1、高中同步学案优化设计,GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI,第八章,2022,内容索引,课前篇 自主预习,课堂篇 探究学习,1.理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中“任意”两字的重要性.(数学抽象)2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理,能证明性质定理,并能解决有关线面垂直的问题.(逻辑推理、直观想象)3.了解直线和平面所成的角的含义,并知道其求法.(数学抽象)4.了解点到平面距离、直线到平面距离、平面到平面距离的含义,并能求解空间距离.(数学运算、逻辑推理),课前篇 自主预习,激趣诱思,唐代诗人王维在他的诗使至塞上中写道:“大漠孤烟直,长河
2、落日圆.”前一句的意境是:荒凉的大漠中,一缕青烟从烽火台上冲天而起,给荒凉的大漠带来了一丝活力.从数学的角度看这一景象,它充分体现了空间中直线与平面垂直的问题.,知识点拨,知识点一、直线与平面垂直的定义,名师点析(1)定义中的“任意一条”与“任何直线”“所有直线”意义相同,但与“无数条直线”不同,即定义是说这条直线和平面内所有直线都垂直.(2)直线和平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况.(3)由定义可知,若直线垂直于平面,则直线垂直于平面内任意一条直线,这是证明线线垂直一种重要的方法.,微练习直线l与平面内的无数条直线垂直,则()A.l和相互平行B.l和相互垂直C.l在平面内D.l和的位置关
3、系不能确定,答案 D,解析 直线l和相互平行或直线l和相互垂直或直线l在平面内都有可能,如图所示.,知识点二、直线与平面垂直的判定定理,名师点析(1)“两条相交直线”是关键词语,是不可忽视的条件.(2)要证一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交的直线都和该直线垂直即可,不需要找到所有直线,而且这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.(3)定理体现了相互转化的数学思想,即由要证线面垂直转化为证线线垂直.,微练习(1)若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OABB.平面OACC.平面OBC D.平面ABC(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内
4、画“”,错误的画“”.若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直.()若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线.()若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线.(),答案(1)C(2),知识点三、直线与平面所成的角一条直线l与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.,名师点析(1)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直
5、线而不是线段.(2)直线与平面所成的角的取值范围是090.特别地,当=90时,直线与平面垂直.,微练习如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于;AB1与平面ADD1A1所成的角等于;AB1与平面DCC1D1所成的角等于.,答案 45450解析 B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45;B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0.,知识点四、空间距离1.过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.2.一条直线与一个平面平行
6、时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.,这样的直线有且只有一条,要点笔记(1)求空间距离最终转化为求垂线段的长,先要找垂线,归结为线面垂直问题.(2)空间距离可应用于求几何体的高.,微练习已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1的距离为(),答案 B,解析如图,连接AC,与DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DBAC,BB1AC,BB1DB=B,BB1,DB平面BDD1B1,AC平面BDD1B1.点C
7、到平面BDD1B1的距离为CO.,知识点五、直线与平面垂直的性质定理,微思考在长方体ABCD-ABCD中,棱AA,BB所在直线与平面ABCD位置关系如何?这两条直线又有什么样的位置关系?,提示棱AA,BB所在直线都与平面ABCD垂直;这两条直线互相平行.,微练习在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若直线l(与直线BB1不重合)平面A1C1,则()A.B1BlB.B1BlC.B1B与l异面但不垂直D.B1B与l相交但不垂直答案 B解析 因为B1B平面A1C1,又因为l平面A1C1,所以lB1B.,课堂篇 探究学习,例1如图所示,ABBC,ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,AC的中点
8、为D.求证:SD平面ABC.,分析先由等腰三角形SAC及D为边AC的中点,得SDAC.再由SDASDB,得SDDB.,证明 SA=SC,D为AC中点,SDAC.在RtABC中,AD=DC=BD,又SA=SB,SDASDB.SDA=SDB,即SDDB.又ACBD=D,AC平面ABC,BD平面ABC,SD平面ABC.,反思感悟 直线与平面垂直的判定方法判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.,延伸探究在本例条件下,若AB=BC,求证:BD平面SA
9、C.证明 BA=BC,D为AC中点,BDAC.SD平面ABC,BD平面ABC,BDSD,AC平面SAC,SD平面SAC,ACSD=D,BD平面SAC.,例2如图,已知PA垂直于O所在的平面,AB是O的直径,C是O上任意一点,求证:BCPC.,分析首先利用PA平面ABC得到PABC,然后根据圆的性质得到ACBC,进而利用线面垂直判定定理证得BC平面PAC,从而得到BCPC.,证明 PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.AB是O的直径,BCAC.又PAAC=A,BC平面PAC.PC平面PAC,BCPC.,反思感悟 1.直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.判定是指,如果一条直线和平面内
