1、第五节椭圆,教材回扣夯实“四基”,题型突破提高“四能”,教材回扣夯实“四基”,基础知识1.椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的_等于常数(_|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的_，两焦点间的距离叫做椭圆的_，焦距的一半称为_,和,大于,焦点,焦距,半焦距,【微点拨】(1)椭圆定义的数学表达式：PM|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)(2)当2a|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，动点P的轨迹不存在,2.椭圆的标准方程和几何性质,axa,byb,bxb,aya,坐标轴,原点,(a，0),(a，0),(0，b),(0，b),(0，a),(
2、0，a),(b，0),(b，0),2a,2b,2c,c a,【微点拨】(1)椭圆的焦点F1，F2必在它的长轴上，焦点跟着分母大的跑(2)椭圆的离心率越接近于1，椭圆越扁；越接近于0，椭圆越圆,常用结论1若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b|OP|a；(2)ac|PF|ac.2焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆 x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)中，(1)当r1r2，即点P为短轴端点时，最大；(2)Sb2tan 2 c|y0|，当|y0|b，即点P为短轴端点时，
3、S取最大值，最大值为bc.,基本技能、思想、活动经验题组一思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)1.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆()2椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()3关于x，y的方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()4椭圆 x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)与椭圆 y 2 a 2+x 2 b 2 1(ab0)的焦距相同(),题组二教材改编5已知椭圆C：x 2 a 2+y 2 4 1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 2 2 3,答案：C,解析：不妨设a0.因为椭圆C的一个焦点为(2，
4、0)，所以焦点在x轴上，且c2，所以a2448，所以a2 2，所以椭圆C的离心率e c a 2 2.故选C.,6若F1(3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是_,x 2 25+y 2 16 1,解析：因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a5，c3，b a 2 c 2 4，故点P的轨迹方程为 x 2 25+y 2 16 1.,题组三易错自纠7已知椭圆 x 2 36+y 2 25 1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为_,9,解析：根据题意得椭圆 x 2 36+y 2 25 1中，a
5、6，P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且|PF1|3，故|PF1|PF2|2a12.又|PF1|3，|PF2|1239，即点P到另一个焦点的距离为9.,8已知椭圆 x 2 5+y 2 m 1(m0)的离心率e 10 5，则m的值为_,3或 25 3,解析：若a25，b2m，则c 5m，由 c a 10 5，即 5m 5 10 5，解得m3；若a2m，b25，则c m5.由 c a 10 5，即 m5 m 10 5，解得m 25 3.,题型突破提高“四能”,题型一椭圆定义的应用角度1 利用椭圆定义求轨迹方程例1已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29.动圆M在圆C1内
6、部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A x 2 64 y 2 48 1B x 2 48+y 2 64 1C x 2 48 y 2 64 1 D x 2 64+y 2 48 1,答案：D,解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r.因为圆M与圆C1：(x4)2y2169内切，与C2：(x4)2y29外切，所以|MC1|13r，|MC2|3r.|MC1|MC2|16|C1C2|8，由椭圆的定义，点M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴为16的椭圆，则a8，c4，所以b2824248，所以动圆的圆心M的轨迹方程为 x 2 64+y 2 48 1.,类题通法通过对题设条件分析、转
7、化后，能明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程,巩固训练12022湖南长郡中学月考P为椭圆C：x 2 17+y 2 13 1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|PF2|，则动点Q的轨迹方程为()A(x2)2y234 B(x2)2y268C(x2)2y234 D(x2)2y268,答案：B,解析：由 x 2 17+y 2 13 1可得：a 17，因为|PF1|PF2|2a2 17，|PQ|PF2|所以|PF1|PQ|F1Q|2a2 17，所以动点Q的轨迹为以F1(2，0)为圆心，2 17 为半径的圆，故动点Q的轨迹方程为(x2)2y268.故选B.,角度2
