1、第8讲函数与方程基础题组练1(2023年福州期末)已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是()A0B1C2 D3解析：选C.令f(x)3x0，则或解得x0或x1，所以函数yf(x)3x的零点个数是2.故选C.2下列函数中，在(1，1)内有零点且单调递增的是()Aylogx By2x1Cyx2 Dyx3解析：选B.函数ylogx在定义域上单调递减，yx2在(1，1)上不是单调函数，yx3在定义域上单调递减，均不符合要求对于y2x1，当x0(1，1)时，y0且y2x1在R上单调递增故选B.3(2023年甘肃酒泉敦煌中学一诊)方程log4xx7的解所在区间是()A(1，2) B(3，4)C(
2、5，6) D(6，7)解析：选C.令函数f(x)log4xx7，则函数f(x)是(0，)上的单调递增函数，且是连续函数因为f(5)0，所以f(5)f(6)0或m1时，直线ym与函数yx22|x|的图象有两个交点，即函数f(x)x22|x|m有两个零点故选B.5已知函数f(x)xexax1，则关于f(x)的零点叙述正确的是()A当a0时，函数f(x)有两个零点B函数f(x)必有一个零点是正数C当a0时，函数f(x)只有一个零点解析：选B.f(x)0exa(x0)，在同一直角坐标系中作出yex与y的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确6已知函数f(x)a的零点为1，则实数a的值为 解析：由
3、已知得f(1)0，即a0，解得a.答案：7(2023年新疆第一次适应性检测)设aZ，函数f(x)exxa，若x(1，1)时，函数有零点，则a的取值个数为 解析：根据函数解析式得到函数f(x)是单调递增的由零点存在性定理知若x(1，1)时，函数有零点，需要满足1ae1，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，1，2，3.答案：48已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是 解析：法一：设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，所以x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10
4、，即a2a20，所以2a1.故实数a的取值范围为(2，1)法二：函数f(x)的图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，得a2a20，所以2a0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，解得0a1，因此实数a的取值范围是(0，1)10已知函数f(x)ax2bxc(a0)，满足f(0)2，f(x1)f(x)2x1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)f(x)mx的两个零点分别在区间(1，2)和(2，4)内，求m的取值范围解：(1)由f(0)2得c2，又f(x1)f(x)2x1，得2axab2x1，故解得a1，b2，所以f(x)x
5、22x2.(2)g(x)x2(2m)x2，若g(x)的两个零点分别在区间(1，2)和(2，4)内，则满足解得1m.所以m的取值范围为.综合题组练1(一题多解)函数f(x)2x零点的个数为()A0 B1C2 D3解析：选B.法一：当x0恒成立，无零点；又易知f(x)2x在(0，)上单调递增，最多有一个零点又f20，所以有一个零点故选B.法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y2x和y的图象，如图所示函数f(x)2x的零点等价于2x的根等价于函数y2x和y的交点由图可知，有一个交点，所以有一个零点故选B.2已知命题p：“m2”是“幂函数f(x)(m2m1)xm在区间(0，)上为增函数”的充要条件；
6、命题q：已知函数f(x)ln x3x8的零点x0a，b，且ba1(a，bN*)，则ab5.则下列命题为真命题的是()Apq B(p)qCq Dp(q)解析：选A.对于命题p，若幂函数f(x)(m2m1)xm在区间(0，)上为增函数，则解得m2，所以命题p是真命题，p是假命题对于命题q，函数f(x)ln x3x8在(0，)上单调递增，且f(2)ln 220，所以零点x0a，b，且ba1(a，bN*)，则a2，b3，ab5，所以命题q为真命题，q为假命题所以pq是真命题，(p)q，q，p(q)都是假命题故选A.3设函数f(x)(x0)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)f(b)
7、时，求的值；(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解：(1)如图所示(2)因为f(x)故f(x)在(0，1上是减函数，而在(1，)上是增函数，由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，且11，所以2.(3)由(1)中函数f(x)的图象可知，当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根所以m的取值范围是(0，1)4(创新型)已知函数f(x)x22x，g(x)(1)求g(f(1)的值；(2)若方程g(f(x)a0有4个实数根，求实数a的取值范围解：(1)利用解析式直接求解得g(f(1)g(3)312.(2)令f(x)t，则原方程化为g(t)a，易知方程f(x)t在t(，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数yg(t)(t1)与ya的图象有2个不同的交点，作出函数yg(t)(t1)的图象，如图，由图象可知，当1a时，函数yg(t)(t1)与ya有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.5
