1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为（ ）ABC
2、D2将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（ ）A6B8C10D123我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽比为.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ）A400
3、米B480米C520米D600米4已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5已知，则（ ）ABCD26已知函数若函数在上零点最多，则实数的取值范围是（ ）ABCD7三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD8一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ）ABCD9在中，则 （ ）ABCD10设集合，集合 ，则 =（ ）ABCDR11五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ）ABCD12某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
4、（ ）AB4CD5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知全集，集合，则_.14已知(2x-1)7=ao+a1x+ a2x2+a7x7，则a2=_.15已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为_.16将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，.（1）求证：在区间上有且仅有一个零点，且；（2）若当时，不等式恒成立，求证：.18（12分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标
5、原点.（1）证明:点在轴的右侧;（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率19（12分）已知函数.（1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：.20（12分）已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵.21（12分）如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面.（1）证明：平面.（2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.22（10分）已知函数.（1）若，解关于的不等式；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围.2023学年模拟测试
6、卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，即，由，列出相应方程，求出离心率.【题目详解】解：不妨设过点作的垂线，其方程为，由解得，即，由，所以有，化简得，所以离心率故选：B.【答案点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题2、D【答案解析】推导出，且，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值【题目详解】解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，且，由为等腰直角三角
7、形可知，设中点为，则平面，解得.故选：D【答案点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.3、B【答案解析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度.【题目详解】设第一展望台到塔底的高度为米，塔的实际高度为米，几何关系如下图所示：由题意可得，解得；且满足，故解得塔高米，即塔高约为480米.故选：B【答案点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.4、B【答案解析】求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限【题目详解】由题意,对应点坐标为 ，在第二象限故选：B【答案点睛】本题考查复数的几何意义，考查复
8、数的除法运算，属于基础题5、B【答案解析】结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【题目详解】由，以及，解得.故选：B【答案点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.6、D【答案解析】将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题，画出函数的图象，易知直线过定点，故与在时的图象必有两个交点，故只需与在时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.【题目详解】由图知与有个公共点即可，即，当设切点，则，.故选：D.【答案点睛】本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题.7、B【答案
9、解析】设，根据向量线性运算法则可表示出和；分别求解出和，根据向量夹角的求解方法求得，即可得所求角的余弦值.【题目详解】设棱长为1，由题意得：，又即异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：【答案点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.8、A【答案解析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可【题目详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，四面体所有棱长都是4，正方体的棱长为，设球的半径为，则，解得，所以，故选：A【答案点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的
10、关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题9、A【答案解析】先根据得到为的重心，从而，故可得，利用可得，故可计算的值【题目详解】因为所以为的重心，所以,所以,所以，因为，所以，故选A【答案点睛】对于，一般地，如果为的重心，那么，反之，如果为平面上一点，且满足，那么为的重心10、D【答案解析】试题分析：由题，选D考点：集合的运算11、D【答案解析】三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决.【题目详解】由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有种
11、，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种情况；若为第二种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种，故甲、乙两人在同一个单位的概率为，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为.故选：D.【答案点睛】本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度.12、B【答案解析】还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中, 利用体积分割求解即可.【题目详解】如图，三棱锥的直观图为，体积.故选:B.【答案点睛】本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.二、填空题
12、：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】根据题意可得出，然后进行补集的运算即可【题目详解】根据题意知，故答案为：【答案点睛】本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题14、【答案解析】根据二项展开式的通项公式即可得结果.【题目详解】解：(2x-1)7的展开式通式为：当时，则.故答案为：【答案点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.15、【答案解析】当时，转化条件得有唯一实数根，令，通过求导得到的单调性后数形结合即可得解.【题目详解】当时，故不是函数的零点；当时，即，令，当时，；当时，的单调减区间为，增区间为，又 ，可作出的草图，如图：则要使
13、有唯一实数根，则.故答案为：.【答案点睛】本题考查了导数的应用，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题.16、【答案解析】先求出基本事件总数6636，再由列举法求出“点数之和等于6”包含的基本事件的个数，由此能求出“点数之和等于6”的概率【题目详解】基本事件总数6636，点数之和是6包括共5种情况，则所求概率是故答案为【答案点睛】本题考查古典概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）详见解析.【答案解析】（1）利用求导数，判断在区间上的单调性，然后再证异号，即可证明结论；（2）当时，
14、不等式恒成立，分离参数只需时，恒成立，设（），需，根据（1）中的结论先求出，再构造函数结合导数法，证明即可.【题目详解】（1），令，则，所以在区间上是增函数，则，所以在区间上是增函数.又因为，所以在区间上有且仅有一个零点，且.（2）由题意，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，当时，；当时，恒成立，设（），所以.由（1）可知，使，所以，当时，当时，由此在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.又因为，所以，从而，所以.令，则，所以在区间上是增函数，所以，故.【答案点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.18、（1）证明见解析（2）【答案解析】（1）设出直线的方程，与椭圆方
