1、第95讲 函数的幂级数展开问题引入(2)若能展开为幂级数，如何确定系数与收敛区间？(1)函数具有怎样的条件才能展开成幂级数？求和和函数幂级数?或?展开问题：例如?求和展开第95讲 函数的幂级数展开主要内容泰勒级数的概念泰勒级数展开的条件泰勒级数展开的方法泰勒级数的应用第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数的概念定理1设函数在内有定义，如果存在幂级数?使得0(),(,).nnnf xa xxR R 则函数在内必有任意阶导数，且?第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数的概念定义1如果函数在任意阶可导，则称幂级数?为函数在处的泰勒级数，或称为函数的麦克劳林级数，?记作第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数展开的
2、条件定理2(泰勒级数展开的充要条件)设函数在内有任意阶导数，则在内可展开为处的泰勒级数，即?对成立的充要条件是：?，其中?为在处的 阶泰勒公式的余项.?第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数展开的条件定理3(泰勒级数展开的充分条件)设函数在内有任意阶导数，如果存在正常数，使得对于一切，恒有?则函数在处可展成泰勒级数，?即第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数展开的方法公式法例1将函数?展开为麦克劳林级数?例2将函数展开为麦克劳林级数?第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数展开的方法(1)检验函数在含有原点的某区间上是否任意次可导，并求出?；(2)判定是否存在正数，对于上述区间上的一切 以及一切的非负整数，
3、恒有?；(3)求出?；(4)写出在该区间内的麦克劳林级数的展开式用公式法将函数展为麦克劳林级数的步骤第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数展开的方法间接法例3将函数展开为麦克劳林级数?例4将函数展开为麦克劳林级数?逐项求导数或者逐项求积分第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数展开的方法间接法例5 将函数?展开为麦克劳林级数 待定系数、幂级数运算【例5解】设在处可以展开如下形式的幂级数?由?有则?，于是?第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数展开的方法间接法例5 将函数?展开为麦克劳林级数 待定系数、幂级数运算【例5解】?，?第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数展开的方法间接法例5 将函数?展开为麦克劳林级数
4、?，例6将函数展开为麦克劳林级数?待定系数、幂级数运算?，【例5解】第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数的应用如果函数能展开成幂级数?只要 充分大，用幂级数的前 项部分和?去代替函数达到任何预期的精确度.例如，当很小时?或或?第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数的应用例7用近似公式计算的值，并估计误差?【例8解】先换成弧度o，则?所用近似公式是级数的前两项由交错级数的性质知，其误差(截断误差)为?!?.?第95讲 函数的幂级数展开泰勒级数的应用例8计算积分?的近似值，使之精确到?【例9解】令?，?取，其截断误差为因为?所以?.于是，取级数的前七项计算得?第96讲 傅里叶级数的概念问题的引入心电图方
