数；（2）齐次方程组（）的解。000422321421xaaxxaaxxxx0321xxxa得分 评卷人 （23）（23）（本题满分 11 分本题满分 11 分）设二次型421234114(,)2iiijf x xx xxbx x ,其中b为非零的实数（I）用正交变换，将该二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和所得的标准形；（II）求出该二次型正定的充要条件。得分 评卷人 绝密启用前 2015 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二（数学二（模拟 3模拟 3）考生注意考生注意:本试卷共二十三题本试卷共二十三题,满分
17、 150 分满分 150 分,考试时间为 3考试时间为 3 小时小时.一一、选择题：选择题：（1）（8）小题（1）（8）小题,每小题 4 分每小题 4 分,共 32 分共 32 分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,只只有一个有一个选项符合要求选项符合要求,将所选项前的字母填在题后将所选项前的字母填在题后的括号里的括号里.得分 评卷人 （1）设lim()xf x A，则下列结论正确的是（）(A)若,则,当0A0MxM时有(B)若,则()0f x 0A0M,当xM时有()0f x(C)若,当0MxM时有,则(D)若()0f x 0A 0M,当xM时有,则()0f x 0A(2)设
18、()x为奇函数，()(0)1,()f xfg xx，则（）。f（A）是的可去间断点 （B）0 x()g x0 x 是的跳跃间断点()g x（C）是的无穷间断点 （D）0 x()g x0 x 是的第二类但非无穷间断点()g x(3)设在全平面上有0),(xyxf，0),(yyxf，则保证不等式1122(,)(,)f x yf xy成立的条件是（）（A），.（B），.21xx 21yy 21xx 21yy（C），.（D），.21xx 21yy 21xx 21yy (4)设函数在的某个邻域内连续，且()g x0 x 0()lim0 xg xx，()f x在0 x 的某个邻域内可导，且满足2sin0(
19、x()dfxxg xtt，则0 x 关于()f x（）（A）是极小值点 （B）是极大值点（C）点是曲线的拐点 （D）不是极值点，点也不是曲线的拐点(0,(0)f(0,(0)f(5)设具有连续偏导数，且(,)zf x y2200(,)lim0 xyf x yxy，则下列判断不正确的是（）（A）（B）(0,0)(0,0)0 xyff(0,0)0f（C）(,)f x y在处连续 （D）(0,0)(,)f x y在（0,0）处不可微(6)ln10(,)exIdxf x y dy交换积分次序得（其中(,)f x y连续）（）（A）ln10(,)exIdyf x y dx （B）10(,)yeeIdyf
20、x y dx （C）ln01(,)xeIdyf x y dx （D）10(,)yeeIdyf x y dx (7)设阶方阵nA的伴随矩阵若*0,A 1,2,3 是线性方程组Axb的三个互不相等的解，则0Ax 的基础解系为（）。（A）13 (B)122,3 (C)12233,1 (D)12233,1 (8)二次型1233123325Tx Axxxa xxxb x的正惯性指数 与负惯性指数 分别是 pq A2,1pq B 2,0pq C1,1pq D与有关，不能确定。3,3a b 二、填空题填空题:(:(9)(14)小题9)(14)小题,每小题 4 分每小题 4 分,共 24 分共 24 分.把答
21、案填在题中的横线上把答案填在题中的横线上.（9）已知2()ln(1)f xxx，当为大于2的正整数时，则 n()(0)nf 。(10)以 212,2xxyeyxe 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为 .(11)3221d(1)2xxxx 。(12)设g二阶可导，f具有二阶连续偏导数，(,2)zg xf xyy，则2_zx y (13)已知曲线与在原点相切，则极限：()yf xsin2y x0020()limsin2txxf tu du dtxx (14)设向量组123,线性无关，1223122,3 t线性相关，则t 三、解答题:(解答题:(15)(23)小题，共 94 分15)(23)小题，
22、共 94 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤算步骤.（15）（15）（本题满分 10 分本题满分 10 分）设函数()f x在0 x处可导，且20tan()lim()3xxf xxx，求。(0)f （16）（16）（本题满分 10 分本题满分 10 分）过点作曲线(1,5)3:C yx的切线，设切线为。（）求的方程；（）求l与曲线C所围成的图形的面积；（）求图形位于llDDy轴右侧部分绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。（17）（17）（本题满分 10 分本题满分 10 分）设()uf xy满足222(2)xyux yex y，其中()f t
23、在0t 时，具有二阶连续导数，求()f xy.（18）（18）（本题满分 10 分本题满分 10 分）计算二重积分2()x yDIedxdy，其中积分区域为：(,)14,0,0Dx yxyxy （19）（19）（本题满分 10 分本题满分 10 分）设000(,)Mxy是曲线lnyx上曲率最大的点，且设由、直线0y 、0 x0 xx及曲线lnyx围成的面积为，而、直线1S0y 0 xx及曲线lnyx围成的面积为2S，求（I）点00(,0)Mxy；（II）面积比21.SS 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 共创(合肥工业大学)考研辅导中心 第 3
24、 页 共 4 页 （20）（20）（本题满分 11 分本题满分 11 分）设，讨论方程1,0ablogxbax有实根时，所满足的条件。,a b 得分 评卷人 得分 评卷人（21）（21）（本题满分 11 分本题满分 11 分）设()f x在0上可导，,2(0)(2)1ff，且0,2x时()1fx，证明：21(f x0)dx3。（22）（22）（本题满分 11 分本题满分 11 分）已知三元二次型123,)T(,f x x xx Ax经过正交变换xPy化为标准形21y）求行列式22232.yy （得分 评卷人*12;AA（2）求324AAAE。（23）（23）（本题满分 11 分本题满分 11 分）设n阶矩阵 121,nnA n21。的前n-1个列向量线性相关，后n-1个列向量线性无关，（1）证明：方程组Ax必有无穷多得分 评卷人 个解。是（2）若1,Tnkk（）Ax的任意一个解，则必有。1nk
