1、第四节基本不等式A级基础过关|固根基|1.若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b22ab Bab2C. D.2解析：选D对于A，因为a2b22ab(ab)20，所以A错误；对于B、C，当a0，b0，所以0，0，所以22，正确2(2023年届安徽省六校联考)若正实数x，y满足xy2，且M恒成立，则M的最大值为()A1 B2C3 D4解析：选A因为正实数x，y满足xy2，所以00，b1，且ab2，则的最小值为()A42 B8C4 D2解析：选A因为a0，b1，ab2，所以(ab1)44242，当且仅当a，b时取等号，所以的最小值为42.故选A.4(2023年届长春市质量检测一
2、)已知x0，y0，且4xyxy，则xy的最小值为()A8 B9C12 D16解析：选B由4xyxy，得1，则xy(xy)14259，当且仅当，即x3，y6时取“”，故选B.5.已知函数f(x)ax3bx2x(a0，b0)在x1处取得极值，则的最小值为()A4 B5C9 D10解析：选C由f(x)ax3bx2x，得f(x)ax2bx1，则f(1)ab10，即ab1，所以(ab)5529，当且仅当，即a，b时等号成立，故选C.6已知x0，y0，2xy3，则xy的最大值为_解析：xy2xy，当且仅当2xy时取等号答案：7某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用
3、为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为64x48240，当且仅当x30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：308在各项都为正数的等比数列an中，若a2 018，则的最小值为_解析：an为各项都为正数的等比数列，a2 017a2 019a.224，当且仅当，即a2 0192a2 017时取得等号的最小值为4.答案：49已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1.又x0，y0，则12 ，解得xy64，当且仅当x16，y4时等号成立，所以xy的最
4、小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)1010218，当且仅当x12且y6时等号成立，所以xy的最小值为18.10(1)已知0x，求x(43x)的最大值；(2)点(x，y)在直线x2y3上移动，求2x4y的最小值解：(1)已知0x，所以03x0，4y0.所以2x4y2224.当且仅当即x，y时“”成立，所以当x，y时，2x4y取最小值为4.B级素养提升|练能力|11.已知x0，y0，且2x4yxy1，则x2y的最小值是_解析：令tx2y，则2x4yxy1可化为12x4yxy2(x2y)2t.因为x0，y0，所以x2y0，即t0，所以t216t80，解得t68，即x2y的最小值
5、是68.答案：6812已知正实数a，b满足ab4，则的最小值为_解析：因为ab4，所以a1b38，所以(a1)(b3)(22)，当且仅当a1b3，即a3，b1时取等号，所以的最小值为.答案：13当t1，)时，不等式mt24t2m0恒成立，则实数m的取值范围是_解析：由题意及不等式分离参数得，m(t1)恒成立，由基本不等式可得t22(当且仅当t时取等号)，所以的最小值为，所以m.答案：(，)14如图，某生态园将一块三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆(1)若围墙AP，AQ总长度为200米，
6、如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设APx米，AQy米(1)则xy200，APQ的面积Sxysin 120xy，所以S 2 500.当且仅当即xy100时取“”，则AP与AQ的长度都为100米时，可使得三角形地块APQ的面积最大(2)由题意得100(x1.5y)20 000，即x1.5y200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2x2y22xycos 120x2y2xy(2001.5y)2y2(2001.5y)y1.75y2400y40 0001.75，当y时，PQ有最小值，此时x，即AP长为米，AQ长为米时，可使竹篱笆用料最省- 5 -