10、的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直;性质是指,如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a,bab.2.由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.,延伸探究1若本例中其他条件不变,作AEPC交PC于点E,求证:AEPB.,证明 由例2知BC平面PAC,AE平面PAC,BCAE.PCAE,且PCBC=C,PC平面PBC,BC平面PBC,AE平面PBC.PB平面PBC,A
11、EPB.,延伸探究2本题中的三棱锥P-ABC中有几个三角形为直角三角形?解 4个,分别为PAB,PAC,PCB,ABC.,例3已知四面体ABCD的棱长都相等,Q是AD的中点,则CQ与平面BCD所成的角的正弦值为.,分析作AO平面BCD,垂足为O,连接OD取OD中点P,连接P,CPQCP就是斜线CQ与平面BCD所成的角求出sinQCP,解析 过点A作AO平面BCD,垂足为O,连接OB,OC,OD.取OD中点P,连接QP,CP.由AO平面BCD,四面体的棱长都相等知点O是三角形三边垂直平分线的交点,也是三角形角平分线的交点.设四面体的棱长为a,Q是AD中点,P是OD中点,QPAO.AO平面BCD,
12、QP平面BCD.QCP就是CQ与平面BCD所成的角.,反思感悟 1.求斜线与平面所成的角的步骤:(1)作角.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角).(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.2.在上述步骤中,作角是关键,而确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找射影的依据,图形中的特殊点是突破口.,变式训练1如图,在RtBMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影为直线AB,垂足为A,线段AB的长为4,MBC=60,则MC与平面CAB所成角的正弦值
13、为.,解析 由题意知,MA平面ABC,MC在平面CAB内的射影为AC.MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.在RtMBC中,BM=5,MBC=60,例4如图,已知正方形ABCD的边长为4,CG平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,求点B到平面GEF的距离.,分析因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等,可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离,为此要寻找过点B与平面GEF平行的直线.,解 连接BD,AC,EF和BD分别交AC于H,O,连接GH,作OKGH于点K.四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,EFBD,H为AO的中点.BDEF,BD平
14、面GFE,BD平面GFE.点B与平面GEF的距离就是点O到平面GEF的距离.BDAC,EFAC.GC平面ABCD,GCEF.,GCAC=C,EF平面GCH.OK平面GCH,EFOK.,OKGH,GHEF=H,OK平面GEF,即OK的长就是点B到平面GEF的距离.正方形ABCD的边长为4,CG=2,反思感悟 求点到平面的距离一般有两种方法(1)构造法:根据定义构造垂直于面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解.(2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(多为棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解.,延伸探究本题条件不变,如果求直线BD到平面GEF的距离呢?提示先证明BD平面GEF,将直
15、线到平面的距离转化为求点O到平面的距离,过程和答案与例题一致.,答案 C,转化与化归思想的应用典例设四边形ABCD是空间四边形,AB=AD,CB=CD,求证:ACBD.,分析要证空间直线ACBD,从题目条件上看似无从入手,可将空间问题转化为平面问题考虑,若取BD的中点E,则证BDAC转化为证BDEC,BDEA.,证明 取BD的中点E,连接AE,CE.由已知,在等腰三角形ABD和等腰三角形CBD中,有AEBD,CEBD.AECE=E,AE,CE平面AEC,BD平面AEC.又AC平面AEC,BDAC.,方法点睛要证明直线与直线垂直,往往转化为证明线面垂直,再利用线面垂直的重要性质得出线线垂直.,1
16、.如果一条直线垂直于一个平面内的:三角形的两边;梯形的两边;圆的两条直径;正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直的是()A.B.C.D.答案 A解析 三角形的两边、圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边、正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线与平面垂直的是.,2.已知直线a平面,直线b平面,则a与b的关系为()A.ab B.abC.a,b相交不垂直D.a,b异面不垂直答案 B解析 由b,过b作平面,使=c,则bc,且c.a,ac.ab.,3.点A,B到平面的距离分别为4 cm和6 cm,则线段AB的中点M到平面的距离为.答案 1 cm或5 cm解析 当A,B在平面同侧时,由梯形中位线定
17、理可得点M到平面的距离为5 cm;当A,B在平面异侧时,由相似三角形列比例式可得距离为1 cm.,4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为.,答案 30,解析 如图所示,连接B1D1,则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,则BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角.,5.如图,四边形ABCD为矩形,AD平面ABE,F为CE上的点,且BF平面ACE.求证:AEBE.,证明 AD平面ABE,ADBC,BC平面ABE.又AE平面ABE,AEBC.BF平面ACE,AE平面ACE,AEBF.BF平面BCE,BC平面BCE,BFBC=B,AE平面BCE.又BE平面BCE,AEBE.,更多精彩内容请登录志鸿优化网http:/www.zhyh.org/,本 课 结 束,
