1、第三节圆的方程A级基础过关|固根基|1.圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)24解析：选A根据题意可设圆的方程为x2(yb)21，因为圆过点A(1，2)，所以12(2b)21，解得b2，所以所求圆的方程为x2(y2)21.2方程|x|1所表示的曲线是()A一个圆 B两个圆C半个圆 D两个半圆解析：选D由题意得即或故原方程表示两个半圆3点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21解析：选
2、A设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2y24上，所以xy4，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.故选A.4已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(4，a)，C(2a2，2)，则ABC外接圆的方程是()Ax2(y3)25 Bx2(y3)25C(x3)2y25 D(x3)2y25解析：选D由题意，得2a4，a2，B(4，2)，C(2，2)，ABC外接圆的半径为，圆心为(3，0)，ABC外接圆的方程为(x3)2y25，故选D.5已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q为(2，3)，则的最
3、大值为()A3 B1C1 D2解析：选D表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，其中k，将圆C的方程化为标准方程得(x2)2(y7)28，即圆心C为C(2，7)，半径r2，由直线MQ与圆C有交点，得2，解得2k2，所以的最大值为2，故选D.6(一题多解)(2023年届山西太原模拟)已知方程x2y22x2yF0表示半径为2的圆，则实数F_解析：解法一：因为方程x2y22x2yF0表示半径为2的圆，所以4，得F2.解法二：方程x2y22x2yF0可化为(x1)2(y1)22F，因为方程x2y22x2yF0表示半径为2的圆，所以F2.答案：27过两点A(1，4)，B(
4、3，2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程为_解析：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为圆心在直线y0上，所以b0，所以圆的方程为(xa)2y2r2.又因为该圆过A(1，4)，B(3，2)两点，所以解得所以所求圆的方程为(x1)2y220.答案：(x1)2y2208(2023年届厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2(y3)21上的动点，定点A(2，0)，B(2，0)，则的最大值为_解析：由题意，知(2x，y)，(2x，y)，所以x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2(y3)21，故x2(y3)21，所以(y3)21y246y12.易知2y4，所以当y4时，的值最
5、大，最大值为641212.答案：129已知以点P为圆心的圆经过点A(1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为(1，2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得ab30.又因为直径|CD|4，所以|PA|2，所以(a1)2b240.由解得或所以圆心P为(3，6)或P(5，2)所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.10已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，
6、其中O为原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程解：(1)证明：因为圆C过原点O，所以OC2t2.设圆C的方程是(xt)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，所以SOABOAOB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)因为OMON，CMCN，所以OC垂直平分线段MN.因为kMN2，所以kOC，所以t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC，此时，圆心C到直线y2x4的距离d.圆C与直线y2x4不相交，所以t2不符合题意，舍去所以圆C的方程为(x2)2(y1)25.B级素养提升|练能力|11.直线x
7、y20分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2，6 B4，8C，3 D2，3解析：选A圆心(2，0)到直线的距离d2，所以点P到直线的距离d1，3根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以ABP的面积S|AB|d1d1.因为d1，3，所以S2，6，即ABP面积的取值范围是2，612设点P是函数y图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为_解析：函数y的图象为圆(x1)2y24的下半圆(包括与x轴的交点)令点Q的坐标为(x，y)，则得y3，即x2y60，作出图象如图所示
8、由于圆心(1，0)到直线x2y60的距离d2，所以直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2.答案：213已知点A(3，0)，B(1，2)，若圆(x2)2y2r2(r0)上恰有两点M，N，使得MAB和NAB的面积均为4，则r的取值范围是_解析：由题意可得|AB|2，根据MAB和NAB的面积均为4，可得两点M，N到直线AB的距离为2.由于AB的方程为，即xy30.若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则有圆心(2，0)到直线AB的距离为r2，解得r；若圆上只有3个点到直线AB的距离为2，则有圆心(2，0)到直线AB的距离为r2，解得r.综上，r的取值范围是.答案：14(20
9、23年届大同模拟)已知半圆x2y24(y0)，动圆与此半圆相切(内切或外切，如图)，且与x轴相切(1)求动圆圆心的轨迹方程，并画出其轨迹图形；(2)是否存在斜率为的直线l，它与(1)中所得轨迹由左至右顺次交于A，B，C，D四点，且满足|AD|2|BC|，若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)设动圆圆心M(x，y)，作MNx轴于N.若动圆与半圆外切，则|MO|2|MN|.y2，两边平方，得x2y2y24y4，化简，得yx21(y0)若动圆与半圆内切，则|MO|2|MN|，2y，两边平方，得x2y244yy2，化简，得yx21(y0)其轨迹图形为(2)假设直线l存在，可设l的方程为yxb，依题意，可得其与曲线yx21(y0)交于A，D两点，与曲线yx21(y0)交于B，C两点，联立与整理可得，3x24x12b120与3x24x12b120.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，则xAxD，xAxD4b4，xBxC，xBxC4b4.又|AD| |xAxD|，|BC| |xBxC|，且|AD|2|BC|，|xAxD|2|xBxC|，即(xAxD)24xAxD4(xBxC)24xBxC，即4(4b4)4，解得b.将b代入方程，得xA2，xD.曲线yx21(y0)的横坐标的范围为(，2)(2，)，这样的直线l不存在- 7 -