5、波锯齿形波三角波第96讲 傅里叶级数的概念问题的引入1sin(21)21nkkxk考察函数当 逐渐增大时图形的变化：?=1?=6?=11?=16?=21?=26第96讲 傅里叶级数的概念问题的引入至1808年，傅立叶完成了著名的热的解析理论在该著作中，傅立叶详细地研究了如何将一个函数表示成“三角级数”，并利用三角级数解决了许多与热传导有关的问题对自然界的深入研究是数学发现最丰富的源泉.J.Fourier第96讲 傅里叶级数的概念主要内容三角函数系的正交性傅里叶系数与傅里叶级数傅里叶级数的计算第96讲 傅里叶级数的概念三角函数系的正交性称具有该形式的函数项级数为三角级数，设有两列实数?，作函数项
6、级数?问题：(1)一个周期的函数满足什么条件能够展开成三角级数呢？(2)如果周期为的函数能够展开成三角级数，三角级数的系数应该如何确定呢？而?称为此三角级数的系数第96讲 傅里叶级数的概念三角函数系的正交性三角函数系性质1(三角函数的正交性)对于三角函数系中的三角函数，有?其中均为非负整数第96讲 傅里叶级数的概念三角函数系的正交性假设对上述三角级数在上可以逐项积分，并收敛于和函数，即?利用三角函数系的正交性可得?第96讲 傅里叶级数的概念傅里叶系数与傅里叶级数性质2(系数公式)若可展开成三角级数，且三角级数可逐项积分，则这个三角级数的系数必定由下式确定:?第96讲 傅里叶级数的概念傅里叶系数
7、与傅里叶级数定义1设函数在上有定义，且以为周期，又在上可积，称由?所确定的?为函数的傅里叶系数以的傅里叶系数为系数而作出的三角级数称为函数的傅里叶级数，记作第96讲 傅里叶级数的概念傅里叶系数与傅里叶级数 周期为的偶函数的傅里叶级数为：周期为的奇函数的傅里叶级数为：余弦级数正弦级数?第96讲 傅里叶级数的概念傅里叶级数的计算例1 已知函数在上以为周期，且试求函数的傅立叶级数?4?=50?4第96讲 傅里叶级数的概念傅里叶级数的计算例2求函数的傅立叶级数?=1?=3?=5?=20?第97讲 函数的傅里叶级数展开问题的引入?4?=50?4?=20?定义在 上以为周期的函数的傅里叶级数部分和函数图形
8、第97讲 函数的傅里叶级数展开主要内容傅里叶级数的收敛定理正弦级数与余弦级数吉布斯现象第97讲 函数的傅里叶级数展开傅里叶级数的收敛定理定理1(狄利克莱收敛定理)设是周期为 的周期函数,并满足狄利克莱(Dirichlet)条件：1)在一个周期区间内连续或只有有限个第一类间断点；2)在一个周期区间内只有有限个极值点，则的傅里叶级数收敛，且有为间断点其中?为的傅里叶系数.为连续点第97讲 函数的傅里叶级数展开傅里叶级数的收敛定理例1 已知函数在上以为周期，且讨论函数的傅立叶级数的收敛性1sin(21)()21nnxf xn?4?4 第97讲 函数的傅里叶级数展开傅里叶级数的收敛定理?2?2?20?
9、2?2?50 傅里叶级数部分和?在上的图形1sin(21)(0)214nnxxn11(1)214nnn?2第97讲 函数的傅里叶级数展开傅里叶级数的收敛定理例2讨论函数傅立叶级数的收敛性?,xx特别，令，则得22118(21)nn22116nn214cos(21)()2(21)nnxf xn第97讲 函数的傅里叶级数展开傅里叶级数的收敛定理 部分和函数?与的图形比较第97讲 函数的傅里叶级数展开正弦级数与余弦级数在 上的函数展成正弦级数与余弦级数设函数在上有定义，且满足狄里克莱收敛定理条件.构造上的奇函数?其中?第97讲 函数的傅里叶级数展开正弦级数与余弦级数在 上的函数展成正弦级数与余弦级数
10、设函数在上有定义，且满足狄里克莱收敛定理条件.构造上的偶函数其中?第97讲 函数的傅里叶级数展开正弦级数与余弦级数例3试将函数展开成正弦级数.()()sin,(,)nnf xnx xn11120第97讲 函数的傅里叶级数展开正弦级数与余弦级数例3试将函数展开成正弦级数.()()sin,(,)nnf xnx xn11120第97讲 函数的傅里叶级数展开正弦级数与余弦级数例4设函数，试将函数在上展开成余弦级数第97讲 函数的傅里叶级数展开吉布斯现象?4?4?4?4 在间断点附近部分和函数的图形出现大幅度波动，波动的区间随着项数的增加越来越小，但幅度似乎是一样的！傅里叶级数在函数间断点处的上述现象称
