1、第4讲 导数的实际应用 利用导数解决生活、生产优化问题，其解题思路是：1函数 y13xx3 有()D A极小值1，极大值 1 B极小值2，极大值 3 C极小值2，极大值 2 D极小值1，极大值 3 解析：y33x23(1x)(1x)，令 y0 得 x1，x1，当 x1 时，y0；当 x1，y0，x1 时，y极小1，当 x1 时，y极大3，故选 D.2设 f(x)xlnx，假设 f(x0)2，那么 x0()B Ae2 Be C.ln2 2 Dln2 3一个物体作直线运动，其位移对时间的变化规律为 s 6t25t，那么物体运动的初速度为_；加速度为_.象限 5 m/s 12 ms 2 图 441
2、5曲线 yx32x24x2 在点(1，3)处的切线方程是 _.5xy20 4函数 yf(x)的图像过原点且它的导函数 gf(x)的图像 是如图 441 所示的一条直线，那么 yf(x)图像的顶点在第_ 一一 考点 1 函数模型中的最优化问题 例 1：某学校拟建一座长 60 米，宽 30 米的长方形体育馆 按照建筑要求，每隔 x 米需打建一个桩位，每个桩位需花费 4.5 万元(桩位视为一点且打在长方形的边上)，桩位之间的 x 米墙面需花(2 3x)x 万元，在不计地板和天花板的情况下，当 x 为何值时，所需总费用最少？解析：由题意可知，需打 260 x1 230 x1 180 x个桩位.墙面所需
3、费用为：(2 3x)x180 x180(2 3x)，所需总费用 y180 x92180(2 3x)18092x 3x 360(0 x30)令 t92x 3x，则 t92x232 x3332x322x2，当 0 x3 时，t0；当 3x30 时，t0.当 x3 时，t 取极小值为 t923 3392.而在(0,30)内极值点唯一，tmin92.当 x3 时，ymin180923601 170(万元)即每隔 3 米打建一个桩位时，所需总费用最小为 1 170 万元 这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数 是一个复合函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技
4、巧，而运用导数知识，求复合函数的最值就变得非常简单【互动探究】1统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y1128 000 x3380 x8(0 x120)已知甲、乙两地相距 100 千米 (1)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙 地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最 少？最少为多少升 解：(1)当 x40 时，汽车从甲地到乙地行驶了100402.5(小时)，要耗油1128 000403380408 2.517.5(升)答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，
5、从甲地到乙地耗油 17.5 升(2)当速度为 x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100 x小时，设耗油量为 h(x)升，依题意得 h(x)1128 000 x3380 x8 100 x 11280 x2800 x154(0 x120)，h(x)x640800 x2x3803640 x2(0 x120)令 h(x)0，得 x80.当 x(0,80)时，h(x)0，h(x)是减函数；当 x(80,120)时，h(x)0，h(x)是增函数 当 x80 时，h(x)取到极小值 h(80)11.25.因为 h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值 答：当汽车以 80 千米/小时的速度匀
6、速行驶时，从甲地到 乙地耗油最少为 11.25 升 考点 2 几何模型的最优化问题 例 2：用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要 求长方体的长与宽之比为 21，问该长方体的长、宽、高各为 多少时，其体积最大？最大体积是多少？解析：设长方体的宽为 x(m)，则长为 2x(m)，高为 h1812x4(4.53x)m0 x32.故长方体的体积为 V(x)2x2(4.53x)(9x26x3)m30 x32.从而 V(x)18x18x218x(1x)令 V(x)0，解得 x0(舍去)或 x1，因此 x1.当 0 x1 时，V(x)0；当 1x23时，V(x)0，故在 x1 处 V(x)取
