1、5.2 平面向量的坐标表示一.明确复习目标1理解平面向量的坐标概念;2.掌握平面向量的坐标运算,掌握共线向量的坐标表示；二建构知识网络1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的根本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。(1) 假设,那么(2)假设A(x1,y1),B(x2,y2)那么,表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同.(3) 向量相等坐标相同。2.平面向量的坐标运算(1) 假设，那么(2)
2、假设=(x,y)，那么=(x, y)(3) 假设，那么3. 设那么向量共线:向量垂直:， 三、双基题目练练手1.(2023山东)设向量a=（1,-3），b=（-2,4），c=（-1,-2），假设表示向量4a、4b-2c、2（a-c）、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，那么向量d为 ( )A.（2,6） B.（-2,6）C.（2,-6）D.（-2,-6）2.平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足，连DC并延长至E，使|=|，那么点E坐标为： ( )A、（-8，） B、（） C、（0，1） D、（0，1）或（2，）3.向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|ab|=2，那
3、么|a+b|等于 ( )A.1B.C.D.剖析：欲求|a+b|，一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算.4.(2023全国)向量，且A.B.C三点共线，那么k= .5.(2023湖北)向量不超过5，那么k的取值范围是 6.设=（3，1），=（-1，2），O为坐标原点，那么满足+=的的坐标是7.向量，,向量与平行,=4那么向量的坐标是_ 例题答案:1-3.DBD; 3.|a+b|2+|ab|2=2（|a|2+|b|2），|a+b|2=2（|a|2+|b|2）|ab|2=6. 法2:利用4. ; 5. 6，2; 6.（，）. 7.或四、经典例题做一做【例1】平面内给定三个向量，答复以下问题
4、：（1）求满足的实数m,n；（2）假设，求实数k；（3）假设满足，且，求解：（1）由题意得所以，得（2）（3）设那么由题意得得或, 方法提炼：1.利用平面向量根本定理,2.利用共线向量定理.【例2】（2023全国）向量。（）假设，求；（）求的最大值。解：（）得 所以 （） 由取最大值，解题评注：向量一三角函数综合是一类常考的题目，要理解向量及运算的几何意义，要能熟练解答。【例3】中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC边上的高为AD，求。解：设D(x,y), 那么得所以【例4】如图，设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，
5、且BCx轴，证明直线AC经过原点O解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F(0)，那么C(y2)FABCoyx那么 与共线, 即 （x）代整理得，y1y2=-p2 与共线，即A、O、C三点共线，也就是说直线AC经过原点O解法二：设A(x1,y1)，C(,y2)，B(x2,y2)欲证A、O、C共线，只需且仅需，即,又 只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明解题评注：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段（直线）平行，三点共线（多点共线）问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以防止繁冗的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。核心步骤:
6、【研讨.欣赏】(2023上海)在直角坐标平面中，点P1(1,2),P2(2,22), P3(3,23)Pn(n,2n)，其中是正整数，对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，An为An-1关于点Pn的对称点。（1）求向量的坐标；（2）当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x(0,3时，f(x)=lgx。求以曲线C为图象的函数在上的解析式； （3）对任意偶数n，用n表示向量的坐标。解.(1)设点A0(x,y), A0关于点P1的对称点A1的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称
7、点A2的坐标为(2+x,4+y), =2,4. (2) =2,4,f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.又x(3k,3k+3)时,x-3k(0,3), f(x)周期是3,所以f(x)=f(x-3k)=lg(x-3k)设曲线C的函数是y=g(x),那么g(x)=f(x+2)-4=lg(x+2-3k)-4, 此时x+2(3k,3k+3), 即 x3k-2,3k+1),是以3为周期的周期函数.当x(1,4时,g(x)=lg(x+2-3)-4=lg(x-1)-4. (3) =,由于,得 =2()=2(1,2+1,23+1,2n-1)=2,=n,五提炼总结以为师1、熟练运用向量
8、的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法那么进行运算。2、两个向量平行的坐标表示。3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。同步练习 5.2平面向量的坐标表示 【选择题】1.（2022年天津，理3）假设平面向量b与向量a=（1，2）的夹角是180，且|b|=3，那么b等于 ( )A.（3，6）B.（3，6）C.（6，3）D.（6，3）2.正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），=（4，0），那么= （ ）A、（） B、（） C、（7，4） D、（）3. （2022年辽宁，6）点A（2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足=x2，那么
9、点P的轨迹是 ( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4.（2022全国）平面上直线l的方向向量e=（，），点O（0，0）和A（1，2）在l上的射影分别是和A，那么=e，其中等于 ( )A.B.C.2D.2【填空题】5.且与平行，那么x=_6（2023天津）在直角坐标系xOy中，点A(0,1)和点B(-3,4)，假设点C在AOB的平分线上且| |=2,那么= 练习简答：1-4.AADD; 4.是单位向量,在上的投影为=,5.; 6. 【解答题】7.平面上四点A(1,2),B(5,8),C(-2,6),D(a,b),求当四边形ABCD为凸四边形且BD平分AC时,实数a,b应满足的条件.解:设AC
10、,BD交于点E,易得,又设,(1)且8.点A(2,3),B(5,4),C(7,10),假设,试问(1)为何值时,点P在一、三象限角平分线上？（2）为何值时，点P第三象限？解.设点P的坐标为（x,y），那么，由得，点P坐标为（5+5,4+7）.9.( 2023山东)向量和，且，求的值解:因为由，得又所以所以10. .A（4，0），N（1，0），假设点P满足=6|.（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；（2）求|的取值范围；解：（1）设P（x，y），=（x4，y），=（1x，y），=（3，0），=6|，3（x4）=6，即3x2+4y2=12.=1.P点的轨迹是以（1，0）、（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆.（2）N（1，0）为椭圆的右焦点，x=4为右准线，设P（x0，y0），P到右准线的距离为d，d=4x0，=e=，|PN|=d=.2x02，1|PN|3.当|PN|=1时，P（2，0）；当|PN|=3时，P（2，0）.【探索题】向量与的对应关系用表示（1） 证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；（2） 设，求向量及的坐标；求使，（p，q为常数）的向量的坐标证：（1）设，那么，故，（2）由得=（1，1），=（0，1）（3）设=（x，y），那么，y=p，x=2pq，即=（2Pq，p）
