1、第七节抛物线A级基础过关|固根基|1.抛物线yax2(a0)的准线方程是()Ay ByCy Dy解析：选B抛物线yax2(a0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是()Ay212x By28xCy26x Dy24x解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义，x1x2p8，因为AB的中点到y轴的距离是2，所以2，所以p4，所以抛物线方程为y28x.故选B.4(2023年届太原模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，且l过点(2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|MF|的最小值为(
2、)A2 B3C4 D5解析：选B依题意，知l：x2，则抛物线C：y28x，过点M作MMl，垂足为M，过点N作NNl，垂足为N，则|MN|MF|MN|MM|NN|3，故选B.5(2023年届陕西省百校联盟高三模拟)已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()A1 B.C2 D.解析：选B依题意得F(1，0)设l与x轴的交点为M，则|FM|2.如图，过点Q作l的垂线，垂足为Q1，则，所以|QQ1|FM|，所以|QF|QQ1|，故选B.6已知直线l与抛物线C：y24x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2，1)，则直线l的方程为_解析：
3、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有由得yy4(x1x2)，由题可知x1x2.2，即kAB2，直线l的方程为y12(x2)，即y2x3.答案：y2x37抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.答案：68已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_解析：因为双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，所以2 ，解得，所以双曲线的渐近线方程为xy0.
4、因为抛物线C2：x22py(p0)的焦点为F，所以F到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以p8，所以抛物线C2的方程为x216y.答案：x216y9已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，由题意可得45，所以p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFA，且FA的方程为y(x1)，因为MNF
5、A，所以kMN，且MN的方程为y2x，联立，解得x，y，所以N的坐标为.10设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得，AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx
6、5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.B级素养提升|练能力|11.已知抛物线x24y上一动点P到x轴的距离为d1，到直线l：xy40的距离为d 2，则d1d2的最小值是()A.2 B.1C.2 D.1解析：选D抛物线x24y的焦点为F(0，1)，由抛物线的定义可得d1|PF|1，则d1d2|PF|d21，而|PF|d2的最小值等于焦点F到直线l的距离，即(|PF|d2)min，所以d1d2的最小值是1.12(一题多解)(2023年届湖北武汉部分学校调研)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，且斜率为的直线交抛
7、物线C于点M(M在x轴上方)，l为抛物线C的准线，点N在l上且MNl，若|NF|4，则M到直线NF的距离为()A. B2C3 D2解析：选B解法一：因为直线MF的斜率为，MNl，所以NMF60，又|MF|MN|，且|NF|4，所以NMF是边长为4的等边三角形，所以M到直线NF的距离为2.故选B.解法二：由题意可得直线MF的方程为xy，与抛物线方程y22px联立消去x可得y2pyp20，解得yp或yp，又点M在x轴上方，所以M.因为MNl，所以N，所以|NF| 2p.由题意2p4，解得p2，所以N(1，2)，F(1，0)，直线NF的方程为xy0，且点M的坐标为(3，2)，所以M到直线NF的距离为
8、2，故选B.解法三：由题意可得直线MF的方程为xy，与抛物线方程y22px联立消去x可得y2pyp20，解得yp或yp，又点M在x轴上方，所以M.因为MNl，所以N，所以|NF|2p.由题意2p4，解得p2，所以N(1，2)，F(1，0)，M(3，2)，设M到直线NF的距离为d，在MNF中，SMNF|NF|d|MN|yM，所以d422，故选B.13已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)因为点P(1，2)在抛物线上，所以222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA(x11)，kPB(x21)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB.所以，所以y12(y22)所以y1y24.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得由得，yy4(x1x2)，所以kAB1.- 7 -
