1、第一节绝对值不等式A级基础过关|固根基|1.已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集解：(1)证明：f(x)|x2|x5|所以3f(x)3.(2)由(1)可知，当x2时，f(x)x28x15的解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15的解集为x|5x5；当x5时，f(x)x28x15的解集为x|5x6综上，不等式f(x)x28x15的解集为x|5x62(2023年届湖北荆州一模)已知函数f(x)|xa|，不等式f(x)3的解集为6，0(1)求实数a的值；(2)若f(x)f(x5)2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由f
2、(x)3，得|xa|3，所以a3xa3，又因为f(x)3的解集为6，0，所以a3.(2)因为f(x)f(x5)|x3|x8|x3(x8)|5，又f(x)f(x5)2m对一切实数x恒成立，所以2m5，即m.3(2023年届太原模拟)已知函数f(x)|x1|a(aR)(1)若f(x)的最小值不小于3，求实数a的最大值；(2)若g(x)f(x)2|xa|a的最小值为3，求实数a的值解：(1)因为f(x)minf(1)a，所以a3，解得a3，即amax3.(2)g(x)f(x)2|xa|a|x1|2|xa|.当a1时，g(x)3|x1|0，03，所以a1不符合题意；当a1时，g(x)即g(x)所以g(
3、x)ming(a)a13，解得a4.当a1时，同理可知g(x)ming(a)a13，解得a2.综上，a2或4.4(2023年届兰州模拟)已知不等式|2x5|2x1|ax1.(1)当a1时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为R，求实数a的取值范围解：(1)令f(x)|2x5|2x1|，则f(x)|2x5|2x1|因为a1，所以当x时，由4x4x1，解得x；当x时，由6x1，解得x；当x时，由4x4x1，解得x.综上，所求不等式的解集为R.(2)由(1)作函数f(x)的图象，点A，令yax1，则其过定点P(0，1)，如图所示，由不等式|2x5|2x1|ax1的解集为R，可得4a，即4a.所以，
4、所求实数a的取值范围为.B级素养提升|练能力|5.(2023年届“四省八校联盟”高三联考)已知函数f(x)|x1|x3|，g(x)xa.(1)求不等式f(x)6的解集；(2)对任意xR，都有f(x)g(x)0，求实数a的取值范围解：(1)f(x)则或解得x4或x2.所以不等式的解集为(，42，)(2)当x3时，f(x)g(x)2x2xa0恒成立，即3x2a0恒成立，所以a7；当3x1时，f(x)g(x)4xa0恒成立，即a4x恒成立，所以a3；当x1时，f(x)g(x)2x2xa0恒成立，即ax2恒成立，所以a3.综上，a3，即实数a的取值范围为(，36设函数f(x)|2x3|x1|.(1)解
5、不等式f(x)4；(2)若存在x0使不等式a1f(x0)成立，求实数a的取值范围解：(1)由题意得f(x)则f(x)4或或x2或0x1或x1.所以不等式f(x)4的解集为(，2)(0，)(2)存在x0使不等式a1f(x0)成立a1f(x)min，由(1)知，当x时，f(x)x4，所以f(x)minf，则a1，解得a，所以实数a的取值范围为.7(2023年届太原市模拟试题)已知函数f(x)|xm|2x1|.(1)当m1时，求不等式f(x)2的解集；(2)若f(x)|2x1|的解集包含，求m的取值范围解：(1)当m1时，f(x)|x1|2x1|，当x1时，f(x)3x22，所以1x；当x1时，f(
6、x)x2，所以x1；当x时，f(x)23x2，所以0x.综上可得，原不等式f(x)2的解集为.(2)由题意可知f(x)|2x1|在上恒成立，当x时，f(x)|xm|2x1|xm|2x1|2x1|2x1，所以|xm|2，即2xm2，则2xm2x，且(2x)max，(2x)min0，因此m的取值范围为.8(2023年届郑州模拟)已知函数f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)4|x1|；(2)已知mn1(m，n0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.当x时，即3x2x14，解得x；当x1时，即3x2x14，解得x；当x1时，即3x2x14，无解综上所述，不等式的解集为.(2)(mn)114.令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|所以当x时，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即0a.故实数a的取值范围为.- 5 -