8、 利用椭圆定义解决焦点三角形问题例22022安徽六安一中月考已如F1，F2是椭圆 x 2 24+y 2 49 1的两个焦点，P是椭圆上一点，3|PF1|4|PF2|，则PF1F2的面积等于()A24 B26C22 2 D24 2,答案：A,解析：由椭圆方程可得焦点在y轴上，a7，b2 6，c a 2 b 2 5，由椭圆定义可得|PF1|PF2|2a14，又3|PF1|4|PF2|，则可解得|PF1|8，|PF2|6，|F1F2|2c10，满足|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，则PF1PF2，S PF 1 F 2 1 2|PF1|PF2|1 2 8624.故选A.,类题通法利用定义求焦点三
9、角形的周长和面积解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|PF2|2a两边平方是常用技巧,巩固训练2已知P是椭圆 x 2 16+y 2 9 1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，F1PF260，则F1PF2的面积_,3 3,解析：由椭圆的方程可得：a4，b3，c a 2 b 2 7，在F1PF2中，|PF1|PF2|2a8，|F1F2|2c2 7，在F1PF2中，由余弦定理可得：|F1F2|2 PF 1 2+PF 2 2 2|PF1|PF2|cos 60，即4c2(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，可得28643|PF1|PF2|，解得：|PF1|PF2|
10、12，由三角形面积公式可得F1PF2的面积为 1 2|PF1|PF2|sin 60 1 2 12 3 2 3 3.,角度3 利用椭圆定义求最值例32022重庆巴蜀中学月考动点M分别与两定点A(4，0)，B(4，0)连线的斜率的乘积为 3 4，设点M的轨迹为曲线C，已知N(1，3)，F(2，0)，则|MF|MN|的最小值为()A2 B6C2 3 D10,答案：B,解析：根据题意，设M(x，y)，则kMAkMB y x+4 y x4 y 2 x 2 16 3 4，即C：x 2 16+y 2 12 1(x4)，F(2，0)为C的左焦点，设C的右焦点为F(2，0)，则|MF|MF|8，从而|MF|MN
11、|8|MF|MN|8|NF|8 12 2+3 2 6，当M，N，F共线，且N在线段MF上时取等号，故|MF|MN|的最小值为6.故选B.,类题通法抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|PF2|的最值；利用定义|PF1|PF2|2a转化或变形，借助三角形性质求最值,巩固训练32022辽宁沈阳模拟已知椭圆C：x 2 9+y 2 5 1的左焦点为F，点M在椭圆C上，点N在圆E：(x2)2y21上，则|MF|MN|的最小值为()A4 B5C7 D8,答案：B,解析：易知圆心E为椭圆的右焦点，且a3，b 5，c2，由椭圆的定义知：|MF|ME|2a6，所以|MF|6|M
12、E|，所以|MF|MN|6|ME|MN|6(|ME|MN|)，要求|MF|MN|的最小值，只需求|ME|MN|的最大值，显然M，N，E三点共线时|ME|MN|取最大值，且最大值为1，所以|MF|MN|的最小值为615.故选B.,题型二椭圆的标准方程例4(1)2021江苏南京十三中月考已知椭圆过点P 3 5，4 和点Q 4 5，3，则此椭圆的标准方程是()Ax2 y 2 25 1Bx2 y 2 25 1或 x 2 25 y21C x 2 25 y21D以上都不对,答案：(1)A,解析：(1)设经过两点P 3 5，4 和点Q 4 5，3 的椭圆标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，代入A、
13、B得，9 25 m+16n=1 16 25 m+9n=1，解得 m=1，n=1 25，所求椭圆方程为x2 y 2 25 1.故选A.,(2)已知方程(k1)x2(9k)y21，若该方程表示椭圆方程，则k的取值范围是_,1k5或5k9,解析：(2)因为方程(k1)x2(9k)y21，所以 x 2 1 k1+y 2 1 9k 1，所以有 1 k1 0 1 9k 0 1 k1 1 9k，解得1k5或5k9.,(3)过点(3，5)，且与椭圆 y 2 25+x 2 9 1有相同的焦点的椭圆的标准方程为_,y 2 20+x 2 4 1,解析：(3)椭圆 y 2 25+x 2 9 1的焦点为(0，4)，则所
14、求椭圆的c4，可设椭圆方程为 y 2 a 2+x 2 b 2 1(ab0)，则有a2b216，再代入点(3，5)，得，5 a 2+3 b 2 1，由解得，a220，b24.则所求椭圆方程为 y 2 20+x 2 4 1.,类题通法求椭圆方程的方法与步骤,巩固训练4(1)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|OF|且|PF|6，则椭圆C的方程为()A.x 2 36+y 2 16 1B x 2 40+y 2 15 1C x 2 49+y 2 24 1 D x 2 45+y 2 20 1,答案：(1)C,解析：(1)由题意可得c5，设右焦点为F，
15、连接PF，由|OP|OF|OF|知，PFFFPO，OFPOPF，所以PFFOFPFPOOPF，所以FPOOPF90，即PFPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|FF 2 PF 2 10 2 6 2 8，由椭圆的定义，得|PF|PF|2a6814，则a7，a249，所以b2a2c2495224，所以椭圆C的方程为 x 2 49+y 2 24 1.故选C.,(2)2022福建上杭一中模拟已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为 1 3，则椭圆C的标准方程可以为_,x 2 9+y 2 8 1,解析：(2)设椭圆方程为 x 2 a 2+y 2 b 2 1，由离心率为 1 3 可得 c a 1 3，由
