1、第六节双曲线A级基础过关|固根基|1.若双曲线C1：1与C2：1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b()A2 B4C6 D8解析：选B由题意得，2b2a，双曲线C2的焦距2c4c2b4，故选B.2已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|PF2|4b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为()A.y21 B.1Cx21 D.1解析：选A由题意可得解得则该双曲线方程为y21.3(2023年年全国卷)已知F是双曲线C：1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点若|OP|OF|，则OPF的面积为()A. B.C. D.解析：选B因为c2
2、a2b29，所以|OP|OF|3.设点P的坐标为(x，y)，则x2y29，把x29y2代入双曲线方程得|y|，所以SOPF|OF|y|.故选B.4已知双曲线1(a0，b0)，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A(2，) B(1，2)C. D.解析：选A由双曲线的性质可得|AF|，即以AB为直径的圆的半径为，而右顶点与左焦点的距离为ac，由题意可知ac，整理得c22a2ac0，两边同除以a2，则e2e20，解得e2或e2.5(2023年届梅州质检)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线上
3、一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为()Ay2x ByxCyx Dyx解析：选D不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，所以|PF1|4a，|PF2|2a.又因为所以PF1F2为最小内角，故PF1F2.在PF1F2中，由余弦定理，可得，即(ac)20，所以ca，则ba，所以双曲线的渐近线方程为yx，故选D.6(2023年届南昌市高三摸底)已知圆C：x2y210y210与双曲线1(a0，b0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是()A. B.C. D.解析：选C圆C的标准方程为x
4、2(y5)24，则圆C的圆心为C(0，5)，半径r2.双曲线1的一条渐近线的方程为yx，即bxay0.由题意得2，所以该双曲线的离心率e，故选C.7已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_；b_.解析：由2xy0，得y2x，所以2.又因为c，a2b2c2，解得a1，b2.答案：128已知双曲线的焦距为6，其上一点P到两焦点的距离之差为4，则双曲线的标准方程为_解析：若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为1.由题意得即又c2a2b2，故b25.所以双曲线的标准方程为1.若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为1.同理可得所以b5.所以双曲线的标准方程为1.综上所
5、述，双曲线的标准方程为1或1.答案：1或19已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线的方程；(2)(一解多解)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0.解：(1)e，可设双曲线的方程为x2y2(0)双曲线过点(4，)，1610，即6.双曲线的方程为x2y26.(2)证明：证法一：由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，k MF1k MF2.点M(3，m)在双曲线上，9m26，即m23，故k MF1k MF21，MF1MF2，0.证法二：由(1)可知，ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)，(2
6、3，m)，(32)(32)m23m2.点M(3，m)在双曲线上，9m26，即m230，0.10设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为 .(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，不妨取一条渐近线为yx，即bxay0，由焦点到渐近线的距离为，得.又c2a2b2，b23，双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，其中x02.则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程yx2代入双曲线方程1得，x216x
7、840，则x1x216，y1y2(x1x2)412.解得t4，点D的坐标为(4，3).B级素养提升|练能力|11.(一题多解)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为双曲线C的右焦点，过F的直线与双曲线C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A. B3C2 D4解析：选B解法一：由已知得，双曲线的两条渐近线方程为y x.设两渐近线的夹角为2，则有tan ，所以30，所以MON260.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在RtONF中，|OF|2，则|ON|，则在RtOMN中，|MN|ON|tan 2tan 603.故选B.解法二：因
8、为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得所以M，所以|OM| ，所以|MN|OM|3，故选B.12(2023年届唐山模拟)已知双曲线1，过点M(m，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A，B两点若AOB是锐角三角形(O为坐标原点)，则实数m的取值范围是_解析：由题意得A，B，所以，.因为AOB是锐角三角形，所以AOB是锐角，即与的夹角为锐角，所以0，即m240，解得2m2.由过点M(m，0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于
9、A，B两点可知m.故实数m的取值范围是(2，)(，2)答案：(2，)(，2)13(2023年届郑州模拟)已知F1，F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线的右支于点B，则F1AB的面积等于_解析：由题意知a1，由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，所以|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.又因为|AB|AF2|BF2|2|BF2|，所以|BA|BF1|，所以BAF1为等腰三角形因为F1AF245，所以ABF190，所以BAF1为等腰直角三角形，所以|BA|BF1|AF1|
10、42，所以SF1AB|BA|BF1|224.答案：414已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是椭圆C1的左、右顶点，而双曲线C2的左、右顶点分别是椭圆C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解：(1)设双曲线C2的方程为1(a0，b0)，则a23，c24，再由a2b2c2，得b21.故双曲线C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k21，故k的取值范围为.- 7 -
