1、第二节参数方程A级基础过关|固根基|1.(2023年届长春市质量检测)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1，2)，点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以点C为圆心，3为半径(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|.解：(1)由题意得直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的直角坐标方程为x2(y3)29，故圆C的极坐标方程为6sin .(2)由(1)知圆C的直角坐标方程为x2(y3)29，把代入x2(y3)29，得t2(1)t70，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t27
2、.又|PA|t1|，|PB|t2|，所以|PA|PB|7.2(2023年届长春质量检测)已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2(3sin2)12，曲线C2的参数方程为(t为参数)，.(1)求曲线C1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；(2)设曲线C2与曲线C1的交点为A，B，P(1，0)，当|PA|PB|时，求cos 的值解：(1)由2(3sin2)12，得1，该曲线是焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆(2)将代入1得t2(4cos2)6tcos 90，由直线参数方程的几何意义，设|PA|t1|，|PB|t2|，则t1t
3、2，t1t2，所以|PA|PB|t1t2|，所以cos2，因为，所以cos .3(2023年届“四省八校联盟”高三联考)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是4sin ，曲线C2的参数方程为(t为参数)(1)求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)设曲线C1，C2交于点A，B，已知点M(4，0)，求.解：(1)曲线C1的极坐标方程可以化为24sin 0，又x2y22，ysin ，所以曲线C1的直角坐标方程为x2y24y0.消去参数得曲线C2的普通方程为xy40.(2)曲线C2的参数方程可化为(t为参数)，将C2的参数方程代入曲线
4、C1的直角坐标方程得，4t22t0，整理得t2(42)t160，判别式0，不妨设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t242，t1t216.又点M(4，0)，所以|MA|t1|，|MB|t2|，所以.又t1t2420，t1t2160，所以|t1|t2|t1t242，|t1t2|16，所以.4(2023年届洛阳市尖子生第一次联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2，直线l经过曲线C的左焦点F.(1)求直线l的普通方程；(2)设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值解：(1)曲线C的极坐标方程为2
5、，即22sin24，将2x2y2，sin y代入上式并化简得1，所以曲线C的直角坐标方程为1，于是c2a2b22，F(，0)直线l的普通方程为xym，将F(，0)代入直线方程得m，所以直线l的普通方程为xy0.(2)设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为(2cos ，sin )，则椭圆C的内接矩形的周长为L2(4cos 2sin )4sin()(其中tan )，所以椭圆C的内接矩形的周长L的最大值为4.B级素养提升|练能力|5.(2023年届湘东五校联考)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过点M(2，4)，以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22
6、cos .(1)写出直线l的参数方程(为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|MB|40，求倾斜角的值解：(1)由题意得直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为sin22cos ，即2sin22cos ，将xcos ，ysin 代入得曲线C的直角坐标方程为y22x.(2)把直线l的参数方程代入y22x，得t2sin2(2cos 8sin )t200，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1t2，t1t2，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|MB|t1t2|40，得或.又(2cos 8sin )280sin
7、20，所以.6(2023年届湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(是参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标解：(1)由题意得曲线C1的普通方程为y21，由sin，得sin cos 2，得曲线C2的直角坐标方程为xy20.(2)设点P的坐标为(cos ，sin )，则点P到C2的距离为，当sin1，即2k(kZ)，2k(kZ)时，所求距离最大，最大值为2，此时点P的坐标为.7(2023年届惠州市第二
8、次调研)已知曲线C：(为参数)和定点A(0，)，F1，F2是此曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线AF2的极坐标方程；(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求|MF1|NF1|的值解：(1)曲线C：可化为1，故曲线C为椭圆，则焦点F1(1，0)，F2(1，0)所以经过点A(0，)和F2(1，0)的直线AF2的方程为x1，即xy0，所以直线AF2的极坐标方程为cos sin .(2)由(1)知，直线AF2的斜率为，因为lAF2，所以直线l的斜率为，即倾斜角为30，所以直线l的参数方程为(t为参数)，代入椭圆C的方程中，得13t2
9、12t360.由根与系数的关系得，t1t2.因为点M，N在点F1的两侧，所以|MF1|NF1|t1t2|.8(2023年届南昌市第一次模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数，aR)以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，|PA|2|PB|，求实数a的值解：(1)因为曲线C1的参数方程为(t为参数)，所以其普通方程为xya10.因为曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0，所以2cos24cos 20，所以x24xx2y20，即曲线C2的直角坐标方程为y24x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，将直线的参数方程代入曲线C2：y24x，得2t22t14a0.(2)242(14a)0，即a0，由根与系数的关系得根据参数方程的几何意义可知，|PA|2|t1|，|PB|2|t2|，又|PA|2|PB|得|t1|2|t2|，即t12t2或t12t2.所以当t12t2时，有解得a0，符合题意；当t12t2时，有解得a0，符合题意综上所述，实数a的值为或.- 6 -
