1、第三章第三章 微分中值定理与导数应用微分中值定理与导数应用第三节第三节 泰勒公式泰勒公式主讲主讲 武忠祥武忠祥 教授教授 若若在在处可微，则处可微，则问题：问题：若若在在处处阶可导阶可导,是否存在是否存在次多项式次多项式使使 结论：结论：定理定理1(Taylor1(Taylor定理定理)设设在在处处阶可微，则阶可微，则 上式称为上式称为带带PeanoPeano余项的余项的TaylorTaylor公式；公式；在在处的处的次次TaylorTaylor多项式多项式 的的PeanoPeano余项余项缺点：缺点：1 1）只给出余项的定性描述，不能进行定量分析）只给出余项的定性描述，不能进行定量分析;2)
2、2)适用范围小适用范围小.若若在区间在区间中可微，中可微，定理定理2(Taylor2(Taylor定理定理)设设在区间在区间中中阶可导，阶可导，则则（在在与与之间），使之间），使上式称为上式称为带带LagrangeLagrange余项的余项的TaylorTaylor公式；公式；称为称为的的LagrangeLagrange余项余项若若则则若若，则，则 上式称为上式称为的的MaclaurinMaclaurin公式公式几个初等函数的几个初等函数的MaclaurinMaclaurin公式公式1 1）2 2）3 3）4 4）5)5)内容小结内容小结小结：小结：1 1本质：本质：用多项式逼近用多项式逼近用
3、已知点的信息表示未知点用已知点的信息表示未知点 2 2PeanoPeano：定性定性;局部局部3 3LagrangeLagrange：定量；整体定量；整体 1 1）PeanoPeano余项余项2 2）LagrangeLagrange余项余项与一阶导数的关系；与一阶导数的关系；4 4LagrangeLagrange定理是定理是TaylorTaylor定理的特例定理的特例.四大中四大中值定理值定理 前三个建立前三个建立TayloyTayloy 建立建立与高阶导数之间的关系。与高阶导数之间的关系。例例1 1 求极限求极限 例例2 2 设设当当时，时，与与证明：当证明：当时，时，是等价无穷小是等价无穷小.作业作业 P143：4;5;10(1)(3);
