1、能力升级练(四)算法、定积分与推理证明一、选择题1.01|x-1|dx=()A.12B.1C.2D.3解析01|x-1|dx=01(1-x)dx=x-12x201=1-12=12.答案A2.执行如下程序框图,若输入a,b,i的值分别为6,8,0,则输出的i=()A.3B.4C.5D.6解析执行程序框图,a=6,b=8,i=0;i=1,不满足ab,不满足a=b,b=8-6=2;i=2,满足ab,a=6-2=4;i=3,满足ab,a=4-2=2;i=4,不满足ab,满足a=b,故输出的a=2,i=4.故选B.答案B3.设ABC的三边长分别为a,b,c,ABC的面积为S,则ABC的内切圆半径为r=2
2、Sa+b+c.将此结论类比到空间四面体:设四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,体积为V,则四面体的内切球半径为()A.VS1+S2+S3+S4B.2VS1+S2+S3+S4C.3VS1+S2+S3+S4D.4VS1+S2+S3+S4解析设四面体的内切球的球心为O,球心O到四个面的距离都是R,则四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和,即V=13(S1+S2+S3+S4)R,所以R=3VS1+S2+S3+S4.答案C4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.43B.55C.61D.81解析S=1+24=25,n=24-6=18;S=25+1
3、8=43,n=18-6=12;S=43+12=55,n=12-6=6;S=55+6=61,n=6-6=0;结束循环输出S=61,选C.答案C5.阅读如图所示的程序如图,运行相应的程序,若输出的S为1112,则判断框中填写的内容可以是()A.n=6?B.n6?B.i5?C.i3?D.i4?解析依题意,执行程序框图,进行第一次循环时,S=1(3-1)+1=3,i=1+1=2;进行第二次循环时,S=3(3-2)+1=4,i=2+1=3;进行第三次循环时,S=4(3-3)+1=1,i=4,因此当输出的S的值为1时,判断框内为“i4?”,故选D.答案D7.(2023辽宁大连模拟)下列推理是演绎推理的是(
4、)A.由于f(x)=cos x满足f(-x)=f(x)对任意的xR都成立,推断f(x)=cos x为偶函数B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜出数列an的前n项和的表达式C.由圆x2+y2=1的面积S=r2,推断:椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=abD.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质解析由特殊到一般的推理过程,符合归纳推理的定义;由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程,符合类比推理的定义;由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义.A是演绎推理,B是归纳推理,C和D为类比推理,故选A.答案A8.由直线x=-6,x=6,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为
5、()A.12B.1C.32D.3解析所求封闭图形的面积为-66cos xdx=sin x-66=sin6-sin-6=12+12=1,故选B.答案B9.(2023安徽合肥模拟)聊斋志异中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,则按照以上规律,若99n=99n具有“穿墙术”,则n=()A.25B.48C.63D.80解析由223=223,338=338,4415=4415,5524=5524,可得若99n=99n具有“穿墙术”,则n=9
6、2-1=80,故选D.答案D二、填空题10.执行下面的程序框图,如果输入的t-1,3,则输出的S属于区间.解析由程序框图可知S=3t,t1,4t-t2,t1,故当t-1,1)时,S=3t-3,3);当t1,3时S=4t-t2=-(t-2)2+43,4,所以输入的t-1,3,则输出的S属于区间-3,4.答案-3,411.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说:“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是.解析由丙说的话可知丙的卡片上的数字
7、一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2,则乙的卡片上的数字是2和3,甲的卡片上的数字是1和3,满足题意;若丙的卡片上的数字是1和3,则乙的卡片上的数字是2和3,此时,甲的卡片上的数字只能是1和2,不满足题意.故甲的卡片上的数字是1和3.答案1和312.已知定义在R上的函数f(x)与g(x),若函数f(x)为偶函数,函数g(x)为奇函数,且0af(x)dx=6,则-aaf(x)+2g(x)dx=.解析函数f(x)为偶函数,函数g(x)为奇函数,函数f(x)的图象关于y轴对称,函数g(x)的图象关于原点对称.-aaf(x)dx=20af(x)dx=12,-aag(x)dx=0,-aaf(x)+
8、2g(x)dx=-aaf(x)dx+2-aag(x)dx=12.答案1213.(2023湖北武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是.解析这个问题的关键是四人中有两人说真话,另外两人说了假话,这是解决本题的突破口.从甲、乙、丙、丁四人的供词中,可以看出乙、丁两人的观点是一致的,因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假(即都是真话或者都是
9、假话,不会出现一真一假的情况).假设乙、丁两人说的是真话,那么甲、丙两人说的是假话.由乙说真话推出丙是罪犯的结论.由甲说假话推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论.显然这两个结论是相互矛盾的.所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话.由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯.答案乙三、解答题14.观察下列等式:sin3-2+sin23-2=4312;sin5-2+sin25-2+sin35-2+sin45-2=4323;sin7-2+sin27-2+sin37-2+sin67-2=4334;sin9-2+sin29-2+sin39-2+sin89-2=4345;照此规律,计算sin2n+1-2+s
10、in22n+1-2+sin32n+1-2+sin2n2n+1-2的结果.解观察前4个等式,由归纳推理可知sin2n+1-2+sin22n+1-2+sin2n2n+1-2=43n(n+1).15.将函数f(x)=sin2x+3的图象向右平移23个单位,再将所得的函数图象上的各点纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)与x=-2,x=3,x轴围成的图形面积.解将f(x)=sin2x+3的图象向右平移23个单位,得y=sin2x+6-23=sin2x-2=sin(2x-)=-sin2x的图象,再将所得的函数图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到g(x)=-sinx的图象,所以g(x)=-sinx与x=-2,x=3,x轴围成的图形面积为S=-03(-sin x)dx+-20(-sin x)dx=-cos x03+cos x-20=12+1=32.8