7、得极大值，并且这个极大值就是 V(x)的最大值 从而最大体积 VV(1)9126133(m3)，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m.答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为 3 m3.【互动探究】2当底面半径为 R 的圆柱形金属饮料罐的外表积为定值 S 时，它的高为()时，才能使所用材料最省？B AR B2R C3R D4R 解析：S2Rh2R2hS2R22RV(R)S2R22RR2 12(S2R2)R12SRR3.V(R)0S6R26R22Rh2R2h2R.错源：新定义的边际函数理解不到位 例 3：某造船厂年造船量为 20 艘，造船 x
8、 艘的产值函数为 R(x)3 700 x45x210 x3(单位：万元)，本钱函数为 C(x)460 x 5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)的定义为 Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)(利润产值成 本)；(2)问年造船量安排多少艘时，公司造船利润最大；(3)求边际利润函数 MP(x)的单调递减区间 误解分析：对新定义的边际函数理解不到位，导致建模困 难，并容易忽略自变量的取值范围 纠错反思：认真审题，提取有用信息 正解：(1)P(x)R(x)C(x)10 x345x23 240 x5 000(xN*,1x2
9、0)MP(x)P(x1)P(x)30 x260 x3 275(xN*，1x19)(2)P(x)30 x290 x3 24030(x12)(x9)，x0，P(x)0 时，x12，当 0 x0；当 x12 时，P(x)0，ex1，ex10.f(x)0，即 f(x)在(0，)上是增函数 f(x)f(0)，即 exx1e010.exx1.3当 x0 时，求证：exx1.例 4：(2010 年江苏)将边长为 1 m 正三角形薄片，沿一条平行于 底边 的直 线剪 成两 块，其中 一块 是梯 形，记 S梯形的周长2梯形的面积，则 S 的最小值是_ 解析：设剪成的小正三角形的边长为 x，则：S3x212 x1
10、32 1x 433x21x2(0 x1)方法一：利用导数求函数最小值 S(x)433x21x2，S(x)432x6 1x23x2 2x1x224323x1x31x22 S(x)0,0 x1，x13，当 x0，13时，S(x)0，递减；当 x13，1 时，S(x)0，递增；故当 x13时，S 的最小值是32 33.方法二：利用函数的方法求最小值 令 3xt，t(2,3)，1t13，12，则：S43t2t26t84318t26t1.故当1t38，x13时，S 的最小值是32 33.【互动探究】4(2022 年湖南 3 月模拟)某租赁公司拥有汽车 50 辆，当 每辆车的月租金为 1 000 元时，可
11、全部租出，当每辆车的月租金 每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月 要维修费 150，未租出的车每辆每月需要维修费 50 元 (1)当每辆车的月租金定为 1 600 时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，出租车公司的月收益 最大？解：(1)1 6001 000 50 12(辆)，即有 12 辆车没有租出去，所 以当每辆车的月租金为 1 600 元时，能租出 501238 辆车 (2)设有 x 辆汽车没有租出去，那么月收益函数 F(x)(1 00050 x)(50 x)150(50 x)50 x 50 x21 600 x42 500(0 x50)，又有 F
12、(x)100 x1 6000，得 x16.即当 0 x16 时，F(x)0；当 16x50 时，F(x)0.所以 x16 是 F(x)的极大值点，同时也是最大值点，所以把租金定为 1 00016501 800 元时，收入最大 导数的实际应用(1)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 优化问题可归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决 用导数解决优化问题，即求实际问题中的最大(小)值的主要步骤 如下：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x)，即将优化 问题归结为函数最值问题；求导数 f(x)，解方程 f(x)0；比较函数在区间端点和使 f(x)0 的点的函数值大小，最大者为最大值，最小者为最小值；检验作答，即获得优化问题的答案(2)利用导数解决生活中的优化问题的本卷须知 在解决实际优化问题时，不仅要将问题中涉及的变量关 系用函数表示，而且应注意确定该函数的定义域；在实际优化问题中，会遇到函数在定义域内只有一个点 使 f(x)0 的情形，如果函数 f(x)在这点有极值，那么该极值就 是所求的最大(小)值；在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意 义，不符合实际意义的解应舍去！
