1、复数的三角表示,授课教师：郭海欣,温故知新,学习目标,1.了解复数的三角形式；2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；3.了解复数乘、除法运算的三角表示及其几何意 义.(重点、难点),课文精讲,如图，我们知道，与复数z=a+bi(a，bR)，对应的向量 的模r称为这个复数的模，且r=+.,以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量 所在的射线为终边的角，称为复数z=a+bi的辐角.,复数的三角表示式,课文精讲,从图可以知道：,a=rcos，b=rsin，,因此，z=a+bi=rcos+irsin=r(cos+isin).,复数的三角表示式,课文精讲,于是，任何复数z=a+bi(a，bR)都
2、可以表示为,z=r(cos+isin)，其中r=+，cos=，sin=.,这个式子称为复数z=a+bi(a，bR)的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分，a+bi称为复数的代数表示式，简称代数形式.,复数的三角表示式,课文精讲,当复数z=r(cos+isin)0时，z的辐角有无穷多个值，这些值相差2的整数倍.例如，复数i的辐角是+2k，其中k可以取任何整数.,复数的三角表示式,课文精讲,为确定起见，将满足条件0 2的辐角值，称为辐角的主值，记作arg z，即0arg z2.每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与
3、辐角的主值分别相等.,复数的三角表示式,课文精讲,显然，当0时，arg=0，arg(-)=，arg(i)=，arg(-i)=.如果z=0，那么与它对应的向量 缩成一个点(零向量)，它的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.,复数的三角表示式,课文精讲,复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.,复数的三角表示式,典型例题,例1：请将以下复数表示为三角形式(辐角取主值)：(1)+；(2)1-；(3)-1.,解：(1)因为=+=2，cos=，sin=，所以=.于是+=2+.,典型例题,例1：请将以下复数表示为三角
4、形式(辐角取主值)：(1)+；(2)1-；(3)-1.,解：(2)因为=+=，cos=，sin=，所以=.于是1-=+.,典型例题,例1：请将以下复数表示为三角形式(辐角取主值)：(1)+；(2)1-；(3)-1.,解：(3)因为=+=1，cos=-1，sin=0，所以=.于是-1=cos+isin.,课文精讲,将复数z1，z2分别用三角形式表示为 z1=r1(cos1+isin1)，z2=r2(cos2+isin2).,复数乘除运算的几何意义,一、乘法,课文精讲,由复数乘法的定义与两角和的三角函数公式，有z1z2=r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2)=r1r2(cos1c
5、os2-sin1sin2)+i(sin1cos2+cos1sin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2).,复数乘除运算的几何意义,一、乘法,课文精讲,即,复数乘除运算的几何意义,这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和.,r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2).,一、乘法,课文精讲,复数乘除运算的几何意义,据此，两个复数z1，z2相乘时，可以先画出它们分别对应的向量，然后把向量 绕原点O按逆时针方向旋转角2(若20，就要 绕原点O按顺时针方向旋转角|)，,一、乘法,课文精讲,复数乘除运
6、算的几何意义,再把它的模变为原来的r2倍，所得向量 就表示复数z1，z2的乘积(如图).这是复数乘法的几何意义.,一、乘法,典型例题,例2：如图，向量 与复数-i对应，把 绕原点O按逆时针方向旋转120得到，求 对应的复数(用代数形式表示).,解：根据复数乘法的几何意义，所求的复数就是-i乘一 个复数z0的积，z0的 模是1，辐角的主值 是120.,典型例题,例2：如图，向量 与复数-i对应，把 绕原点O按逆时针方向旋转120得到，求 对应的复数(用代数形式表示).,解：故所求的复数是(cos120+isin120)=+=-i.,典型例题,例3：试证明:r(cos+isin)3=r3(cos3
7、+isin3).,证明：r(cos+isin)3=r(cos+isin)r(cos+isin)r(cos+isin)=r(cos+isin)r(cos+isin)r(cos+isin)=r2(cos2+isin2)r(cos+isin)=r3(cos3+isin3).,课文精讲,二、除法,复数乘除运算的几何意义,设z1=r1(cos1+isin 1)，z2=r2(cos2+isin2)，且z20，则=(+)(+)=(+)()(+)(),课文精讲,二、除法,复数乘除运算的几何意义,这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.,所以,(
8、+)(+)=()+(),典型例题,例4：计算：，并把结果化为代数形式.,+,解：+=+=+=(+)=.,课文精讲,思考：请计算复数r(cos+isin)的平方根和3次方根.,(1)设z1=r1(cos1+isin1)是r(cos+isin)的平方根，则z12=r(cos+isin)，r12(cos21+isin21)=r(cos+isin)，r12=r，且21=+2k，kZ，r1=，1=k+，kZ，z1=+(k=0，1).,课文精讲,思考：请计算复数r(cos+isin)的平方根和3次方根.,(2)设z2=r2(cos2+isin2)是r(cos+isin)的3次方根，则z23=r(cos+i
9、sin)，r23(cos32+isin32)=r(cos+isin)，r23=r，且32=+2k，kZ，r2=，2=+，kZ，z2=+(k=0，1，2).,综合练习,瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角形式：ei=cos+isin，（i为虚数单位），根据该式，计算ei+1的值为（）A-1 B0 C1 Di,解：由ei=cos+isin，则ei+1=cos+isin+1=0，故选B.,B,综合练习,计算下列各式，并作出几何解释：(1)(cos+isin)2(cos+isin)；(2)4(cos300+isin300)(cos+isin).,解：(1)(cos+isin)2(cos+isin)
10、=4(cos+isin)=-4，,综合练习,计算下列各式，并作出几何解释：(1)(cos+isin)2(cos+isin)；(2)4(cos300+isin300)(cos+isin).,解：(1)表示对于复数(cos+isin)逆时针 方向旋转，再把模变为原来的2 倍.,综合练习,计算下列各式，并作出几何解释：(1)(cos+isin)2(cos+isin)；(2)4(cos300+isin300)(cos+isin).,解：(2)4(cos300+isin300)(cos+isin)=2(cos165+isin165)=-(+1)+i(-1)，,综合练习,计算下列各式，并作出几何解释：(1)(cos+isin)2(cos+isin)；(2)4(cos300+isin300)(cos+isin).,解：(2)表示对于复数4(cos300+isin300)顺时 针方向旋转135，再把模变为原来的 倍.,本课小结,再 见,