16、a2b2c2可得 b 2 a 2 8 9，可取a29，b28，则椭圆C的标准方程可以为 x 2 9+y 2 8 1.,(3)2022中国农业大学附属中学模拟已知F1，F2为椭圆C：x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)的两个焦点，若P 1，3 2 在椭圆上，且满足|PF1|PF2|4，则椭圆C的方程为_,x 2 4+y 2 3 1,解析：(3)由|PF1|PF2|4得2a4，解得a2，又P 1，3 2 在椭圆C：x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)上，所以 1 2 2 2+3 2 2 b 2 1，解得b 3，所以椭圆C的方程为 x 2 4+y 2 3 1.,题型三椭圆的简单几何性
17、质角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距例52022山东临沂模拟椭圆 x 2 25+y 2 9 1与 x 2 9k+y 2 25k 1(0k9)关系为()A有相等的长轴B有相等的短轴C有相等的焦点 D有相等的焦距,答案：D,解析：椭圆 x 2 25+y 2 9 1的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为(4，0)，(4，0)，椭圆 x 2 9k+y 2 25k 1(0k9)的长轴为2 25k，短轴为2 9k，焦距为8，焦点分别为(0，4)，(0，4)，所以两椭圆的焦距相同，故选D.,类题通法求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴、短轴、焦距等基本量的内在联系,巩固训练52022浙江
18、杭州模拟已知点A(3，0)，椭圆C：x 2 a 2+y 2 3 1(a0)的右焦点为F，若线段AF的中点恰好在椭圆C上，则椭圆C的长轴长为_,4,解析：由线段AF的中点恰好在椭圆C上，即为右顶点，可得3 a 2 3 2a，解得a2，所以椭圆C的长轴长为4.,角度2 求椭圆的离心率例6(1)2022河北保定模拟已知F1、F2是椭圆 x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)的两个焦点，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若|AF1|AB|BF1|345，则该椭圆的离心率为()A 3 2 B2 3 C 3 1 2 D 2 2,答案：(1)D,解析：(1)如图所示，设|AF1|3t，则|AB|4t，
19、|BF1|5t，所以，|AF1|2|AB|2|BF1|2，所以，F1AF290，由椭圆定义可得|AF1|AB|BF1|12t4a，t a 3，|AF1|3ta，所以，|AF2|2a|AF1|a，所以，AF1F2为等腰直角三角形，可得|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，2a24c2，所以，该椭圆的离心率为e c a 2 2.故选D.,(2)设B是椭圆C：x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是()A 2 2，1)B 1 2，1 C(0，2 2 D 0，1 2,答案：C,解析：(2)设P(x0，y0)，有B(0，b)，
20、因为 0 2 2 0 2 2 1，a2b2c2，所以|PB|2 x 0 2(y0b)2 2 1 0 2 2 0 2 c 2 b 2 y 0+b 3 c 2 2 b 4 c 2 a2b2，因为by0b，当 b 3 c 2 b，即b2c2时，2 4b2，即 2，符合题意，由b2c2可得a22c2，即0b，即b2c2时，PB max 2 b 4 c 2 a2b2，即 b 4 c 2 a2b24b2，化简得，(c2b2)20，显然该不等式不成立故选C.,类题通法求椭圆离心率(或其范围)的两种常用方法,巩固训练6(1)椭圆 x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B，右焦点为F
21、，若F到直线AB的距离为 b 2，则该椭圆的离心率为()A 6 3 B 6 2 4 C 4 6 5 D 5 2 6,答案：(1)C,解析：(1)直线AB方程 x a+y b 1，bxayab0，F(c，0)到直线的距离为d bcab a 2+b 2 b 2，c22aca2 1 4(a2b2)1 4(2a2c2)，e22e1 1 4(2e2)，5e28e20.0e1，e 4 6 5.故选C.,(2)2022湖北孝感模拟设椭圆C：x 2 a 2+y 2 b 2 1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N满足F1MF2F1NF2 2 3，则椭圆C离心率的取值范围
22、是()A(0，3 2 B 1 2，1 C(3 2，1)D(2 2，3 2),答案：C,解析：(2)如图，当点M在y上最大，若在x轴上方的C上存在两个不同的点M，N，满足F1MF2F1NF2 2 3，只需 c a sin 3 3 2，又0e1，所以e 3 2，1，故选C.,角度3 与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题 例7如图焦点在x轴上的椭圆 x 2 4+y 2 b 2 1(b0)的离心率e 1 2，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则 PF PA 的最大值为_,4,解析：由题意知a2，因为e c a 1 2，所以c1，b2a2c23，故椭圆方程为 x 2 4+y 2 3
23、1.设P的坐标为(x0，y0)所以2x02，3 y0 3.因为F(1，0)，A(2，0)，PF(1x0，y0)，PA(2x0，y0)，所以 PF PA 0 2 x02 0 2 1 4 x 0 2 x01 1 4(x02)2.则当x02时，PF PA 取得最大值，最大值为4.,类题通法与椭圆有关的最值或范围问题的求解策略,巩固训练7以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B 2 C2 D2 2,答案：D,解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以 1 2 2cb1，bc1，而2a2 b 2+c 2 2 2bc 2 2(当且仅当bc1时取等号)，故选D.,