11、为吉布斯现象第97讲 函数的傅里叶级数展开吉布斯现象 吉布斯现象的理论分析?的极大值点和极小值点?2?4?第97讲 函数的傅里叶级数展开吉布斯现象?在的第一个极大值为?4?2?第98讲 一般函数的傅里叶级数问题引入分段函数?4?4sin3sin5()sin35xxf xx（为的连续点）?2?2?50 傅里叶级数是“拼接”分段函数的工具！第98讲 一般函数的傅里叶级数主要内容一般函数的傅里叶级数傅里叶级数的复数形式傅里叶变换的概念第98讲 一般函数的傅里叶级数一般函数的傅里叶级数以为周期的函数的傅里叶级数周期为函数周期为 函数?线性变换傅里叶级数的傅里叶级数?第98讲 一般函数的傅里叶级数一般函
12、数的傅里叶级数定理 设周期为的周期函数满足收敛定理条件，则在连续点处的傅里叶展开式为其中()cossinnnnanxnxf xabll012?第98讲 一般函数的傅里叶级数一般函数的傅里叶级数其中?如果为偶函数,则在的连续点处有 如果为奇函数，则在的连续点处有()sinnnnxf xbl1()cosnnanxf xal012其中?正弦级数余弦级数第98讲 一般函数的傅里叶级数一般函数的傅里叶级数例1求函数的三角级数并讨论其收敛性.其他-2-11.021?y1.0?y21-1-2第98讲 一般函数的傅里叶级数一般函数的傅里叶级数定义在任何有限区间上的函数的傅里叶级数展开方法方法1令?即?()()
13、(),bababaF tf xf tt 222在?上展成傅里叶级数周期延拓将?代入展开式在上的傅里叶级数第98讲 一般函数的傅里叶级数一般函数的傅里叶级数定义在任何有限区间上的函数的傅里叶级数展开方法方法2令 即()()(),F tf xf tatba0在 上展成正弦或余弦级数奇或偶性周期延拓将代入展开式在上的正弦或余弦级数第98讲 一般函数的傅里叶级数一般函数的傅里叶级数例2将函数展开为余弦级数51.02.0-5第98讲 一般函数的傅里叶级数傅里叶级数的复数形式利用欧拉公式设是周期为的周期函数,则()n xn xiinnnnllnaaibaibf xee01222?第98讲 一般函数的傅里叶
14、级数傅里叶级数的复数形式 周期为的函数的傅里叶级数复数形式?()n xn xiinnnnllnaaibaibf xee01222?第98讲 一般函数的傅里叶级数傅里叶级数的复数形式 利用Mathemaitca求函数的傅里叶级数展开fx_:=Which0 x Pi,1,-Pi x 0，?=?0?=?0?=?0时，平衡点是不稳定的，当?=?0时是稳定的(5)当?为共轭复根，?当时平衡点是稳定的；当时平衡点是不稳定的线性自治系统平衡点的稳定性的判定设?一阶常系数自治系统对应的特征方程的两个根第100讲 微分方程稳定性初步线性系统平衡点的稳定性军备竞赛模型?.假设，则系统有平衡点?：?作变换?，原系统
15、平衡点的稳定性等价于?.平衡点的稳定性第100讲 微分方程稳定性初步线性系统平衡点的稳定性（1）当?时，?和?异号，平衡点?不稳定.（2）当?时，?和?均为负，平衡点?是稳定的.记?，则特征方程的根为特征方程?军备竞赛模型?.第100讲 微分方程稳定性初步兰彻斯特模型的稳定性分析方程特解?，?兰彻斯特战斗模型初始条件?双曲函数?第100讲 微分方程稳定性初步兰彻斯特模型的稳定性分析兰彻斯特战斗模型是该系统的一个平衡点.该线性系统的特征值为?平衡点是不稳定的（鞍点）.平衡点第100讲 微分方程稳定性初步兰彻斯特模型的稳定性分析通解为?初始的战斗力条件?轨线方程为?.表示一族双曲线0022?第100讲 微分方程稳定性初步兰彻斯特模型的稳定性分析 0,Ca,0Ca?兰彻斯特平方定律初值问题的轨线乙方胜甲方胜第100讲 微分方程稳定性初步兰彻斯特模型的稳定性分析假设，则乙方胜时间战斗力 和?甲方和乙方的初始战斗力?满足条件?分别为乙、甲双方的战斗有效系数
